2022年高考数学真题分类汇编第7讲 解析几何(2022年高考真题)(解析版).pdf
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1、2022 年高考数学真题分类汇编年高考数学真题分类汇编第第 7 讲讲 解析几何解析几何一、单选题一、单选题1(2022全国高考真题(理)双曲线 C 的两个焦点为12,F F,以 C 的实轴为直径的圆记为D,过1F作 D 的切线与 C 的两支交于 M,N 两点,且123cos5F NF,则 C 的离心率为()A52B32C132D172【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴,设过1F作圆D的切线切点为G,可判断N在双曲线的右支,设12FNF,21F FN,即可求出sin,sin,cos,在21F FN中由12sinsinFF N求出12sinFF N,再由正弦定理求出1NF,2N
2、F,最后根据双曲线的定义得到23ba,即可得解;【详解】解:依题意不妨设双曲线焦点在x轴,设过1F作圆D的切线切点为G,所以1OGNF,因为123cos05F NF,所以N在双曲线的右支,所以OGa,1OFc,1GFb,设12FNF,21F FN,由123cos5F NF,即3cos5,则4sin5=,sinac,cosbc,在21F FN中,12sinsinsinFF N4334sincoscossin555baabccc,由正弦定理得211225sinsinsin2NFNFccFF N,所以112553434sin2252ccababNFF F Nc,2555sin222ccaaNFc又1
3、2345422222ababaNFNFa,所以23ba,即32ba,所以双曲线的离心率221312cbeaa故选:C2(2022全国高考真题(理)椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A,点 P,Q 均在 C上,且关于 y 轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为14,则 C 的离心率为()A32B22C12D13【答案】A【解析】【分析】设11,P x y,则11,Qxy,根据斜率公式结合题意可得2122114yxa,再根据2211221xyab,将1y用1x表示,整理,再结合离心率公式即可得解.【详解】解:,0Aa,设11,P x y,则11,Qxy,则1111,APAQyykkxa
4、xa,故21112211114APAQyyykkxaxaxa,又2211221xyab,则2221212baxya,所以2221222114baxaxa,即2214ba,所以椭圆C的离心率22312cbeaa.故选:A.3(2022全国高考真题(文)设 F 为抛物线2:4C yx的焦点,点 A 在 C 上,点(3,0)B,若AFBF,则AB()A2B2 2C3D3 2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,从而求得点A的横坐标,进而求得点A坐标,即可得到答案.【详解】由题意得,1,0F,则2AFBF,即点A到准线1x 的距离为 2,所以点A的横坐标为121,不妨设点A
5、在x轴上方,代入得,1,2A,所以223 1022 2AB.故选:B4(2022全国高考真题(文)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13,12,A A分别为 C 的左、右顶点,B 为 C 的上顶点若121BA BA ,则 C 的方程为()A2211816xyB22198xy+=C22132xyD2212xy【答案】B【解析】【分析】根据离心率及12=1 BA BA,解得关于22,a b的等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率22113cbeaa,解得2289ba,2289ba,12,A A分别为 C 的左右顶点,则12,0,0AaAa,B 为上顶点,所以(0,)Bb.所以
6、12(,),(,)BAab BAab,因为121BA BA 所以221 ab,将2289ba代入,解得229,8ab,故椭圆的方程为22198xy+=.故选:B.二、多选题二、多选题5(2022全国高考真题)已知 O 为坐标原点,过抛物线2:2(0)C ypx p焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点,其中 A 在第一象限,点(,0)M p,若|AFAM,则()A直线AB的斜率为2 6B|OBOFC|4|ABOFD180OAMOBM【答案】ACD【解析】【分析】由AFAM及抛物线方程求得36(,)42ppA,再由斜率公式即可判断 A 选项;表示出直线AB的方程,联立抛物线求得6(,)33p
7、pB,即可求出OB判断 B 选项;由抛物线的定义求出2512pAB 即可判断 C 选项;由0OA OB ,0MA MB 求得AOB,AMB为钝角即可判断 D 选项.【详解】对于 A,易得(,0)2pF,由AFAM可得点A在FM的垂直平分线上,则A点横坐标为3224ppp,代入抛物线可得2233242pypp,则36(,)42ppA,则直线AB的斜率为622 6342ppp,A 正确;对于 B,由斜率为2 6可得直线AB的方程为122 6pxy,联立抛物线方程得22106ypyp,设11(,)B x y,则16626pyp,则163py ,代入抛物线得21623pp x,解得13px,则6(,)
8、33ppB,则22673332ppppOBOF,B 错误;对于 C,由抛物线定义知:325244312pppABppOF,C 正确;对于 D,23663663(,)(,)0423343234ppppp ppppOA OB ,则AOB为钝角,又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMA MB ,则AMB为钝角,又360AOBAMBOAMOBM,则180OAMOBM,D 正确.故选:ACD.6(2022全国高考真题)已知 O 为坐标原点,点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上,过点(0,1)B的直线交 C 于 P,Q 两点,则()AC 的准线为1y B直线
9、AB 与 C 相切C2|OPOQOAD2|BPBQBA【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断 A,联立 AB 与抛物线的方程求交点可判断 B,利用距离公式及弦长公式可判断 C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p,所以抛物线方程为2xy,故准线方程为14y ,A 错误;1(1)21 0ABk,所以直线AB的方程为21yx,联立221yxxy,可得2210 xx,解得1x,故 B 正确;设过B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,所以,直线l的斜率存在,设其方程为1ykx,1122(,),(,)P x yQ xy,联立21ykxxy,得210 xkx,
10、所以21212401kxxkx x,所以2k 或2k ,21212()1y yx x,又2221111|OPxyyy,2222222|OQxyyy,所以2121212|(1)(1)|2|OPOQy yyykxkxkOA,故 C 正确;因为21|1|BPkx,22|1|BQkx,所以2212|(1)|15BPBQkx xk,而2|5BA,故 D 正确.故选:BCD三、填空题三、填空题7(2022全国高考真题)已知椭圆2222:1(0)xyCabab,C 的上顶点为 A,两个焦点为1F,2F,离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D,E 两点,|6DE,则ADE的周长是_【答案】13
11、【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc,即,根据离心率得到直线2AF的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率,写出直线DE的方程:3xyc,代入椭圆方程22234120 xyc,整理化简得到:22136 390ycyc,利用弦长公式求得138c,得1324ac,根据对称性将ADE的周长转化为2F DE的周长,利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】椭圆的离心率为12cea,2ac,22223bacc,椭圆的方程为222222213412043xyxyccc,即,不妨设左焦点为1F,右焦点为2F,如图所示,222AFaOFcac,23AF
12、 O,12AFF为正三角形,过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D,E 两点,DE为线段2AF的垂直平分线,直线DE的斜率为33,斜率倒数为3,直线DE的方程:3xyc,代入椭圆方程22234120 xyc,整理化简得到:22136 390ycyc,判别式22226 34 13 9616ccc,2121322 6461313cCDyy ,138c,得1324ac,DE为线段2AF的垂直平分线,根据对称性,22ADDFAEEF,ADE的周长等于2F DE的周长,利用椭圆的定义得到2F DE周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为:13.
13、8(2022全国高考真题)设点(2,3),(0,)ABa,若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点,则 a 的取值范围是_【答案】1 3,3 2【解析】【分析】首先求出点A关于ya对称点A的坐标,即可得到直线l的方程,根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式,解得即可;【详解】解:2,3A 关于ya对称的点的坐标为2,23Aa,0,Ba在直线ya上,所以AB所在直线即为直线l,所以直线l为32ayxa,即3220axya;圆22:321Cxy,圆心3,2C,半径1r,依题意圆心到直线l的距离223342132aada,即2225532aa,解得1332a,即1 3,3
14、2a;故答案为:1 3,3 29(2022全国高考真题)已知直线 l 与椭圆22163xy在第一象限交于 A,B 两点,l 与 x轴,y 轴分别交于 M,N 两点,且|,|2 3MANBMN,则 l 的方程为_【答案】22 20 xy【解析】【分析】令AB的中点为E,设11,A x y,22,B xy,利用点差法得到12OEABkk,设直线:AB ykxm,0k,0m,求出M、N的坐标,再根据MN求出k、m,即可得解;【详解】解:令AB的中点为E,因为MANB,所以MENE,设11,A x y,22,B xy,则2211163xy,2222631xy,所以2222121206633xxyy,即
15、12121212063xxxxyyyy所以1212121212yyyyxxxx,即12OEABkk,设直线:AB ykxm,0k,0m,令0 x 得ym,令0y 得mxk,即,0mMk,0,Nm,所以,22m mEk,即1222mkmk,解得22k 或22k(舍去),又2 3MN,即2222 3MNmm,解得2m 或2m (舍去),所以直线2:22AB yx,即22 20 xy;故答案为:22 20 xy10(2022全国高考真题)写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_【答案】3544yx 或7252424yx或1x 【解析】【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论
16、即可.【详解】圆221xy的圆心为0,0O,半径为1,圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4),半径为4,两圆圆心距为22345,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为 l 时,因为143OOk,所以34lk ,设方程为3(0)4yxt t O 到 l 的距离|19116td,解得54t,所以 l 的方程为3544yx,当切线为 m 时,设直线方程为0kxyp,其中0p,0k,由题意22113441pkkpk,解得7242524kp,7252424yx当切线为 n 时,易知切线方程为1x ,故答案为:3544yx 或7252424yx或1x .11(2022全国高考真题(理)若双
17、曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切,则m_【答案】33【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程,再将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径,依题意圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到方程,解得即可【详解】解:双曲线22210 xymm的渐近线为yxm,即0 xmy,不妨取0 xmy,圆22430 xyy,即2221xy,所以圆心为0,2,半径1r,依题意圆心0,2到渐近线0 xmy的距离2211mdm,解得33m 或33m (舍去)故答案为:3312(2022全国高考真题(文)记双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 e,写出满足条件“直线2yx
18、与 C 无公共点”的 e 的一个值_【答案】2(满足15e皆可)【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线byxa 中02ba即可求得满足要求的 e 值.【详解】解:2222:1(0,0)xyCabab,所以 C 的渐近线方程为byxa,结合渐近线的特点,只需02ba,即224ba,可满足条件“直线2yx与 C 无公共点”所以2211 45cbeaa,又因为1e,所以15e,故答案为:2(满足15e皆可)13(2022全国高考真题(文)设点 M 在直线210 xy 上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为_【答案】22(1)(1)5xy【解析】【分析】设出点 M 的坐标,利用(3
19、,0)和(0,1)均在M上,求得圆心及半径,即可得圆的方程.【详解】解:点 M 在直线210 xy 上,设点 M 为(,1 2)aa,又因为点(3,0)和(0,1)均在M上,点 M 到两点的距离相等且为半径 R,2222(3)(12)(2)aaaaR,222694415 aaaaa,解得1a,(1,1)M,5R,M的方程为22(1)(1)5xy.故答案为:22(1)(1)5xy14(2022全国高考真题(文)过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy;【解析】【分析】设
20、圆的方程为220 xyDxEyF,根据所选点的坐标,得到方程组,解得即可;【详解】解:依题意设圆的方程为220 xyDxEyF,若过0,0,4,0,1,1,则016401 10FDFDEF,解得046FDE ,所以圆的方程为22460 xyxy,即222313xy;若过0,0,4,0,4,2,则01640164420FDFDEF,解得042FDE ,所以圆的方程为22420 xyxy,即22215xy;若过0,0,4,2,1,1,则01 10164420FDEFDEF,解得083143FDE ,所以圆的方程为22814033xyxy,即224765339xy;若过1,1,4,0,4,2,则1
21、101640164420DEFDFDEF,解得1651652FDE ,所以圆的方程为2216162055xyxy,即2281691525xy;故答案为:222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy;四、解答题四、解答题15(2022全国高考真题)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F,渐近线方程为3yx(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,点1122,P x yQ xy在 C 上,且1210,0 xxy过 P 且斜率为3的直线与过 Q 且斜率为3的直线交于点 M.从下面中选取两个
22、作为条件,证明另外一个成立:M 在AB上;PQAB;|MAMB注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【答案】(1)2213yx(2)见解析【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得c的值,利用渐近线方程求得,a b的关系,进而利用,a b c的平方关系求得,a b的值,得到双曲线的方程;(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到200283kxkyk;由直线PM和QM的斜率得到直线方程,结合双曲线的方程,两点间距离公式得到直线 PQ 的斜率003xmy,由/PQAB等价转化为003kyx,由M在直线AB上等价于2
23、002kykx,然后选择两个作为已知条件一个作为结论,进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F,2c,渐近线方程为3yx,3ba,3ba,222244caba,1a,3b C 的方程为:2213yx;(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零,若选由推或选由推:由成立可知直线AB的斜率存在且不为零;若选推,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称,与从而12xx,已知不符;总之,直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为2yk x,则条件M在AB上,等价于20000
24、22yk xkykx;两渐近线的方程合并为2230 xy,联立消去 y 并化简整理得:22223440kxk xk设3334,A xyB xy,线段中点为,NNN xy,则2342226,2233NNNxxkkxyk xkk,设00,M xy,则条件AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得:3403434034220 xxxxxyyyyy,3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxk yy,即200283kxkyk;由题意知直线PM的斜率为3,直线QM的斜率为3,由101020203,3yyxxyyxx,1212032yyxxx,
25、所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3PMyxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330 xy,即333xyxy中,得:000032 333yxxyx,解得P的横坐标:100001332 33xyxyx,同理:200001332 33xyxyx,00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx 003xmy,条件/PQAB等价于003mkkyx,综上所述:条件M在AB上,等价于2002kykx;条件/PQAB等价于003kyx;条件AMBM等价于200283kxkyk;选推:由解得:2200002228,433kkxx
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