2023届高考数学专项复习柯西不等式的证明及相关应用.pdf

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1、2023届高考数学专项复习柯西不等式的证明及相关应用2023届高考数学专项复习柯西不等式的证明及相关应用柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。一、柯西（Cauchy）不等式：一、柯西（Cauchy）不等式：22211nnbababa2222122221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab 时成立（k 为常数，ni2,1）现将它的证明介绍如下：方法 1证明：构造二次函数2222211)(nnbxabxabxaxf=22221221122222

2、12nnnnbbbxbababaxaaa由构造知 0 xf恒成立又22120nnaaa044222212222122211nnnnbbbaaabababa即222212222122211nnnnbbbaaabababa当且仅当nibxaii2,10即1212nnaaabbb时等号成立方法 2证明:数学归纳法（1）当1n 时左式=21 1ab右式=21 1ab显然左式=右式当2n时右式222222222212121 1222112aabbaba ba ba b2221 12212 1 21 2222aba ba a bbaba b左式故1,2n 时 不等式成立（2）假设nk,2kk时，不等式成立

3、即222212222122211kkkkbbbaaabababa当iimab，m 为常数，ki2,1或120kaaa时等号成立设 A=22221kaaaB=22221kbbb1 122kkCaba ba b2CAB 则212121212121kkkkkkbaBaAbABbBaA22221111112kkkkkkCCababCab22222222121121kkkkaaaabbbb21 12211kkkkaba ba bab当iimab，m 为常数，12,1ki或121kaaa时等号成立即1nk时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是

4、一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题（1）证明不等式例例 1 已知正数,a b c满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式23131312222222222abca ab bc c222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以 2，再加上2

5、22abc得：2222222cba222cbacba3acbcab 22233323332222cba3cbacbacbacba故2223333abcabc（2）三角形的相关问题例例 2 设p是ABC内的一点，,x y z是p到三边,a b c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得：111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。2、求解有关数学问题、求解有关数学问题常用于求最值常用于求最值例例 3已知实

6、数,a b c,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd 即由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当2361 21 31 6bcd时等号成立，代入111,36bcd时，max2a211,33bcd时min1a例例 4 4空间中一向量a与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为，（，均非象限角），求222sin9sin4sin1的最小值。解:由柯西不等式得：)sinsin(sin)sin3()sin2()sin1(2222222)sinsin3sinsin2sinsin1(2222222)321()sinsin)(si

7、nsin9()sin4()sin1(sin2 sin2 sin2 2236)sin9sin4sin1(22218)sin9sin4sin1(222222sin9sin4sin1的最小值为 18三、巧用柯西不等式的变形解题三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中

8、更快更准地解决问题柯西不等式的变形公式：柯西不等式的变形公式：约定niRbi2,1,有nnnnbbbaaabababa212212222121当且仅当nnbababa2211等号成立分析：由柯西不等式可得221212222121nnnnaaabbbbababa例例 1设1,2121nnxxxRxxx且，证明211212132222121xxxxxxxxxxxxnnnnn证明：由变形公式得：1212132222121xxxxxxxxxxxxnnnnn 2113221221xxxxxxxxxnn例例2 2(2007年广州市一模理科)已知a，b0，且a+b=1，求12a+1b的最小值解析：a，b0，且a+b=1，由柯西不等知:22312/212/2121222bababa当且仅当ba12/2即22,12ba时等号成立223121minba练习练习设且各不相同Naaan,21，证明nnaaaan13121132223221证明：将naaa,21从新排序设为21naaa则有naaan21,2,1nkknkak1111而所需证目标：nknkkkka11212111211nknknkkkkka结合柯西不等式得：nknkknkknkknkkknkkkaakaakak11211221211111得结论nknkkkka1121