河北省衡水市2022届高三下学期二模考试数学试题含解析.pdf

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1、-1-20212022 学年高三学年高三 4 月质量检测月质量检测数学数学注意事项：注意事项：1本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中

2、，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的1已知集合22Ax x，1,2,3,4,5B，则AB A2,3,4,5B1,2,3,4C1,2,3D2,3,42复数342izi（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知双曲线 C：222210,0 xyabab）的焦距为2 5，且实轴长为 2，则双曲线 C 的渐近线方程为A12yx B2yx C5yx D52yx 4已知为锐角，且sinsin36，则tanA3B6C23D635共有 5 名同学参加演比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为A110B15C16

3、D256已知某圆台的高为7，上底面半径为2，下底面半径为2 2，则其侧面展开图的面积为A9B6 2C8 2D9 2-2-7已知sin1sin11aee，tan2tan21bee，cos3cos31cee，则AabcBacbCbcaDcab8在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，2AB，点 C 满足ACBC，则点 C 到点3,1P的距离的最大值为A3B72C4D5二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要

4、求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知等差数列 na的前 n 项和为2212na nnS，公差为 d，则A11a B1d C2222nnnSaaD21 3521nnSan 10在某独立重复实验中，事件 A，B 相互胜立，且在一次实验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 B 发生的概率为 1-p，其中0,1p若进行 x 次实验，记事件 A 发生的次数为 X，事件 B 发生的次数为 Y，事件 AB 发生的次数为 Z，则下列说法正确的是A E XE YB D XD YC E ZD XD n D XD XD Y11已知三棱锥 P-ABC

5、 外接球的球心为 O，外接球的半径为 4，4ABAC，PBPC，BCm（m 为正数），则下列命题是真命题的是A若4 2m，则三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为32 16 23B若 P，O，A 不共线，则平面POA平面 ABCC存在唯一点 P，使得OP 平面 ABCDm 的最大值为4 212已知函数 sinxf x，其中0对于任意的,6 2，函数 f x在区间,12 4上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是-3-A函数 f x的最小正周期小于6B函数 f x在0,12内不一定取到最大值C52123D函数 f x在0,12内一定会取到最小值三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小

6、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知向,20akkk，3,4b，若abab，则实数k 14已知奇函数 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，且 f x有且仅有一个零点，则 f x的函数解析式可以是 f x 15已知抛物线21120yp x p与抛物线22220 xp y p在第一象限内的交点为00,P xy，若点 P 在圆 C：2210108xy上，且直线 OP 与圆 C 相切，则12p p 16在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解例如：曲线2yx在1x 处的 切 线 方 程 为21yx，且221xx，若 已 知3mnt，则22221 21 213mnt

7、mnt ，取等条件为1mnt，所以222mnt的最小值为 3已知函数 32612f xxxx，若数列 na满足2na，且121010aaa，则数列nf a的前 10 项和的最大值为；若数列 nb满足0nb，且12100180bbb，则数列nf b的前 100 项和的最小值为（本题第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤算步骤17（本小题满分 10 分在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分到为 a，b，c，已知222cos2cosbbcAaacB，2c

8、（1）证明：ABC 为等腰三角形；（2）设ABC 的面积为 S，若，S 的值在7cos2cosBC；2CA CBS ；2228abc三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题满分 12 分）设等比数列 na的前 n 项和为nS，已知1132nnnSSa，且11a-4-（1）求数列 na的通项公式；（2）已知数列 nc是等差数列，且11ca，32cS，设nnnbac，求数列 nb的前 n 项和nT。19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形60BADBPD，2PBPD（1）证明：平面PAC 平面

9、 ABCD；（2）若二面角 P-BD-A 的余弦值为13，求二面角 B-PA-D 的正弦值20（本小题满分 12 分）在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题 5 分，已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为56，答错的概率均为16；对于第三道题，答对和答错的概率均为12；对于最后一道题，答对的概率为13，答错的概率为23（1）求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于 15 分的概率；（2）设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为 X，求 X 的分布列21（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：222210 xyabab的左，右焦点为1F，2F，

10、离心率为22过点2,0P作直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点若 A 是椭圆 C 的短轴端点时23AFAP （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）试判断是否存在直线 l，使得21F A，2112FP，21FB成等差数列？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由22（本小题端分 12 分）已知函数 ln xaf xaRt（1）当1a 时，求函数 f x的极值：（2）若曲线 yf xx有1x，212xxx两个零点-5-（）求 a 的取值范图；（）证明：存在一组 m，0n nm，使得 f x的定义域和值域均为,m n参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则1【答案】B【解析】因为

11、22x的解为0,4，所以0,4A，所以1,2,3,4AB 2【答案】A【解析】易知3422 11225iiizii，所以复数 z 对应的点为2 11,5 53【答案】B【解析】由题意可知，22 5c，22a，所以5c，1a，所以222bca，则2ba4【答案】C【解析】因为sinsin36，所以1331sincossincos2222，所以31 cos31 sin，所以31tan23315【答案】B【解析】把甲、乙捆绑在一起，然后与余下的两个排列，再把捆绑的甲、乙和丙一起插空，所求概率为22235522411205A AA6【答案】D【解析】易知母线长为2272 223，且上底面圆周长为2 2

12、，下底面圆周为4 2，易知展形图为圆球的一部分，圆环所在的小圆半径为 3，则大圆半径为 6，所以面积116 4 23 2 222S 9 27【答案】C【解析】设函数 1xxf xee，则 f x为偶函数，且当0 x时，10 xxfxee，所以 f x在,0上 单 调 递 减，在0,上 单 调 递 增，因 为3sin12，-6-3tan21cos32 ，所 以tan21 3cos3sin102，又sin1af，tan2tan2bff，cos3cos3cff，所以bca8【答案】C【解析】由题意可知点 C 在以线段 abcd，为直径的圆上，设 AB 的中点坐标为,M a b，有1OMAMBM，可得

13、221ab，由1MPOP，22312OP，有CPMP 11 12 1 14OP 当且仅当 O，M，P 三点共线时取等号9【答案】ABD【解析】取1n，则21112aa，解得11a，即 A 正确；由 A 可知，22nnnS，则212321dSa，即 B 正确；因为222222222nnnnnSnnaa，即 C 错误；因为22nnSan，且21211 3212nnnn，即 D 正确10【答案】BC【解析】因为E Xnp，1E Ynp，即 A 错误；因为1D Xnpp，1D Ynp，即 B 正确；因为 A，B 独立，所以1P ABpp，所以 1E ZnppD X，即 C 正确；因为 2111n D

14、Zn pppp，2221D XD Yn pp，即 D 错误11【答案】AB【解析】若4 2m，则ABAC，则ABC 外接圆的半径2 2r，所以球心 O 到平面 ABC的距离2242 22 2d，所以三棱锥高的最大值为42 2，所以体积的最大值为21132 16 2442 2323，即 A 正确；-7-设 BC 的中点为 H，易知PHBC，AHBC，所以BC 平面 POA，所以平面POA平面ABC，即 B 正确；设直线 OP 与球的另一交点为0P，若OP 平面 ABC，则0OP 平面 ABC，即 C 错误；当 m 最大时，O，A，B，C 共面，因为4OBOCABACOA，所以23BAC，所以4

15、3BCm，即 D 错误12【答案】AD【解析】由题意可知，26T4126T，即 A 正确；因为26T，所以12，则当0,12x，,12x，又62，12766，所以函数 f x在0,12上一定有极大值点，即 B 错误；由题意可知，2462321222kkkZ，整理得4824243kk，可得2k，48 23 523，即 C 错误；当0,12x时，,12x，又 因 为62，523，52131212392936182，所以函数 f x在0,12上一定有极小值点，即 D 正确13【答案】5【解析】易知3,24abkk，3,24abkk，所以 2294160ababkk，解得5k 由0k，可得5k 14【

16、答案】221xx 或,1,11,11,x xxx （答案不唯一）【解析】由题意可知，f x仅有一个零点0 x，结合单调性，-8-可知 221xf xx或,1,11,11,x xf xxx 15【答案】310【解析】因为220010108xy，所以2200002 10120 xyxy，因为201 02yp x，20202xp y，所 以00124x yp p，当OP与 圆 相 切 时，222200812OPxyOC，所以001210 xy，所以2220000001225x yxyxy，所以00123410 x yp p 16【答案】70540【解析】231212fxxx，则 17f，13f，所以

17、曲线 yfx在1x 处的切线 方 程 为34yx，且 易 知 342fxxx，所 以34nnf aa，所 以1210f af af a121034070aaa，当且仅当12101aaa时，等号成立，曲线 yfx在0 xx处的切线为23200000031212612yxxxxxxx，因为0nb，则令此切线过原点，解得03x 或00 x，所以曲线 yfx在3x 处的切线方程为3yx，且 30fxx x，所以 12100121003540f bf bf bbbb，当且仅当0nb 或3nb 时，等号成立，取1b 2603bb，62621000bbb，即 nb的前 100 项中有 60 项为 2，40项

18、为 0 时，等号成立17【答案】（1）略（2）选，15S；选，12S ；选，15S【解析】（1）证明：因为222cos2cosbbcAaacB，所以22222cos2cosbcbcAacacB，由余弦定理可知，22ab，即ab，即ABC 为等腰三角形；（2）解：选，-9-由（1）可知，AB，所以2CB，所以27cos2cos2cos22cos224cosBCBBB，整理得24cos7cos20BB，解得1cos4B，所以77coscos28CB，所以215sin1 cos8CC，又由1cosBa，可得4a，所以1115sin4 415228SabC ；选，因为2CA CBS ，所以22coss

19、inaCaC，解得4C，所以2224222aa，得242 2a，212242 212224Sa；选，因为2228abc，且ab，2c，所以4ab，所以22216 1647cos22 4 48abcCab，所以215sin1 cos8CC，所以1115sin4 415228SabC 18【答案】（1）12nna（2）1 21nnTn【解析】（1）因为1132nnnSSa，所以1322nnnSSan，两式相减，可得11332nnnnaaaan，整理得122nnaan，1n 时，1221222232232242aSaaaaaa，212aa，所以公比2q，即数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比

20、数列，所以12nna；（2）略-10-19【答案】（1）略（2）2 23【解析】（1）证明：设ACBDO，连接 PO，在菱形 ABCDK，O 为 BD 中点，且BDAC，因为PBPD，所以BDPO，又因为POACO，PO，AC 平面 PAC，所以BD 平面 PAC，因为BD 平面 ABCD，所以平面PAC 平面 ABCD；（2）解：作OM 平面 ABCD，以,OA OB OM 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PBPDBDABAD，则3OAOP，1OB，因为OABD，OPBD，所以POA为二面角 P-BD-A 的平面角，所以1cos3POA，则32 6,0,33P，3,0,0A，0

21、,1,0B，0,1,0D，所以3,1,0AD ，3,1,0AB ，2 32 6,0,33AP ，设平面 PAB 的法向量为111,mx yz，则1111302 32 60 33m ABxym APxz ，取11z，则12x，16y，所以2,6,1m，设平面 PAD 的法向量为22,znxyz，则2222302 32 60 33n ADxyn APxz ，取11z，则12x，26y ，所以2,6,1n，设二面角 B-PA-D 为，则26 11cos326 126 1m nmn ，所以22 2sin1 cos3-11-20【答案】（1）55108（2）略【解析】（1）设得分不低于 15 分为事件

22、A，则 222125111511511512556236623623623108P AC;（2）易知 X 的取值可能为 0，5，10，15，20，则211210623108P X；221211211115122356236236623216P XC，2211221115121511151281310623623662366232168P XCC，2212151151151285156623623623216P XC，25112520623216P X，则 X 的分布列为X05101520P11082321638852162521621【答案】（1）2212xy（2）不存在，理由见解析【解析】（

23、1）由题意可知，22cea，即2ac，当 A 为椭圆的短轴端点时，不妨设0,Ab，则2,AFb c ，,2APb ，所以2223AFAPbc ，因为22222abcc，所以22bc，所以223cc，解得1c，所以2a，1b，-12-所以椭圆 C 的标准方程为2212xy；（2）设 l：2yk x，将直线方程与椭圆 C 的方程联立，22212yk xxy，消去 y，整理得2222218820kxk xk，因为422644 21 820kkk，解得22,22k，设11,A x y，22,B xy，则2122821kxxk，21228221kx xk，所以42222121212224 821221k

24、kxxxxx xk，易知11,0F，所以2222221111111111112222F Axyxxxx，同理2121222FBxx，所以2242221211122248122244221xxkkF AFBxxk，又因为219FP，所以4222481224921kkk，刯得4228830kk，因为分解为2221 1430kk，解得22k ，因为210,2k，所以不存在直线 l 符合题意22【答案】（1）f x的极大值为 11f，无极小值（2）（）ln2122a；（）略【解析】（1）解：当1a 时，ln1xf xx，则 2lnxfxx，令 0fx，解得1x，列表可知，x（0，1）11,-13-fx

25、+0-f x单调递增1单调递减 f x的极大值为 11f，无极小值；（2）（）解：由题意可知，ln0 xaxx有两解，即2ln0 xxa有两解，设 2lng xxxa，则 211 22xgxxxx，令 0gx，解得22x，列表可知，min2ln21222g xga，因为 g x有两个零点，所以 max0g x，解得ln2122a，当0axe时，有ln0 xa，可得 ln0g xxa，令 21ln2xxx，有 211 xxxxx，可得函数 x的增区间为1,，减区间为0,1，有 1102x，可得21ln02xx，当2xa时，2221111ln202222g xxxaxaxaa所以存在122x，22

26、2x，使得120g xg x，所以ln2122a；（）证明：因为 21lnaxfxx，令 0fx，解得1 axe，列表可知，f x在10,ae上单调递增，在1,ae上单调递减，当12axe时，12 2210aag eeg x，解得ln21124a，所以 ln11xf xx，所以11amne，即 f x在,m n上单调递增，所以 f mm，f nn，即1mx，2nx，-14-所以当ln21124a时，存在一组 m，n 符合题意；当1a 时，12 210aag ee，所以112axex，所以不存在1 anme符合题意，若1 anme，则 f x在,m n上单调递减，所以 lnmaf mnm，lnnaf nmn，所以lnlnmanamn，即mn，不符题意；若1 amen，f x在1,am e上单调递增，在1,ae上单调递减，所以 max11 1aaf xf ene，又因为 1121aaf neaem，所以 max()f xf mm，即1mx，11ane，所以当1a 时，存在一组 m，n 符合题意；综上，存在一组 m，n 符合题意