四川省乐山市十校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题含答案.pdf

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1、乐山十校高 2023 届第三学期半期联考数学（理）试题数学（理）试题一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计 60 分）1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.2.下列说法中正确的是（）A.四边相等的四边形确定一个平面B.垂直于同一条直线的两条直线平行C.直线 mx+2y-m=0 过定点（0,1）D.梯形可以确定一个平面3.长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知直线和互相平行，则（）A.B.C.或D.或5.已知，为两条不同直线，为两个不同平面，则下列说法正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底

2、面三角形的（）A外心B重心C内心D垂心7.已知，是坐标原点，与的夹角为，则的值为A.B.C.D.8.已知一个几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形(如图 2 所示)，则此几何体的体积为（）A1B2C2D229.数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（）A.B.C.D.10.公元前世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积 V 与它的直径 D 的立方成正比”，此即，欧几里得未

3、给出的值世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为，那么等于()A.B.C.D.11.棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q 分别为 C1D1，BC 的中点，现有下列结论：PQBD1；PQ平面 BB1D1D；PQ平面 AB1C；四面体 D1PQB 的体积等于124.其中正确的是（）ABCD12.在正方体11

4、11ABCDABC D中，E F M，分别为棱1BC CD CC，的中点，P 是线段11AC上的动点(含端点)，则下列结论正确的个数（）PMBD1/AC平面EFMPE与平面ABCD所成角正切值的最大值为2 2当 P 位于1C时，三棱锥PCEF的外接球体积最小A1B2C3D4第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题；每小题小题；每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.已知一个圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为.14.平面直角坐标系中，过点，且在且倾斜角满足51-cossin，则直线的点斜式方程为.15

5、.有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则这条光线的反射光线所在直线的方程为.16.已知正三棱柱111ABCABC的各棱长都是4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合，设二面角CAFE的大小为，则tan的最小值为三三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演证明过程或演算步骤算步骤.）17（10 分）已知直线02:,032:21yxlyxl(1)求直线1l关于x轴对称的直线3l的方程，并求2l与3l的交点P；(2)若直线l过点 P 且与直线3l垂直，求直线l的方程.18.（12 分）某同学在劳

6、动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为求的长及该长方体的外接球的体积；求正四棱锥的斜高和体积19（12分）如图，四棱锥PABCD满足90ADCBCD，2ADBC，PD 底面ABCD.（1）设点E为PA的中点，证明：/BE平面PDC；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l 平面PDC.20.（12 分）已知直线 l：0323-kykx（kR）（1）证明：直线 l 过定点；（2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；（3）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点

7、B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程21.（12分）如图：已知PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PAPB22AB，ABC60，E 为 AB 的中点（）证明：CEPA；（）若 F 为线段 PD 上的点，且 EF 与平面 PEC 的夹角为 45,求平面 EFC 与平面 PBC 夹角的余弦值22（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是圆内接四边形.1ADCDDP，3ABBCBP，DPAC.（1）求证：平面ACP 平面ABCD；（2）若点E在BCP内运动，且/AE平面CDP，求直线AE与平面BCP所成角的正弦值的最大值.十校联考

8、数学参考答案选择题：1-5 ADDCC6-10 ACBBD11-12 CB填空题：、5213)3(43(-4)-y14x、05y-x615、3616、17.解：(1)由题意，直线 l3与直线 l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且 l1与 l3必过 x 轴上相同点3(,0)2，直线 l3的方程为 2xy+30，.3 分由230,20,xyxy解得2,1.xy P（2，1）.5 分（2）由（1）得直线 l3的斜率为 2，直线l的斜率 k=-且过点 P（2，1）.7 分直线l的方程：即为.10 分18、解：几何体为长方体且，.2 分记长方体外接球的半径为，线段就是其外接球直径，则，.4 分

9、外接球的体积为.6 分（2）如图，设，交于点，连结，为正四棱锥的高，又长方体的高为，.8 分取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高，在中，.10 分，正四棱锥的斜高为，体积为.12 分19、解：取PD的中点F，连接EF，CF，则/EFAD，且12EFAD因为90ADCBCD，且2ADBC.2 分所以/BCAD，且12BCAD所以/EFBC，且EFBC，所以四边形BEFC为平行四边形，所以/BECF，.4 分又因为BE 平面PDC，CF 平面PDC，所以/BE平面PDC.6 分（2）PD 底面ABCD，PDAD，又90ADC，ADDC，PDDCD，AD平面PDC.8 分由（1）可知/BCAD，AD

10、平面PBC，AD平面PBC，/AD平面PBC，.10 分又AD平面PAD，且平面PAD平面PBC l，/ADl，l 平面PDC.12 分20.（1）证明：（法 1）设直线 l 过定点（x0,y0）,则 Kx0-3y0+2k+3=0 对任意 k恒成立，即k(x0+2)-3y0+3=0 恒成立即.2 分直线恒过定点（-2,1）.3 分分的方程为此时直线时取等号即当且仅当分分且又，、，则、轴上的截距分别为轴，）由题知直线在（分，的取值范围为分不过第四象限，则要使直线轴上的截距为在则直线的方程）直线（12.042y-x,4s23k9411.4)1212(61)1294(61912461332k3k22

11、121s9.0k03320k3k2-),3320()0,k3k2A(-332k3k2-y37.005.03320k,332y,3323y2min2lkkkkkkkkOBOAkkBkxkkklklkxkl21.（）在菱形 ABCD 中，60ABCABC 为正三角形，又E 为 AB 的中点CEAB，.1 分平面 PAB 与平面 ABCD 垂直，AB 为平面 PAB 与平面 ABCD 的交线，CEPAB 平面，.3 分又面 PABCEPA.5 分（）PAPB，E 为 AB 的中点，PEAB，又PECE，ABCEEPEABCD平面，.7 分以 E 为坐标原点，,EB EC EP所在直线分别为x轴，y轴

12、，z轴建立空间直角坐标系如图所示设2AB，则2PAPB，1EPEAEB，3EC，0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,1,2,3,0EBCPD.8 分设EFEPkPD ，其中01k，则2,3,1EFkkk ，1,0,0EB 为平面PEC的法向量，2cos,2EF EB ，得12k，即F是PD的中点，3 11,22F.9 分设,nx y zr为平面EFC的法向量，则00n EFn EC 3102230 xyzy 令2z，得1x，取1,0,2n r，.10 分设111,mx y zr为平面PBC的法向量，则00m PBm PC 得出1111030 xzyz令11z，得1131,3xy，取31

13、,13m，.11 分设平面EFC与平面PBC夹角为，则3 105coscos,35n mn mn m .12 分22.（1）连接AC、BD，设ACBDO，连接OP，ADCD，BCAB，BDBD，BADBCD，则BADBCD，ABDCBD，即BD是ABC的角平分线，BDAC，.1 分DPAC，BDDPD，AC平面PBD，OP 平面PBD，OPAC，因为ADDP，ABBP，BDBD，所以，BADBPD，则ADOPDO，ADDP，DODO，所以，ADOPDO，所以，90PODAOD，即OPBD，.2 分ACBDO，所以，OP 平面ABCD，.3 分OP 平面ACP，因此，平面ACP 平面ABCD；.

14、5 分（2）因为底面ABCD是圆内接四边形，则180BADBCD，故90BADBCD o，所以，222BDABAD，因为112ADBD，则30CBDABD，则60ABC，分别取BC、PB的中点M、N，连接AM、AN、MN，ABBC，60ABC，故ABC为等边三角形，M为BC的中点，AMBC，在底面ABCD中，CDBC，AMBC，/AM CD，AM 平面DCP，CD 平面DCP，/AM平面DCP，M、N分别为BC、BP的中点，则/MN CP，MN 平面DCP，CP 平面DCP，/MN平面DCP，AMMNM，所以，平面/AMN平面DCP，若点E在线段MN上，则AE 平面AMN，则/AE平面DCP，

15、所以点E在BCP内的轨迹为线段MN，.8 分OP 底面ABCD，OAOD，以点O为坐标原点，OD、OA、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,02A、3,0,02B、30,02C、1,0,02D、30,0,2P、33,044M、33,0,44N，.9 分设平面BCP的法向量为,nx y z，33,022CB ，330,22CP，则3302233022n CBxyn CPyz ，取1x，可得1,3,3n，.10 分33 3,044AM ，330,44MN，设330,44MEMN，其中01，则333 33,444AEAMME ，所以，24 3cos,1436AE nAE nAEn .11 分故当1时，cos,AE n 取得最大值427.因此，直线AE与平面BCP所成角的正弦值的最大值为427.12 分