专题10：旋转型相似三角形（老师版）.docx

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1、专题10：旋转型相似三角形-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1在RtABC中，BAC90，AD是ABC的中线，ADC45，把ADC沿AD对折，使点C落在C的位置，CD交AB于点Q，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出ADDCBD，ACAC，ADCADC45，CDCD，进而求出C、B的度数，求出其他角的度数，可得AQAC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案【详解】解：如图，过点A作AEBC，垂足为E，ADC45，ADE是等腰直角三角形，即AEDEAD，在RtABC中，BAC90

2、，AD是ABC的中线，ADCDBD，由折叠得：ACAC，ADCADC45，CDCD，CDC45+4590，DACDCA（18045）267.5CAD，B90CCAE22.5，BQD90BCQA67.5，ACAQAC，由AECBDQ得：，故选：A【点评】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键2如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接以下四个结论：；其中正确的个数为（ ）A个B个C个D个【答案】D【解析】四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，EAB、GAD与BAG的和均为9

3、0，即可证明EAB与GAD相等；由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，DAG=CAF，然后问题可证；由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证HAFFAC，则有，然后根据等量关系可求解；由及题意知ADG=ACF=45，则问题可求证【详解】解：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形EAG=BAD=90又EAB=90-BAG，GAD=90-BAGEAB=GAD正确四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形AD=DC，AG=FGAC=AD，AF=AG，即又DAG+GAC=FAC+GACDAG=CAF正确四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线AFH=ACF=45又F

4、AH=CAFHAFFAC即又AF=AE正确由知又四边形ABCD为正方形， AC为对角线ADG=ACF=45DG在正方形另外一条对角线上DGAC正确故选：D【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明二、填空题3已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，则CH的长为_.【答案】【解析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明ANGADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明ADGCDE得到DAG=DCE，从而说明ADMCHM，得到，最后算出C

5、H的长.【详解】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，GNA=90，DN=FN=EN=GN，MAD=GAN，MDA=GNA=90，ANGADM，DF=EG=2,DN=NG=1，AD=AB=3，解得：DM=，MC=，AM=，ADM+MDG=EDG+CDG，ADG=EDC，在ADG和CDE中，ADGCDE（SAS），DAG=DCE，AMD=CMH，ADM=CHM=90，ADMCHM，即，解得：CH=.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.4如图，在四边形

6、ABCD中，AEBC，垂足为E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB（k为常数），则BD的长为_（用含k的式子表示）【答案】【解析】连接AC，将ABD绕点A逆时针旋转至ACG，连接DG，根据相似三角形的判定与性质求出DG=kBC，然后根据题意推出CDG=90，即可利用勾股定理求解【详解】解：如图，连接AC，AEBC，BECE2，BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转至ACG，如图所示，连接DG，则AD=AG，BD=CG，由旋转的性质可得：BAC=DAG，AB=AC，AD=AG，ABCADG，ADkAB，DG=kBC=4k，BAE+ABC=90，BAE=ADC，

7、ABC+ADC=90，ABCADG，ABC=ADG，ADG+ADC=90，即：CDG=90，【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键5如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，_【答案】【解析】连接BD，BF，FD，证明EBCFBD，根据题意，知道M，F，D三点一线时，FM最小，然后过点M作MGBD，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG和DG的长，再根据正切的定义计算即可【详解】解：连接BD，BF，FD，如图，FBD+DBE=45，EB

8、C+DBE=45，FBD=EBC，EBCFBD，FDB=ECB，DF=，由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DFMD，其中DM、DF的值一定，当M，F，D三点一线时，FM最小，过点M作MNBD，垂足为G，MBN=45，BM=AB=4，MN=BN=2，MD=4，DG=6，=，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键6已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为_【答

9、案】或【解析】根据得到点是的中点，再分两种情况讨论，如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形；利用相似三角形的性质即可求出EF；答案如图2当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，得到，同即可求出EF【详解】解：，点是的中点，又点在正方形的对称轴上，分以下两种情况讨论：如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，在正方形中，由折叠可知，设，则，解得，；如答案图2当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，则，同理可得，综上所述，折痕的长为或【点评】本题考查正方形的性质，轴对称变换

10、，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题7如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，则DH的长为_ 【答案】【解析】延长GE交AB于点M，作于首先求出AG、AH，由ADN，得，求出DN、AN，HN，在中利用勾股定理即可解决问题【详解】延长GE交AB于点M，作于N四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，四边形BFGM是矩形，点H为AG的中点，在中，故答案为【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题8如图，在矩形ABCD中，E是AD边

11、的中点，BEAC于点F，连接DF，分析下列五个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；S四边形CDEFSABF，其中正确的结论有_个【答案】4【解析】四边形ABCD是矩形，BEAC，则ABCAFB90，又BAFCAB，于是AEFCAB，故正确；由AEADBC，又ADBC，所以，故正确；过D作DMBE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BMDEBC，得到CNNF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；根据AEFCBF得到，求出SAEFSABF，SABFS矩形ABCDS四边形CDEFSACDSAEFS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD，即可得到S四边形CDEFSABF，故

12、正确【详解】解：过D作DMBE交AC于N，四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90，ADBC，BEAC于点F，EACACB，ABCAFE90，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF，AEADBC，CF2AF，故正确，DEBM，BEDM，四边形BMDE是平行四边形，BMDEBC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，故正确；AEFCBF，SAEFSABF，SABFS矩形ABCDSAEFS矩形ABCD，又S四边形CDEFSACDSAEFS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD，S四边形CDEFSABF，故正确；故答案为：4【点评】本题考查了相似三角形的判定和性

13、质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线，根据相似三角形表示出图形面积之间关系是解题的关键三、解答题9如图，在中，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，动直线从开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交于两点当点P运动到点A时，直线也停止运动（1）求点P到的最大距离；（2）当点P在上运动时，求的值；把绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点落在上时，的对应线段恰好与垂直，求此时t的值（3）当点P关于直线的对称点为F时，四边形能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）能，【解析】（1）当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，

14、过点C作CFAB于F，根据面积法求解即可；（2）分别求出DG和PG的长，求出，即可得；证明得即，解方程求解即可；（3）分当点P在上、当点P在上和当点P在上三种情况列式求解即可【详解】解：（1）当点P与点C重合时，点P到的距离最大，过点C作CFAB于F 根据勾股定理，得当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，最大值为RtABC斜边AB上的高CF，即点P到的最大距离是（2）当点P在上运动时，设运动时间为，则有，直线，如图，过点D作于点G，则四边形是矩形，即，即，直线直线，由旋转的性质，得，即，（3）因为点F是点P关于直线的对称点，即垂直平分，所以，当也垂直平分时，四边形为菱形直线，即，当点P在上

15、时，若垂直平分，则有，解得；当点P在上时，三点都在x轴上，构不成四边形；当点P在上时，若点P在直线的右侧，类比可得：，解得；若点P在直线的左侧，四点构不成凸四边形综上，当时，四边形为菱形【点评】此题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题10（1）【问题发现】：如图1在RtABC中，ABAC，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，易知ACFBCE线段BE与AF有怎样的数量关系？请直接写出（2）【拓展研究】：在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE

16、，AF请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】：在（1）（2）的条件下，若ABC的面积为8时，当正方形CDEF旋转到B、E、F点共线时，请直接写出线段AF的长【答案】（1）；（2），证明过程见解答；（3）或【解析】（1）当点与点重合时，证明和都是等腰直角三角形，所以它们的对应角相等，可得，可推出；（2）由和都是等腰直角三角形可得，再由，可证明，可推出仍然成立；（3）由、三点共线得，根据图1，由的面积为8，可求出，且，在中由勾股定理求出的长，再求的长，再由求出的长【详解】解：（1）结论：，如图1，四边形是正方形，点与点重合，；，（2）证明：如图2，由（1）得，四边形是正

17、方形，（3）如图1，点为的中点，的面积为8，点与点重合，四边形是正方形，；如图2，、三点共线且点在线段上，；如图3，、三点共线且点在线段上，则，综上所述，线段的长为或【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的化简以及解直角三角形等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题解题关键是利用旋转相似得到，问题（3）难点正确画出图形，得到11如图，和是有公共顶点直角三角形，点P为射线，的交点（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）在（1）的条件下，若把绕点A旋转，当时，

18、请直接写出的长度【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）PB的长为或【解析】（1）由条件证明ABDACE，即可得ABD=ACE，可得出BPC=90，进而得出BDCP；（2）先判断出ADBAEC，即可得出结论；(3) 分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明PEBAEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可【详解】解：（1）证明：如图，BAC=DAE=90，BAE+CAE=BAD+BAE，即BAD=CAE和是等腰直角三角形， 在ABD和ACE中， ，ABDACE（SAS），ABD=ACECAB=90，ACF+AFC=90，ABP+BFP=90BPF=90，B

19、DCP；（2）（1）中结论成立，理由：在RtABC中，ABC=30，AB=AC，在RtADE中，ADE=30，AD=AE， BAC=DAE=90，BAD=CAE，ADBAECABD=ACE同（1）得；（3）解：和是等腰直角三角形，当点E在AB上时，BE=AC-AE=1EAC=90，CE=同（1）可证ADBAECDBA=ECAPEB=AEC，PEBAECPB=当点E在BA延长线上时，BE=5EAC=90，CE=5同（1）可证ADBAECDBA=ECABEP=CEA，PEBAECPB=综上所述，PB的长为或【点评】此题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性

20、质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键12如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，点M、N分别在直线BC、DC上（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，求EF的长【答案】（1）见解析；（2）BMDN=BC；（3）EF的长为【解析】（1）如图1，过Q点作QPBD交DC于P，然后根据正方形的性质证明QPNQBM，就可以得出结论；（2）如图2，过Q点作QHBD交BC于H，通过证明QHMQDN，由相似三角形

21、的性质就可以得出结论；（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由NDENCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由DEFBMF而求出结论【详解】解：（1）如图，过Q点作QPBD交DC于P，PQB=90MQN=90，NQP=MQB，四边形ABCD是正方形，CD=CB，BDC=DBC=45DO=BO，DPQ=45，DQ=PQ，DPQ=DBC=45，QPNQBM，Q是OD的中点，且PQBD，DO=2DQ，DP=DC，BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，BQ=3PQ，NP=BM，DN+

22、BM=BC；（2）如图，过Q点作QHBD交BC于H，BQH=DQH=90，BHQ=45，COB=90，QHOC，Q是OB的中点，BH=CH=BC，NQM=90，NQD=MQH，QND+NQD=45，MQH+QMH=45，QND=QMH，QHMQDN，HM=ND，BM-HM=HB，BMDN=BC故答案为：BMDN=BC；（3）MB：MC=3：1，设CM=x，MB=3x，CB=CD=4x，HB=2x，HM=xHM=ND，ND=3x，CN=7x，四边形ABCD是正方形，EDBC，NDENCM，DEFBMF，DE=x，NQ=9，QM=3，在RtMNQ中，由勾股定理得：，设EF=a，则FM=7a，EF的

23、长为【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键13在矩形中，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且（1）求的值（2）求证：（3）作射线与射线交于点，若，求的长【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）【解析】（1）取AB的中点N，连接PN，PM只要证明PMFPNE，可得；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；（3）延长CD交EG与H由BE：AF=3：4，EN=2MF，设BE=3x，AF=4x，FM=a，EN=2a，由AM=2BN，可得4x-a=2（3x-2

24、a），推出a=x，可得AM=AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，在RtAEF中，根据勾股定理可得（x）2+（4x）2=29，解得x=，推出，根据DH/AE，可得，设DG=y，根据DHBE，可得，由此构建方程即可【详解】解：（1）解：取AB的中点N，连接PN，PMAM=MD，PB=PD，AN=NB，PM=AB，PN=AD，PMAB，PNAD，四边形ANPM是平行四边形，A=90，四边形ANPM是矩形，MPN=EPF=90，EPN=EPM，PMF=PNE=90，PMFPNE，故答案为：；（2）为的中位线，为中点，又（已证），（3）延长交于点，BE：AF=3：4，EN=2MF，设BE=3x，AF

25、=4x，FM=a，EN=2a，AM=2BN，4x-a=2（3x-2a），a=x，AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，在RtAEF中，（x）2+（4x）2=29，解得x=，DH/AE，可得，设DQ=y，DH/BE，【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型14如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求的值，（3）若DM1，CM2，求正方形AEFG的边长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【

26、解析】（1）由正方形的性质得ACD=AFG=45，进而根据对顶角的性质得CFM=ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明ACFABE，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由MFCMCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长【详解】（1）四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，ACD=AFG=45，CFM=AFG，CFM=ACM=45，CMF=AMC，MFCMCA；（2）四边形ABCD是正方形，ABC=90，BAC=45，AC=AB，同理可

27、得AF=，EAF=BAC=45，CAF+CAE=BAE+CAE=45，CAF=BAE，ACFABE，；（3）DM=1，CM=2，AD=CD=1+2=3，AM=，MFCMCA，即，FM=，AF=AMFM=，AF=，即正方形AEFG的边长为【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题15如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点（1）求证：；（2）如图2，如果，且，求的值；（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），或，【解析】（1）由题意：，根据三角形外

28、内角性质和三角形内角和可得，由此即可解决问题（2）延长交于点证明，可得，由，可得（3）因为与相似，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出接下来分两种情形分别求解即可【详解】（1）证明：如图1中，平分，平分的，（2）解：延长交于点，又，（3）与相似，中必有一个内角为是锐角，当时， ，如图，过B点作BHAE，AD平分BAC，BAH=45，AH=BH，当时，即时，如解图（3）-2；过B点作BHAE，分别是的内角的平分线，BD=AD，又，在中，综上所述，或，【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中

29、考压轴题16如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将AEF绕点A逆时针旋转（0360），直线BE、DF相交于点P（1）若ABAD，将AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是 （2）若ADnAB（n1），将AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由（3）若AB8，BC12，将AEF旋转至AEBE，请算出DP的长【答案】（1）BEDF；（2）不成立，结论：DFnBE；理由见解析（3）或【解析】（1）如图2中，结论：BEDF，BEDF证明ABEADF（SAS），利

30、用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DFnBE，BEDF，证明ABEADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可【详解】解：（1）结论：BE=DF，BEDF，理由：四边形ABCD是矩形，AB=AD，四边形ABCD是正方形，AE=AB，AF=AD，AE=AF，DAB=EAF=90，BAE=DAF，ABEADF（SAS），BE=DF，故答案为：BE=DF；（2）结论不成立，结论：DF=nBE，AE=AB，AF=AD，AD=nAB，AF=nAE，AFAE=ADAB，AFAE=ADAB，DAB=EAF=90，BAE=DAF，BA

31、EDAF，DFBE=AFAE=n，ABE=ADF，DF=nBE；（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在RtAEB中，AEB=90，AB=8，AE=AB=4，BE=，ABEADF，=，=，DF=，四边形AEPF是矩形，AE=PF=4，PD=DF-PF=；如图4-2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF=，PF=AE=4，PD=DFPF=，综上所述，满足条件的PD的值为或【点评】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题17将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为连接，过点作垂直于直线，

32、垂足为点，连接，如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；当且时，中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）结论不变，理由见解析；3或1【解析】（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；（2）连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可【详解】（1）由题知，且为等边三角形 ，为等腰直角三角形连接BD，如图所示即故答案为：等腰

33、直角三角形，（2）两个结论仍然成立连接BD，如图所示：，是等腰直角三角形四边形为正方形结论不变，依然成立若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，如图所示：此时点E与点A重合，得；当以CD为对角线时，如图所示：此时点F为CD中点，综上：的值为3或1【点评】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键18如图，在ABC中，ACB90，ACBC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN使CMN90，连接BN，射线NM交BC于点D（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，求证：BN+CMAM；若AM4，BN，求BD的

34、长；（2）如图2，若AB4，CN2，将CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）如图，过点C作CFCN，交AN于点F，由等腰直角三角形的性质，可求CNM=45，CM=MN，即可证FCN=ACB，CFN=CNF=45，根据“SAS”可证ACFBCN，可得AF=BN，根据等腰直角三角形的性质可得MF=MN=CM，即可证BN+CM=AM；由题意可求出CM=MN=，由全等三角形的性质可得CAF=CBN，即可证MCD=CBN，则CMBN，可得MCDNBD，根据相似三角形的性质和勾股定理

35、可求BD的长；（2）分BDH=90，DHB=90两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求CD的长【详解】证明：（1）如图，过点C作CFCN，交AN于点F，CMN是等腰直角三角形，CNM45，CMMN，CFCN，ACB90，FCNACB，CFNCNF45，ACFBCN，CFCN，且ACBC，ACFBCN（SAS），AFBN，CFCN，CMMN，MFMNCM，AMAF+FMBN+CMAM4，BN，BN+CMAM，CMMN，ACFBCN，CAFCBN，CAF+ACFCFN45，BCN+MCDMCN45CAFMCD，且CAFCBN，MCDCBNCMBNMCDNBD，CMDBND90MDNDMD+NDMNND在RtDNB中，BD（2）若BDH90，如图，此时点M与点D重合，CMN是等腰直角三角形，CN2CMMNCD，若BHD90，如图，BHD90，B45，BDH45CDN45NCDCN2【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质以及分类思想，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键