南开大学《概率论与数理统计》课程期末复习资料.docx

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1、课程名称概率论与数理统计(一)单项选择题1、抛掷一枚硬币，观察其出现的是正面还是反面，并将事件 A 定义为：事件 A=出现正面， 这一事件的概率记为 P(A)。则概率 P(A)=1/2 的含义是（C）A抛掷多次硬币，恰好有一半结果正面朝上B抛掷两次硬币，恰好有一次结果正面朝上C抛掷多次硬币，出现正面朝上的次数接近一半D抛掷一次硬币，出现的恰好是正面2、抛 3 枚硬币，用 0 表示反面，1 表示正面，则其样本空间可以表示为（ A ）A、000,001,010,100,011,101,110,111B、000,001,010,100,011,101,110,111,101 C、000,001,01

2、0,011,101,110,111D、000,001,010,110,011,101,110,1113、掷 1 颗骰子，并考察其结果。其点数为 1 点的概率为（B）（A）1;(B) 1/6;(C) 1/4;(D) 1/24、掷 2 颗骰子，设点数之和为 10 的事件的概率为 p，则 p=（B）（A）1/6;(B) 1/12;(C) 1/18;(D) 1/36.5、指出下面关于 n 重贝奴利试验的陈述中，哪一个是错误的（D）（A） 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”（B） 每次试验成功的概率 p 都是相同的（C） 试验是相互独立的（D） 在 n 次试验中，“成功”的次数对应一个连续型

3、随机变量6、一部文集，按顺序排放在书架的同层上，则各卷自左到右卷号恰好为 1；2；3；4 顺序的概率等于（ D ）（A）1/8;(B) 1/12;(C) 1/16;(D) 1/24.7、下列分布中，不是离散型随机变量概率分布的是（ D）A、0-1 分布B、二项分布C、泊松分布D、正态分布8、设X 是参数为 n=4 和 p=0.5 的二项随机变量，则 P(X2)=（A）。（A）0.3125（B）0.2125（C）0.6875（D）0.78759、若掷一枚骰子，考虑两个事件：A=骰子的点数为奇数；B=骰子的点数大于等于 4。则条件概率 P(A|B)=（A）。（A）1/3（B）1/6（C）1/2（D

4、）1/410、推销员向客户推销某种产品成功的概率为 0.3。他在一天中共向 5 名客户进行了推销， 则成功谈成客户数不超过 2 人的概率大约为 （C）。（A） 0.1681（B） 0.3602（C） 0.8369（D ）0.308711、若某一事件发生的概率为 1，则这一事件被称为（B）A、完全事件B、必然事件C、不可能事件D、基本事件12、已知 A、B 两事件满足 P( AB) = P( A B )，若 P(A)=p，则 P(B)=（A）（A） 1-p（B） p（C） p(1-p)（D） p213、一家计算机软件开发公司的人力资源管理部门做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有 40

5、%是因为对工资不满意，有 30%是因为对工作不满意，有 15%是因为他们对工资和工资都不满意。设 A=员工离职是因为对工资不满意；B=员工离职是因为对工作不满意。则两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率为（D）（A）0.40（B）0.30（C）0.15（D）0.5514、袋中有十张彩票，其中有两张是可以中奖的。甲、乙、丙三个人依次从袋中各取出一张彩票（不放回），则（ D ）A、甲中奖的概率最大B乙中奖的概率最大C、丙中奖的概率最大D、三个人中奖的概率相同15、一部电梯在一周内发生故障的次数及相应的概率如下表所示：故障次数0123概率表中的 值为（D

6、0.1）0.250.35（A）0.35（B）0.10（C）0.25（D）0.3016、设 A、B 是两随机事件，且 P(A)=06，P(B)=07，A B，则 P(A|B)=CA、1/6；B、1/7；C、6/7；D、7/617、已知甲乙两人射击的命中率分别为 0.8 和 0.9，现让他们各自独立地对同一目标各射一次，求目标被命中的概率为（ D ）。A、0.72；B、0.84；C、0.93；D、0.9818、一家超市所作的一项调查表明，有 80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。设 A=顾客购买食品；B=顾客购买其他商品。则在已知某顾客来超

7、市购买食品的条件下、其也购买其他商品的概率为（C）（A）0.80（B）0.60（C）0.4375（D）0.3519、设事件 A，B 相互独立，且 P(A)=0.1，P(B)=0.4，则 P(|B) =（D） A0.1B0.4C0.5D0.920、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占 45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为 4%、2%和 5%. 现从中任取一件，取到的恰好是次品的概率为（A）.A0.035B0.038C0.076D0.04521、设一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示：正品数次品数合计供应商甲84690供应商乙1028110合计186

8、14200设 A=取出的一个为正品；B=取出的一个为供应商甲供应的配件。现从这 200 个配件中任取一个经过检查发现是正品，则取出的这个正品为供应商甲供应的配件的概率为（B）。A93B0.45C0.42D0.933322、一批产品中有 9 个正品和 3 个次品，现随机抽取检验。抽取 2 次，每次取 1 件，取后放回，则第一次取到正品，第二次取到次品的概率为（C）。（A）9/22（B）3/4（C）3/16（D）13/2223、设事件 A，B 相互独立，且 P(A)=1/3，P(B)=1/5，则 P( A | B) =（D）A1/15B1/5C4/15D1/324、随机变量 XB(n,p),且已知

9、 E(X)=2.4, D(X)=1.44，则此二项分布中参数 n 和p=（ A）.（A）n=6,p=0.4;(B) n=4,p=0.6;(C) n=6,p=0.6;(D)n=4,p=0.4.25、设随机变量 XB(2,p), YB(3,p),若 PX1=5/9,则 PY1= (B)（A）31/41（B）19/27（C）2/15（D）2/13 26、设随机变量 XN(1,4)，已知 (-1.96)=0.025，则 P(|(X-1)/2|1.96)=（ C）.A、0.025B 0.050C、0.950D、0.97527、当 X 服从（A ）分布时，E(X)=D(X)。（A）指数（B）泊松（C）正态

10、（D）均匀28、设 XN(,2)，那么概率 P(X-3)=（ D）.A、(0.6)B1-(0.6)C、(0.8)D、1-(0.8)31、设 X 的概率密度为 fX(x)=1/(1+x2)，则 Y=2X 的概率密度 fY(y)=（A）.(A) 2/(4+y2);(B) 1/(1+4y2);(C) 1/(1+y2);(D)arctany/.32、设随机变量 X N(，2)，若 不变，当 增大时概率 P|X-|1（ B）A、增大B 减小C、不变D、增减不定33、设随机变量 X 和 Y 的方差 D(X)，D(Y)都不为零，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X 与 Y（A）A、不相关的充分必要条件

11、;B、独立的充分条件，但不是必要条件;C、独立的充分必要条件;D、不相关的充分条件，但不是必要条件 34、对两个随机变量 X 和Y ，若 EX+Y=EX+EY，则（D）A、D(X+Y)=D(X)+D(Y);B 、 EXY=EXEY;C、D(XY)=D(X)D(Y);D、上述结论都不一定成立 35、对两个随机变量 X 和 Y,若 E(XY)=E(X)E(Y),则（ B）成立。（A）D(XY)=D(X)D(Y);(B) D(X+Y)=D(X)+D(Y);(C) X 和Y 相互独立;(D) X 和Y 不相互独立.36、对两个随机变量 X 和Y，若 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，则（ D）成立。（

12、A）X 和Y 一定相互独立（B）X 和Y 一定不相关（C）X 和Y 一定不相互独立（D） 以上答案都不对.37、设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，Y=3X+4，则 D(Y)=（C）.A、3B、4C、9D、1638、一家电脑配件供应商声称。他所提供的配件 100 个中拥有次品的个数及概率如下表所示：次品数0123概率0.750.120.080.05则该供应商次品数的期望值为（A）（A）0.43（B）0.15（C）0.12（D）0.75次品数概率00.7510.1220.0830.0539、一家电脑配件供应商声称。他所提供的配件 100 个中拥有次品的个数及概率如下表所示：则该供应商次品

13、数的标准差为（D ）（A）0.43（B）0.84（C）0.12（D）0.7140、假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为 50，标准差为 10 元的正态分布。已知(1)=0.8413，(2)=0.9772，(1)=0.9986，那么全公司中每周的加班津贴会超过 70 元的职员比例为（ A ）。（A）0.9772（B）0.0228（C）0.6826（D）0.317441、设随机变量 X 和Y 都服从区间0，1上的均匀分布，则 EX+Y=（C）A、1/6；B、1/2；C、1；D、242、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间0，1上的均匀分布，则D(X+Y)=（B）A、1/12；B、1/6；C

14、、1/4；D、1/243、设 X 和Y 是相互独立的两个随机变量，X 服从0,1上的均匀分布，即 XU(0,1), Y 服从参数为 2 的指数分布,即 Ye(2)，则 E(XY)=（B ）。（A）1（B）2（C）3（D）444、设总体 X 的均值和方差分别为 和 2，x1,x2,xn 为容量为 n 的样本，根据中心极限定理可知，当样本容量 n 充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D）.A、B2/(n-1)C、2D、2/n45、设 D(X)=2,则根据切比雪夫不等式 P|X-E(X)|3（A）。（A）2/9;(B) 1/4;(C) 3/4;(D) 1/3.46、设总体 X

15、N(,2)，2 已知而 为未知参数，X1,X2,Xn 是从总体 X 中抽取的样本，记Xn X1 n=i ，又 (x)为标准正态分布的分布函数，已知 (1.96)=0.975，(1.28)=0.90，i=1sn则 的置信度为 0.95 的置信区间是（B）。nA、( X - 0.975 s, X + 0.975 ), B、( X - 1.96 ssn, X + 1.96 ),nnC、( X - 1.28 s, X + 1.28 ), D、( X - 0.90 ssn, X + 0.90 ).snn47、为估计参加自学考试学生的平均年龄，随机抽出一个 n=60 的样本，算得这 60 个考生的平均年龄

16、为25.3 岁，假设总体方差2=16，则则总体均值 的95%的置信区间为（C）（已知 (1.96)=0.975）A、（22.29，24.31）；B、（23.29，25.31）； C、（24.29，26.31）；D、（25.29，27.31）48、在其他条件相同的情况下，95%的置信区间比 90%的置信区间（A）A、要宽B、要窄C、相同D、可能宽也可能窄49、在假设检验中，原假设 H0，备择假设 H1，则称（A）为犯第二类错误。A、H0 为真，接受 H1B、H0 不真，接受 H0C、H0 为真，拒绝 H1D、H0 不真，拒绝H050、在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的

17、标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（B）。（A）无偏性（B）有效性（C）一致性（D） 充分性51、设总体 服从正态分布 N(,2)，其中 ,2 均为未知参数，1, 2, n 是取自总体 的样1 n21 n2本，记x = n xi ， Sn = n (xi - x ) ，则 的置信度为 1- 的置信区间为（B）。Snni=1A、(x - ta2(n -1) Sni=1n,x + ta2(n -1)B、(x - ta2Snn -1(n -1) ,x + ta2(n -1)Snn -1nC、(x - ta (n - 1) s2,x + ta (n - 1)sn2n - 1D、(

18、x - ta (n - 1) s2,x + ta (n - 1)sn - 1252、在假设检验中，显著性水平 表示（C）。0.05A、P接受H0|H0 为假B、置信度为 C、P拒绝 H0|H0 为真D、无具体意义53、设总体 服从正态分布 N(,2)，其中 未知而 2 已知，1, 2, n 为取自总体 的样本，xn xx1 nn记=i ， 则(- Z 0.05 i=1o ,x + Z s ) 作为 的置信区间，其置信度为（D）。nA、0.95B、0.05C 、0.975D、0.9054、设总体 X 服从正态分布 N(,2)，其中 未知，2 已知 X1，X2，X3 是取自总体 X 的一个样本，则

19、以下不能作为统计量的是（A）A、X1+B、X1+X2/4C、2X1+3X2+4X3D、(X1+X2+X3)/255、设 X1，X2，X3，X4，X5 是取自某总体 X 的一个样本，E(X)=，D(X)=2，其中 未知， 2 已知。则以下不能作为统计量的是（C）A、(X1+ X2+X3+X4+X5)/5B、(X1+ X2+X3+X4+X5)+2 C、(X1+ X2+X3+X4+X5)-5D、(X1+X2+X3)/256、假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为 300 的样本，则样本均值的抽样分布近似（D）A服从均匀分布B服从指数分布C服从泊松分布D服从正态分布57、设总体均值为 50，标准差

20、为 8，从此总体中随机抽取容量为 64 的样本，则样本均值的抽样分布的标准差为（ B）.A、8B 1C、4D、64 58、一个估计量的有效性是指（ D）。（A） 该估计量的数学期望等于被估计的总体参数（B） 该估计量的一个具体数值等于被估计的总体参数（C） 该估计量的方差比其他估计量大（D） 该估计量的方差比其他估计量小59、从均值为 200、标准差为 50 的总体中抽取容量为 100 的简单随机样本，样本均值的标准差是（C）A、50B、10C、5D、1560、在假设检验中，下列结论正确的是（C）。A、只犯第一类错误B、只犯第二类错误C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误D、不犯第一类也不犯第二

21、类错误（二）填空题1、掷 2 颗骰子，并考察其结果。其点数为 5 点的概率为。（答案：1/9）2 、若掷一粒骰子，考虑两个事件： A= 骰子的点数为偶数； B= 骰子的点数小于 5 。则条件概率 P(B|A)=。（答案：2/3）3、设A、B 是两随机事件，且 P(A)=06，P(B)=07，A B，则 P(A|B)=（答案：6/7）4、从一个装有 10 个黑球和 4 个白球的袋中，抽出 5 个球、其中 2 个是黑球、3 个是白球的抽取方法共有种（答案：180）5、由 50 人组成的人群中至少有两个人在同一天过生日的概率为（答案：0.97）6、设A、B 是两随机事件，且 P(A)=0.3，P(B

22、)=0.5，AB，则 P(A|B)=（答案：3/5）7、设 A、B 是两随机事件，且 P(A)=06，P(B)=07，A B， 为 A 的对立事件，则P(|B)=（答案：1/7）8、离散型随机变量 X 的分布律为 PX=k=k2/a，k=3，4，则常数a 为（答案：25）9、离散型随机变量 X 的分布律为 PX=k=k/a，k=1，2，3，则常数a 为（答案：6）10、一个篮球运动员投篮命中率为 50%。X 表示他连续投篮首次投中时所投篮的次数，则P(X=5)=（答案：1/32）11、同时掷 3 枚均匀的硬币，则至多有一枚硬币字面朝上的概率为（答案：7/8）12、有 5 只球，随机地放入 5

23、个盒子中，则每个盒子中恰好有 1 只球的概率为 _（答案：4!/54=24/625）13、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4 的泊松分布，则某一分钟呼唤次数大于2 的概率是 （答案：1-13/e4）14、设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次的概率等于 19/27，则事件 A 在一次试验中出现的概率为.（答案：1/3）15、设 X 是参数为 n=5 和 p=0.4 的二项分布随机变量，则 P(X=3)=（答案：0.2304）16Xf (x)cx0 x 43、设随机变量的概率密度函数= ,则 c=（答案：1/64）0else17、设 X 在(0,a)上服从均

24、匀分布，已知方程 4x2+4Xx+X+2=0 有实根的概率为 0.8，则 a=（答案：10）18、已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300，标准差是 700.利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 52009400 之间的概率 p（答案：89%或 8/9）19、设总体 XN(1,4)，从总体中抽取容量为 1000 的简单随机样本，则样本均值的期望值是（答案：1）20、设随机变量 X 的概率密度函数如下，则常数 a 为a cosx- p x pf (x) = 220其它（答案：1/2）21、设随机变量 X 的概率密度函数 f (x) = mx2-1 x 1 ,则常数 m=（答案

25、：1.5）0else22、设 XP()，若 E(X-1)(X-2)=1，则 =.（答案：1）23、设 E(X)=0，D(X)=1，则根据切比雪夫不等式 P-2X2（答案：3/4）24、设 E(X)=1，D(X)=4，则根据切比雪夫不等式 P-4X6（答案：84%）25、设 E(X)=3，D(X)=4，则根据切比雪夫不等式 P-2X11)=1-P(X=10)-P(X=11)=1-p 10-10p10(1-p)=1-p 10(11-10p)=1-0.410(11-4)=99.93%（答案：99.93%）4、设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X（单位：分钟）服从指数分布，其概率密度为 1 5f (x

26、) = e- x/5x 00else某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开，此人一个月要到该银行 12 次，以 Y 表示一个月内他因为没有等到服务而离开窗口的次数。求 P(Y=2)。解：首先，易知 Y 服从参数 n,p 的二项分布，其中n=12，p=P(X10)= 1 e- x/5 dx)=e-210 5于是，P(Y=2)= 12 p2 (1- p)10 = 66e-4 (1- e-2 )10 =0.2824 2 5、某种型号的电器的寿命 X（以小时记）具有以下的概率密度：1000x 1000f (x) = x2 0其它现有一大批此种器件，设各器件损坏与否相互独立，任取 5 只，问其

27、中至少有 2 只寿命大于2000 小时的概率是多少？（答案：13/16）6、某种型号灯泡的寿命 X（以小时记）具有以下的概率密度：1 1000f (x) = e0- x/1000x 0else现任取5 只这种灯泡，问其中至少有 4 只寿命大于 2000 小时的概率是多少？（答案：e-8(5-4e-2)或 0.00149571）解：设 5 只灯泡中寿命大于 2000 小时灯泡的只数为 N，则 N 服从参数为 5 和 p 的二项分布。其中p=P(X2000)= 1e- x/1000 dx=e-22000 1000于是，P(N4)=P(N=4)+P(N=5)=5p4(1-p)+p5=e-8(5-4e

28、-2)=0.001495717、设随机变量 X 服从参数为 =10 的泊松分布：P( X = k) =kle-l ,k=1,2,k!问：k 取何值时，P(X=k)最大。答案：k=9 或 k=10解：因为 P(X=k+1)/P(X=k)= /(k+1)所以，当 k10 时，P(X=k+1)/P(X=k)1；k1，于是k=9 或 k=10 时，P(X=k)最大。8、X 的概率密度为 x f X (x) = 800 x 4其它，求随机变量 Y=2X+8 的概率密度。解：Y 只在(8,16)内取值，对于 8y16，FY ( y) = PY y = P2 X + 8 y = PX yy -4 x- 4

29、= 2dx =( y - 4)22f ( y) = F ( y) =y - 1 20816YY 1324y - 18 y 16所以 fY ( y) = 3240其它9、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 120 小时的指数分布，现随机地取 100 个，设他们的寿命是相互独立的，求这 100 个元件的寿命的总和大于 12960 个小时的概率.标准正态分布数值表：x0.70.750.80.850.90.95(x)0.75800.77340.78810.80230.81590.8289（答案：0.2119）10、一本书排版后一校时出现错误处数 X 服从正态分布 N(200,400)，试求：（

30、1） 出现错误处数不超过 230 的概率；标准正态分布函数表（2） 出现错误处数在 190210 之间的概率。x(x)0.000.50000.100.53980.200.57930.300.61790.400.65540.500.69151.000.84131.500.93322.000.97722.500.99383.000.99873.500.9998（答案：（1）93.32%；（2）38.3%）解：（1）P(X230)=P(X-200)/2030/20=1.5)=(1.5)=93.32%;（2）P(190X210)=P(|X-200|/20 0x 0，若将这两个电子装置串联组成整机，求整

31、机寿命（答案：125）12、设随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y) = c,| y | x,0 x 1，其中 c 为常数（1） 求常数 c；0,其它（2） 求边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)，并说明 X 和 Y 是否相互独立2x0 x 11 + y- 1 y 0（答案：（1）c=1；（2） f X (x) = 0； fY其它( y) = 1 - y0 y 1 ；X 和 Y不相互独立） 0其它13、设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度6,f (x, y) = 0,x2 y x,求边缘概率密度 fX(x)和 fY(y).其它 x dyxx2x解： f X(x) = -f (x

32、, y)dy = x2 6= 6( -),0 1y0,其它fY ( y) = -f (x, y)dx = yy0,6dx= 6(- y),0 y 1其它14、设(X，Y)的联合分布律为YX103-1020101010032010101求：（1）EX；（2）EY；（3）EXY解：PX=1=0.4，PX=0=0.2，PX=3=0.4，EX=0.4+0.4*3=1.6PY=1=0.4，PY=-1=0.3，PY=2=0.3，EX=0.4-0.3+0.6=0.7 EXY=-0.2+0.1+0.9+0.2+0.6=1.615、设随机变量 X 在 1、2、3、4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y 在 1 X 中等可能地取一整数值。求(X,Y)的分布律。（答案：见下表）解：P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)*(1/4)i=1,2,3,4, 1ji于是，(X,Y)的分布律为YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/1616、设随机变量(X,Y)的分布律为YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8试判断（1）X 与 Y 是否相关？（2）X 与Y 是否相互独立？（