2023届高中数学题型全面归纳1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含答案.pdf

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1、2023 届高中数学题型全面归纳届高中数学题型全面归纳第三节第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词量词考纲解读考纲解读1了解逻辑联结词了解逻辑联结词“且且”、“或或”、“非非”的含义的含义2理解全称量词与存在量词的意义理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定能正确地对含有一个量词的命题进行否定命题趋势探究命题趋势探究预测预测 2019 年高考主要考查年高考主要考查：复合命题真假的判断复合命题真假的判断、全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参数范围数范围题型主要以选择题、填空题

2、为主题型主要以选择题、填空题为主知识点精讲知识点精讲1简单的逻样联结词简单的逻样联结词（1）一般地，用联结词）一般地，用联结词“且且”把命题把命题p和和q联结起来，得到一个新命颐，记作联结起来，得到一个新命颐，记作pq，读作，读作“p且且q；（2）一般地，用联结词）一般地，用联结词“或或”把命题把命题p和和q联结起来，得到一个新命题联结起来，得到一个新命题记作记作pq，读作，读作“p或或q”；（3）一般地，对一个命题）一般地，对一个命题p否定，得到一个新命题，记作否定，得到一个新命题，记作p，读作，读作“非非p”或或“p的否定的否定”逻辑联结词的真值规律如表逻辑联结词的真值规律如表 1-2 所

3、示所示表表 1-2pqpqpqp真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真真真假假假假真真假假假假假假假假假假真真口诀口诀:（1）“p且且q”，一假则假一假则假，全真才真全真才真；（2）“p或或q”，一真则真一真则真，全假才假全假才假；（3）“p”，真假相真假相对对2全称量词与存在童词全称量词与存在童词（1）全称量词与全称命题全称量词与全称命题短语短语“所有的所有的”、“任意一个任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号并用符号“”表示表示含含有全称量词的命题叫做全称命题有全称量词的命题叫做全称命题全称命题全称命题“对对M中的任意一个中的任意一个x，有，有()p x成立

4、成立”可用符号简记为可用符号简记为“,()xM p x”，读作，读作“对任意对任意x属于属于M，有，有()p x成立成立”（2）存在量词与特称命题）存在量词与特称命题短语短语“存在一个存在一个”、“至少有一个至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表表示示含有存在量词的命题叫做特称命题含有存在量词的命题叫做特称命题特称命题特称命题“存在存在M中的一个中的一个0 x，使，使0()p x成立成立”可用符号简记为可用符号简记为“00,()xM P x”，读作，读作“存在存在M中元素中元素0 x，使，使0()p x成立成立”（特称命题也叫存在性命题）（特称命

5、题也叫存在性命题）3含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题）全称命题的否定是特称命题全称命题全称命题:,()pxM p x 的否定的否定p为为0 xM，0()p x（2）特称命题的否定是全称命题）特称命题的否定是全称命题特称命题特称命题00:,()pxM p x的否定的否定p为为,()xMp x 注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一区别否命题与命题的否定区别否命题与命题的否定:只有只有“若若p，则，则q”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段

6、只对全称、特称命题在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式研究否定定形式)；命题命题“若若p，则，则q”的否命题是的否命题是“若若p，则，则q，而否定形式为，而否定形式为“若若p，则，则q”一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示题型题型 7 判断含逻辑联结词的命题的真假判断含逻辑联结词的命题的真假思路提示思路提示判断命题真假的一般步骤为：判断命题真假的一般步骤为：（1）确定命题的构成形式；）确定命题的构成形式；（2）判断所用的逻辑联结词联结的每

7、个简单命题的真假；）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假；（3）报据真值表判断新命题的真假）报据真值表判断新命题的真假例例 115 判断下列命题的真假判断下列命题的真假（1）24 既是既是 8 的倍数，也是的倍数，也是 6 的倍数；的倍数；（2）矩形的对角线互相垂直或相等；）矩形的对角线互相垂直或相等；（3）菱形不是平行四边形；）菱形不是平行四边形；（4）30分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论解析解析：（1）命题命题:24p是是8的倍数的倍数，:24q是是6的倍数的倍数，用用“且且”联结后构成新命题联结后构成新命题，即即

8、pq因为因为,p q都都是真命题，所以是真命题，所以pq为真命题为真命题（2）:p矩形的对角线垂直，矩形的对角线垂直，:q矩形的对角线相等，用矩形的对角线相等，用“或或”联结后构成新命题，即联结后构成新命题，即pq因为因为q是真命是真命题，所以题，所以pq是真命题是真命题（3）:p菱形是平行四边形，用菱形是平行四边形，用“非非”联结后构成新命题，即联结后构成新命题，即p因为因为p是真命题，所以是真命题，所以p是假命题是假命题（4）:30p，:30q，用用“或或”联结后构成新命题联结后构成新命题，即即pq，因为命题因为命题p是真命题是真命题，所以命题所以命题pq是是真命题真命题变式变式 1（20

9、17山东）已知命题山东）已知命题01)0pxln x:,(；命题；命题 q：22abab若 ，则，下列命题为真下列命题为真命题的是（命题的是（）ApqBpqCpq Dpq 解析：解析：命题命题:0,(1)0pxln x，则命题，则命题p为真命题，则为真命题，则p为假命题；为假命题；取取12,abab,，但，但22ab，则命题则命题q是假命题，则是假命题，则q是真命题是真命题pq是假命题，是假命题，pq是真命题，是真命题，pq 是假命题，是假命题，pq 是假命题是假命题故选故选 B变式变式 2 已知命题已知命题,p q，则，则“p或或q为真为真”是是p且且q为真为真”的的()A充分不必要条件充分

10、不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件B B解析解析：为真命题恒成立，命题从而pxxx0)1ln(,11,0C C是假命题。，故命题得到的正负未知，因此无法且qbababa22,D D为真命题。qp故选故选 B B变式变式 3 3(2016(2016商丘模拟商丘模拟)已知命题已知命题p：函数：函数1(10)1xyaaa且的图象恒过点的图象恒过点1,2；命题；命题q：已：已知知/平面平面，则直线，则直线/m是直线是直线/m的充要条件则下列命题为真命题的是的充要条件则下列命题为真命题的是()A ApqB B()()pq C C()pqD

11、 D()pq 解析解析：由指数函数恒过点由指数函数恒过点0,1知知，函数函数11xya是由是由xya先向左平移先向左平移 1 1 个单位个单位，再向上平移再向上平移 1 1 个单位个单位得到，所以函数得到，所以函数11xya恒过点恒过点()1,2，故命题，故命题p为真命题；命题为真命题；命题q：m与与的位置关系也可能是的位置关系也可能是m，故，故q是假命题所以是假命题所以()pq 为真命题故选为真命题故选 D D题型题型 8 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定思路提示思路提示（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即即“任意任意”变变“存

12、在存在”、“存在存在”变变“任意任意”)再否定结论；再否定结论；（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；（3）注意命题的否定与否命题的区别；）注意命题的否定与否命题的区别；（4）当）当p的真假不易判断时，可转化为去判断的真假不易判断时，可转化为去判断p的真假的真假例例 116 写出下列命题的否定并判断其真假写出下列命题的否定并判断其真假（1）:p不论不论m取何实数，方程取何实数，方程210 xmx 必有实数根；必有实数根；（2）:p有的三角形的三条边相等；有的三角形的三条边相等；（3）:p菱形的对角线互相垂直；

13、菱形的对角线互相垂直；（4）0:Npx，200210 xx 分析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，再对命题进行否定并判断真假分析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，再对命题进行否定并判断真假解析解析：（1）:p存在一个实数存在一个实数m，使方程使方程210 xmx 没有实数根没有实数根 因为该方程的判别式因为该方程的判别式240m，故故p为假命题为假命题（2）:p所有三角形的三条边不全相等所有三角形的三条边不全相等显然显然p为真，故为真，故p为假命题为假命题（3）:p有的菱形对角线不垂直有的菱形对角线不垂直显然显然p为真，故为真，故p为假命题为假命题（4）2:

14、,210pxN xx 。显然，当。显然，当 x=1 时，时，2210 xx，故，故p为假命题为假命题评注评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表 1-3 所示所示表表 1-3正面词语正面词语否定否定等于（等于（=）不等于（不等于（）大于（大于（）不大于（不大于（）小于（小于（）不小于（不小于（）是是不是不是都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有任意任意存在存在所有所有某个（些）某个（些）至多有至多有 n 个个至少

15、有至少有 n+1 个个任意两个任意两个某两个某两个特别地，联结词特别地，联结词“且且”的否定为的否定为“或或”，“或或”的否定为的否定为“且且”“p 且且 q”的 否 定 是的 否 定 是“p或或q”，“p 或或 q”的 否 定 是的 否 定 是“p且且q”即即)()()(qpqp，)()()(qpqp，与集合的德摩根法则可类比记忆，与集合的德摩根法则可类比记忆变式变式 1 命题命题“存在存在0 xR，020 x”的否定是（的否定是（）A不存在不存在0 xR，020 xB存在存在0 xR，020 xC对任意的对任意的Rx，20 xD对任意的对任意的Rx，20 x解析解析 对于存在性命题的否定对

16、于存在性命题的否定，要先改变量词要先改变量词，再否定结论再否定结论，所以原命题的否定为所以原命题的否定为“对任意的对任意的”故故选选 D变式变式 2（20172017成都七中半期成都七中半期）设命题设命题:(0,),tan2pxxx，则，则p为为（）A.000(0,),tan2xxxB(0,),tan2xxx B.000(0,),tan2xxxD(0,),tan2xxx 解析解析 A A由全称命题与特称命题之间的互化关系知选由全称命题与特称命题之间的互化关系知选 A A题型题型 9根据命题真假求参数的范围根据命题真假求参数的范围例例 117 命题命题 p:关于关于 x 的不等式的不等式2240

17、 xax，对一切，对一切Rx恒成立，恒成立，q：指数函数：指数函数()32xf xa是增函数是增函数若若 p 或或 q 为真，为真，p 且且 q 为假，求实数为假，求实数 a 的取值范围的取值范围分析分析 由命题由命题 p 或或 q 为真，为真，p 且且 q 为假，则为假，则 p 与与 q 中有且只有一个为真命题，由此进行讨论中有且只有一个为真命题，由此进行讨论解析解析 解法一：由解法一：由 p 或或 q 为真，为真，p 且且 q 为假，则为假，则 p 与与 q 中有且只有一个为真中有且只有一个为真若若 p 真真 q 假假，p 真则不等式真则不等式2240 xax对一切对一切Rx恒成立恒成立，

18、故故0，即即24160a，得得-2a2,q假假，得得 03-2a1,得得 a1,故故2a综上，实数综上，实数 a 的取值范围为的取值范围为|212a aa 或解，大前提是法二：由指数函数的定义可知解，大前提是法二：由指数函数的定义可知231 a或或 a1 得得 ag(x2)恒成立，则实数恒成立，则实数 m的取值范围是的取值范围是_解析：解析：f(x)x22x3(x1)22，当当 x1,4时，时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，则，则 f(x)ming(x)max，即，即 22m，解得，解得 m0 则（则（）A命题命题qp是假命题是假命题B命题命题qp 是真命题是真命题C命

19、题命题)(qp是假命题是假命题D命题命题)(qp是真命题是真命题40图 1-185已知命题已知命题;0,2,1:2axxp命题命题,:Rxq.0222aaxx若命题若命题 p 且且 q 是真命题是真命题，则实则实数数a 的取值范围为（的取值范围为（）A12oraaaB212aoraaC1aaD12aa6下列说法错误的是（下列说法错误的是（）A如果命题如果命题p与命题与命题qp都是真命题，那么命题都是真命题，那么命题 q 一定是真命题一定是真命题B命题命题“若若 a=0则则 ab=0”的否命题是的否命题是“若若 a0，则，则 ab0”C若命题若命题210 xxx R,，则则,:Rxp2x01xD

20、21sin是是30的充分不必要条件的充分不必要条件7已知命题已知命题:,sinpxR xx，则，则 p 的否定形式为的否定形式为_8给出以下四个命题给出以下四个命题:若若qp为真命题，则为真命题，则qp 为真命题为真命题命题命题“若若ABA,则则BBA”的逆命题的逆命题设设 a,b,c 分别是分别是ABC 三个内角三个内角 A,B,C 所对的边，若所对的边，若 a=1,b=3,则则30A是是60B的必要不充分条件的必要不充分条件命题命题“若若)(xf是奇函数，则是奇函数，则)(xf 是奇函数是奇函数”的否命题的否命题其中真命题的序号是其中真命题的序号是_9axxp311:已知命题恒成立已知命题

21、恒成立,命题命题212:ayq为减函数为减函数,若若qp 为真命题为真命题,则实数则实数 a 的取值的取值范围为范围为_10(2016郑州一模郑州一模)已知函数已知函数 f(x)x4x，g(x)2xa，若，若x112，3，x22,3使得使得 f(x1)g(x2)，则，则实数实数 a 的取值范围是的取值范围是()Aa1Ba1Ca0Da011已知才已知才 c0设命题设命题 p:函数函数xyclog为减函数为减函数命题命题 q:当当2,21x时时,函数函数 cxxxf11恒成恒成立立如果如果 p 或或 q 为真命题为真命题,p 且且 q 为假命题为假命题,求求 c 的取值范围的取值范围12已知函数已

22、知函数 12cos324sin42xxxf且又给定且又给定:42px(1)在在 p 的条件下的条件下,求求 xf的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)若又给定条件若又给定条件 q：2mxf且且 p 是是 q 的充分条件，求实数的充分条件，求实数 m 的取值范围的取值范围13.已知函数已知函数 f(x)x2x1x1(x2)，g(x)ax(a1，x2)(1)若若x02，)，使，使 f(x0)m 成立，则实数成立，则实数 m 的取值范围为的取值范围为_；(2)若若x12，)，x22,)使得使得 f(x1)g(x2)，则实数，则实数 a 的取值范围为的取值范围为_最有效训练题最有效训练题 31.1.

23、D D 解析解析 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选由全称命题与特称命题之间的互化关系知选 D D2A 解析解析 由由“是真命题是真命题”，得命题，得命题均为真命题，均为真命题，“是假命题是假命题”，则，则 是真命题，因此是真命题，因此“是真命是真命题题”是是“为假命题为假命题”的充分不必要条件的充分不必要条件故选故选 A3B 解析解析 由基本不等式可得由基本不等式可得，故命题故命题 为假命题为假命题，为为真命题；任意真命题；任意，命题，命题 为真命题，为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，故为假命题，故选选 B4D 解析解析 对于命题对于命题成立，因此命题成立，因此命题 是真命题；对于

24、命题是真命题；对于命题，显然，显然时时不不满足满足，因此命题，因此命题 是假命题，所以命题是假命题，所以命题是真命题，故选是真命题，故选 D5A 解析解析 由已知可知由已知可知均为真命题，由命题均为真命题，由命题 为真得为真得，由命题，由命题 为真得为真得，所以，所以，故选，故选 A6D 解析解析 因为因为“”真真，所以所以 为假为假，又又“”为真为真，所以所以 为真为真，故故 A 正确正确；B,C 显然正确显然正确；因为因为时，时，,但但时时,不一定为不一定为 300，故，故是是的必要不充分条件的必要不充分条件故选故选 D7解析解析 特称命题的否定是全称命题特称命题的否定是全称命题，求特称命

25、题的否定时求特称命题的否定时，先将先将“”改为改为“”，再否定再否定结论，所以结论，所以 的否定形为的否定形为8解析解析 因为因为为真，所以为真，所以 真或真或 真，故真，故不一定为真命题，故不一定为真命题，故假；假；逆命题：若逆命题：若，则，则，因为，因为，所以，所以，故，故真；真；由条件得，由条件得，当当时时，有有，注意注意，故故,但当但当时时，有有，故故真；真；否命题：若否命题：若不是奇函数，则不是奇函数，则不是奇函数，这是一个真命题，假若不是奇函数，这是一个真命题，假若为奇函数，则为奇函数，则，即，即，所以，所以为奇函数，与条件矛盾为奇函数，与条件矛盾故填故填9解析解析 因为因为恒成立

26、知恒成立知,即即,由由为减函数得为减函数得，即，即，又因为，又因为为真命题，所以为真命题，所以均为真命题，均为真命题，得得，则实数的取值范围是，则实数的取值范围是1010C C 解析解析：x12，3，f(x)2x4x4，当且仅当当且仅当 x2 时时，f(x)min4，当当 x2,3时，时，g(x)min22a4a，依题意，依题意 f(x)ming(x)min，a0，故选，故选 C.11解析解析解法一解法一：由由为减函数得为减函数得；当当时时，因为因为，故函数故函数在在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数，所以上为增函数，所以在在上的最小值为上的最小值为当当时时，由函数由函数恒成立恒成立，得得

27、，解得解得，如果如果 真且真且 假假，则则；如果如果假且假且 真，则真，则所以所以 的取值范围为的取值范围为解法二：解法二：,如图如图 1-20 所示，所示，1图 1-2012解析解析（1）因为）因为又因为又因为，所以，所以即即。所以。所以的最大值为的最大值为 5，最小值为，最小值为 3（2）因为因为，所以所以，又因为又因为 是是 的充分条件的充分条件，所以实数所以实数的取值范围是的取值范围是13.13.解析解析(1)(1)因为因为f f(x x)x x2 2x x1 1x x1 1x x1 1x x1 1x x1 11 1x x1 11 12 21 13 3，当且仅当，当且仅当x x2 2

28、时等号成立，所时等号成立，所以若以若x x0 022，)，使，使f f(x x0 0)m m成立，则实数成立，则实数m m的取值范围为的取值范围为33，)(2)(2)因为当因为当x x2 2 时时，f f(x x)3 3，g g(x x)a a2 2，若若x x1 122，)，x x2 222，)使得使得f f(x x1 1)g g(x x2 2)，则则a a2 23 3，a a1 1，解得解得a a(1(1，3 3 第二章第二章 函数函数本章知识结构图本章知识结构图函数八字图函数八字图映射定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在 x

29、0 处有定义的奇函数f(0)01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义函数换元法求解析式分段函数注意应用函数的单调性求值域周期为 T 的奇函数f(T)f(T2)f(0)0复合函数的单调性：同增异减一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换

30、方程不等式函数性质图像本章以函数为核心本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域函数的性质主要包括函数的定义域、解析式解析式、值域值域、奇奇偶性偶性、单调性单调性、周期性及对称性函数周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合函数知识的外延主要结合于函数方程于函数方程（函数零点函数零点）及函数与不等式的综合及函数与不等式的综合.函数方程函数方程（函数零点函数零点）问题常借助函数图像求解问题常借助函数图像求解函数与函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化

31、求解不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解.第一节第一节映射与函数映射与函数考纲解读考纲解读1、了解函数的构成要素，了解映射的概念了解函数的构成要素，了解映射的概念.2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.3、了解简单的分段函数，并能简单应用了解简单的分段函数，并能简单应用.命题趋势探究命题趋势探究 有关映射与函数基本概念的高考试题有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值分段函数的解析式和函数值的求解的

32、求解，主要以考查学生的基本技能为主主要以考查学生的基本技能为主，预测预测 2019 年试题将加强对分段函数的考查年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择考试形式多以选择题或填空题为主题或填空题为主.知识点精讲知识点精讲1、映射映射设设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则 f，对，对 A 中的任何中的任何个元素个元素 x，在，在 B 中中有且仅有一个元素有且仅有一个元素 y 与之对应，则称与之对应，则称 f 是集合是集合 A 到集合到集合 B 的映射的映射.注注 由映射的定义可知由映射的定义可知，集合集合 A 到集合到集合 B 的映

33、射的映射，元多个元素对应一个元素元多个元素对应一个元素，但不允许但不允许个元素对应多个元个元素对应多个元素，素，即可以一对一，也可多对一，但不可一对多即可以一对一，也可多对一，但不可一对多.注注 象与原象象与原象如果给定一个从集如果给定一个从集合合 A 到集到集合合 B 的映射的映射，那么那么与与 A 中的元中的元素素 a 对应对应的的 B 中的元中的元素素 b 叫叫 a 的象的象 记记作作 bf(a),a叫叫 b 的原象的原象A 的象记为的象记为 f(A)2、一一映射一一映射设设 A，B 是两个集合是两个集合，f 是是 A 到到 B 的映射的映射，在这个映射下在这个映射下，对应集合对应集合

34、A 中的不同元素中的不同元素，在集合在集合 B 中都有不同中都有不同的象，且集合的象，且集合 B 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射 f 为为 AB 的一一映射的一一映射.注注 由一一映射的定义可知由一一映射的定义可知，当当 A，B 都为有限集合时都为有限集合时，集合集合 A 到集合到集合 B 的一一映射要求一个元素只能对应的一一映射要求一个元素只能对应个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合 A 与集合与集合 B 中的元素个数相等中的元素个数相等.3、函数函数设集合设集合 A，B

35、 是非空的数集是非空的数集，对集合对集合 A 中任意实数中任意实数 x 按照确定的法则按照确定的法则 f 集合集合 B 中都有唯一确定的实数值中都有唯一确定的实数值 y 与与它对应，则这种对应关系叫做集合它对应，则这种对应关系叫做集合 A 到集合到集合 B 上的一个函数记作上的一个函数记作 yf(x)xA其中其中x叫做自变量叫做自变量，其取值范围其取值范围（数集数集 A）叫做该函数的定义域叫做该函数的定义域，如果自变量取值如果自变量取值 a，则由法则则由法则 f 确定确定的值的值 y 称为函数在称为函数在 a 处的函数值处的函数值，记作记作 yf（a）或或 y|x=2，所有函数值构成的集合所有

36、函数值构成的集合|(),Cy yf x xA叫做该函数的值域，可见集合叫做该函数的值域，可见集合 C 是集合是集合 B 的子集的子集.注注 函数即非空数集之间的映射函数即非空数集之间的映射注注 构成函数的三要素构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是

37、不同的函数就是不同的函数.题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示题型题型 10 映射与函数的概念映射与函数的概念思路提示思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则 f 下对应集合下对应集合 A 中的任一元素在中的任一元素在 B中都有唯中都有唯的象的象，判断一个对应是否能构成函数判断一个对应是否能构成函数，应判断应判断：（1）集合集合 A 与是否为非空数集与是否为非空数集；（2）f：AB是否为一个映射是否为一个映射.例例 2.1 若若 f：AB 构成映射下列说法中正确的有（构成映射下列说法中正确的有（）A 中任中任元素在元

38、素在 B 中必须有象且唯一；中必须有象且唯一；B 中的多个元素可以在中的多个元素可以在 A 中有相同的原象；中有相同的原象；B 中的元素可以在中的元素可以在 A 中无原象；中无原象；象的集合就是集合象的集合就是集合 BA B.C.D.解析解析 由映射的定义可知由映射的定义可知,集合集合 A 中任一元素在中任一元素在 B 中必须有象且唯中必须有象且唯是正确的；集合是正确的；集合 A 中元素的任意性与中元素的任意性与集合集合 B 中元素的唯一性构成映射的核心，显然中元素的唯一性构成映射的核心，显然不正确，不正确，“一对多一对多”不是映射；不是映射；因因 A 在对应法则在对应法则 f 下的值下的值域

39、域 C 是是 B 的子集，所以的子集，所以正确；正确；不正确，象的集合是集合不正确，象的集合是集合 B 的子集，并不一定为集合的子集，并不一定为集合 B故选故选 C变式变式 1在对应法则在对应法则 f 下，给出下列从集合下，给出下列从集合 A 到集合到集合 B 的对应的对应2(1):1,2,0;pxxa(2)xyxfZBNA)1(:,；（3）Ax|是平面内的三角形是平面内的三角形，By|y 是平面内的圆，是平面内的圆，f：:xy 是是 x 的外接圆；的外接圆；（4）设集合）设集合 Ax|是平面内的圆，是平面内的圆，By|y 是平面内的矩形，是平面内的矩形，f:：xy 是是 x 的内接矩形的内接

40、矩形其中能构成映射的是其中能构成映射的是_分析分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射定义，即在对应法则判断一个对应是不是映射，应紧扣映射定义，即在对应法则 下，对应集合下，对应集合 A A 中的任一元素在中的任一元素在 B B 中能中能否都有唯一的象否都有唯一的象.解析解析在（在（1 1）中，元素）中，元素 0 0 在在 B B 中没有象，不满足中没有象，不满足“任意性任意性”，因此，（，因此，（1 1）不能构成映射。）不能构成映射。在（在（2 2）中，当）中，当 为偶数时，其象为为偶数时，其象为 1 1；当；当 为奇数时，其象为为奇数时，其象为-1-1，而，而 1 1，-1-1，即，即 A

41、 A 中任一元素在中任一元素在 B B 中都中都有唯一的象，因此（有唯一的象，因此（2 2）能构成映射。）能构成映射。在（在（3 3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（3 3）能够成映射）能够成映射.在（在（4 4）中，因为平面内的任一个圆，其内接矩形有无数个，因此（）中，因为平面内的任一个圆，其内接矩形有无数个，因此（4 4）不能构成映射）不能构成映射.综上所述，能构成映射的有（综上所述，能构成映射的有（2 2）（）（3 3）评注评注 判断一个对应是否能够成映射判断一个对应是否能够成映射，应紧扣映射定义应紧扣映射定义，在映射在映射中中，A,

42、BA,B 的地位是不对等的的地位是不对等的，它并它并不要求不要求 B B 中元素均有原象中元素均有原象，或有原象也未必唯一或有原象也未必唯一，一般地一般地，若若 A A 中元素的象的集合为中元素的象的集合为 C C，则则，同时要同时要注意映射中集合元素的对象是任意的，可以是数、点或其它任意对象注意映射中集合元素的对象是任意的，可以是数、点或其它任意对象.变式变式 2 已知函数已知函数 yf(x),定义域为定义域为 A1,2,3,4值域为值域为 C5,6,7,则满足该条件的函数共有多少个？则满足该条件的函数共有多少个？分析分析 由函数定义，本题等价于将由函数定义，本题等价于将 4 4 件不同的东

43、西分配给件不同的东西分配给 3 3 人，且每人至少人，且每人至少 1 1 件件.解析解析 利用捆绑法，得利用捆绑法，得，故满足条件的函数有，故满足条件的函数有 3636 个个例例 2.22.2有以下判断：有以下判断：|f(x)=xx与与1,0()1,0 xg xx表示同一函数；表示同一函数；函数函数()yf x的图象与直线的图象与直线1x 的交点最多有的交点最多有 1 1 个；个；2(1)2f xxx 与与2(1)2g ttt 是同一函数；是同一函数；若若1()|f xxx，则，则1()02f f.其中正确判断的序号是其中正确判断的序号是_解析解析对于对于，由于函数由于函数|()xf xx的定

44、义域为的定义域为0|x xRx且，而函数而函数1,0()1,0 xg xx的定义域的定义域是是R R，所以二者不是同一函数；对于，所以二者不是同一函数；对于，若，若1x不是不是()yf x定义域内的值，则直线定义域内的值，则直线1x与与()yf x的图象的图象没有交点没有交点，如果如果1x是是()yf x定义域内的值定义域内的值，由函数定义可知由函数定义可知，直线直线1x与与()yf x的图象只有一个交的图象只有一个交点，即点，即()yf x的图象与直线的图象与直线1x最多有一个交点；对于最多有一个交点；对于，()f x与与()g t的定义域、值域和对应关系均的定义域、值域和对应关系均相同，所

45、以相同，所以()f x和和()g t表示同一函数；对于表示同一函数；对于，由于，由于111f()1=0222，所以，所以1()(0)12f ff.综上可知，正确的判断是综上可知，正确的判断是.变式变式 1 1 下列所给图象是函数图象的个数为下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3D4解析解析A A 中函数的定义域不是中函数的定义域不是 2,22,2，C C 中图象不表示函数，中图象不表示函数，D D 中函数值域不是中函数值域不是0,20,2，故选，故选 B.B.题型题型 11 同一函数的判断同一函数的判断思路提示思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时当且仅当给定两个函

46、数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数才表示同一函数，否则表示不同的函数否则表示不同的函数例例 2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组在下列各组函数中，找出是同一函数的一组（1）0 xy 与与 y=1（2）2xy 与与2xy（3）xxy31与与331tty解析解析（1）0 xy 的定义域为的定义域为0 xx;y=1 的定义域为的定义域为 R,故该组的两个函数不是同一函数；故该组的两个函数不是同一函数；(2)2xy 的定义域为的定义域为0 xx;2xy 的定义域为的定义域为 R，故该组的两个函数不是同一函数；，故该组的两个函数不是同一函数；(3)两个函数的定义域均为两个函数的定义

47、域均为xx0，且对应法则也相同，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数故该组的两个函数是同一函数故为同一函数的一组是（故为同一函数的一组是（3）评注评注 由函数概念的三要素容易看出由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性无关这被称为函数表示法的无关特性变式变式 1 下列函数中与下列函数中与 yx是同一函数的是是同一函数的是()(1)2xy(2)xaaylog(3)xaaylog(4)33xy(5)(*NnxynnA(1)(2)B(2)(3)C(2)(4

48、)D(3)(5)分析分析 首先判定定义域，再判断对应法则，也可快速判断值域首先判定定义域，再判断对应法则，也可快速判断值域.解析解析（1 1）的解析式不同的解析式不同，不是同一函数不是同一函数；（2 2）的定的定义域和解析式完全相同，为同一函数义域和解析式完全相同，为同一函数（3 3），但函数的定义域为，但函数的定义域为的定义域不相同，故不是同一函数；的定义域不相同，故不是同一函数；（4 4），其定义域与解析式与，其定义域与解析式与完全相同，为同一函数；完全相同，为同一函数；（5 5）解析式不同，故不是同一函数，解析式不同，故不是同一函数，故选故选 C C评注评注 由于值域可由定义域和对应法则

49、唯一确定由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，才才是同一函数，即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，因此函数的定义域和值域是同一函数，即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，因此函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。不能唯一地确定函数的对应法则。题型题型 12 函数解析式的求法函数解析式的求法思路提示思路提示 求函数解析式的常用方法如下：求函数解析式的常用方法如下：(1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.(2)

50、当已知表达式为当已知表达式为 xgf时时，可考虑配凑法或换元法可考虑配凑法或换元法，若易将含若易将含x的式子配成的式子配成 xg，用配凑法用配凑法.若易换元若易换元后求出后求出x，用换元法，用换元法.(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.(4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.一、一、待定系数法（函数类型确定）待定系数法（函数类型确定）例例 2.4 已知二次函数已知二次函数)0(2acbxaxxf的图像上任意一点都不在直线的图像上任意一点都不在直线 y=x 的下方的下方.（1）求证求证:a+b+c