量子力学 第二章 算符理论.docx

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1、第二章 （一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理观测行为， 引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来 描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法那么、基本的位置和动量算符、复合算符的对 易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。L算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某 可测量对应的算符作用在态矢量上线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换作用到n维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个门阶方阵作用在n行1列矩阵上得到新的n行1列矩阵，用数

2、 学语言可表示为 = = h = 总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比 矩阵更丰富，我们将只研究方阵。微分算子：在微积分中更,也可简写成疗,。九守,力九前两种在解 dx dx dx dxi欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种那么经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子 作用在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法那么，是一种线性运算本征值和本征矢：在矩阵方程Ax=Ay中，把;L称为矩阵本征值，x称为矩阵的本征矢 本征值和本征函数：在微分方程。必/ = /中，把称为问题本征值，/称为本征函数 线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。考虑一个可测量Q，定义它的对应算符为Q，它的本征方程是

3、= 4+）或， 把几称为算符的本征值，/I的取值集合称为算符的谱，1+）称为算符的本征态（或本征矢），-称为算符的本征函数（注意：有时也把I巧记作本征值的对应本征态，如后面将遇到的坐标算符本征态、动量算符本征态1）第三公设一一观测公设：对于量子系统测量某个量。，这过程可以抽象为对应的算符0作 用于系统粒子的态矢量测量值只能为算符0的本征值乙。在这次测量后，假设得到测量值4,那么意味着系统状态|中）此时已坍缩到对应于本征值4的0的本征态（观测的影响：测量任何力学量都必须使用仪器。在观测的过程中，探测仪器不可防止地要与被测粒子发生相互作用：例如，要观测粒子的自旋，必须外加磁场）2 .厄米矩阵：根据

4、实际要求观测量应为实数，即算子对应的矩阵的本征值为实数，我们找到 这样的矩阵，在数学上称为厄米矩阵（自共规矩阵）厄米矩阵定义：方阵A任一元素满足阳=（%）,称方阵为厄米矩阵，记作A”=A 由这个定义，今后就把转置共辗称作厄米共辗厄米矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征矢正交（3）本征矢量构成一组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）第二公设一一可观测量公设（算符公设）：每个可观测量。都有其对应的厄米算符0,算 符的所有本征矢组成一个完备基3 .线性厄米算符的运算法那么：基本运算：（1） Af = Bf,A = B （2）单位算符= 1（3） Af + Ag = A（

5、f + g） （4） Af + Bf =（A + B）f人/八人、/八人、A人/人 /八人、八八八人（5） A +（B + Cj=（A + B）+C （6） BAf）=fiA）f （一般地ABwBA）算符作用在态矢（在坐标表象下）：（1）回顾投影式： = 肉同=例%）（小例?），同外 i=l;=1（2）算符作用在右矢/左矢的矩阵表示（这要求本征值必须是离散的！）：而=z, M 巴）仁 I。=同#=HMuaJ=a=M-jaj=a JJ（aN = （ft =e）=（夕|绘=a；N7 = 6 n a瓦=0： jj由此可得 a；N 祀=/3； = Mjj = A/ = Nh = N 此结论可简单表述为

6、：同一算符作用在右矢与作用在左矢 得到的结果构成厄米共较（3）算符的矩阵形式：由上可知加=何必卜，（4）厄米算符判别条件:（a|Q/3）= a+ （Qb） =（Q+a）+ b = lQHa/3）=（Qa/3）算符对函数作用时，条件改为：（%加）二（）4 .位置算符：戈是一个极其特殊的厄米算符，它的本征函数系平方不可积但是完备本征方程：xg =xg= Ag本征值：本征值的集合就是实数集R,这种本征值取值连续的情况称为连续谱相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱本征函数：除了点之外g取值都是0,考虑归一化要求有心2）区，取）=|可2 3（ 4） - 8 ,晨,）=时网力一本征函数规格化：虽然无法归

7、一化，但可考虑用3函数代替克罗内克符号为 -,其中加=1 / ：表示（Q）变化-q所用时间2dQ）/dt（4）本征值还是平均值？：当？ = 4=0,易知（0）*=。即Q千）=）显然这是算符0的本征方程，|%）是本征态，是平均值又是本征值，这是怎么一回 事？粒子状态对测量结果有什么影响？答案见第三章8.附录L不确定性原理的推导方差无=|（。-）*=忖=（如，故成=（4力,苏=（丽/*、2根据柯西施瓦茨不等式有（4。步怜沦卜同卜 对任意复数有忖2“im（z）2=三二上同理有z*=（犷=e a=（网一，代入得0况（此过程来源于量子力学导论3.4节，格里夫斯著）附录2：从艺到力的推导过程（波动力学观点

8、）。中（ti2 d2 1一维薛定谬方程一般形式为 土二=-乙 J + V + dt 1 2m 次 ,整理为 =5川，方程两边取共加得=-dt 2m dx 力dt2阴2 =旷生+也+二。2+乎=dtdt dt 21n （ dx1 dx2 ）考察包=卜2忸公=B_1%_2pP*2L 旦_+卜：dt J dr2mOx （ dx dx ?分部积分 =ffy _ +对后一项分部积分 =/ / 1、25 J/Jih。2乎* ziATf. + VT 2m dx hih d JMii2m Sx Idx dx ?法 f /w*。+1二xd Tv2m y dx dx。-访w*S+ ,二 2 T dx考察2m J （ dx dx ?那么有：=加2=-时+a尸=J+ -ih aicxy CzX,将此式和=J：*加dx比拟，可定义力=-吟 , （此过程来源于量子力学导论L5节，格里夫斯著）2m） dxdx即为动量算符