【精品】2022届二轮复习专题四第2讲空间位置关系的判断与证明学案.docx

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1、第2讲空间位置关系的判断与证明因必备知识精要梳理.直线、平面平行的判定及其性质易漏掉线在面内这个条件线面平行的判定定理:仁a/ bna / a.(2)线面平行的性质定理: a,au0,an3=bna b.(3)面面平行的判定定理:u夕力u,an斤P,g力4(4)面面平行的性质定理:a 夕,a Cl尸a,外尸b=a / b.1 .直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直的判定定理几ua,?n=尸,/_L2,/_L=/_La(2)线面垂直的性质定理: _La,/?_La=a/7.(3)面面垂直的判定定理:au在(4)面面垂直的性质定理:0_1_4以04=/,ua,a_L/=Q_LK 一 漏掉此处条件夕

2、还成立吗？误区警示上述八个定理成立的条件，每一个条件都缺一不元2 .平行与垂直的向量表示设直线I的方向向量为a=3力平面a，B的法向量分别为H=(2力2,C2),V=(3力3/3),那么 有(1)线面平行:/ a=a J_p=aji=0=aia2+4A2+ciC2=0.(2)线面垂直:/_Laua / p=a=4尸32乃尸奶2 二於2.(3)面面平行:a 夕=Jl V=N=加=Q2 =%3,。2 =奶342 =%。3.(4)面面垂直:a-L 夕=11，丫=|1，=0=。2。3+。2。3 +。2。3=0.|特别提醒用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，需强调直线在平面 困区关键能力

3、学案突破突破点一空间直线、平面位置关系的判断例1(1)(2021浙江高三模拟)m,n是两条不同的直线,a/是两个不同的平面,那么以下 判断正确的选项是()A.假设a J_42U%u夕,那么直线m与 一定平行8 .假设，那么直线m与n可能相交、平行或异面C.假设mLa,n/a,那么直线m与n 一定垂直D.假设4那么直线m与n 一定平行(2)(2020全国H,理16)设有以下四个命题：pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3：假设空间两条直线不相交,那么这两条直线平行.P4：假设直线仁平面内直线平面那么m.LL那么下述命题中所有真命题的序号是

4、.八P4 P1A2 口2vp3 口3 V 口4_规律方法判断空间位置关系常用的三种方法1 .借助空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理进行判断.2 .借助反证法，当从正面入手较难时,可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命 题，进而作出判断.3 .借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有 关定理，进行肯定或否认.对点练1(1)(2021四川遂宁二模)在正方体ABCD-A防GA中，设M为线段BC的中点，那么以下说法 正确的选项是()A.AiM_LBD4 .4M平面 CCiDQCAiMAB1DAMJ_ 平面 ABCiA(2)(2021甘肃一模)m.n

5、表示两条不同直线,a/表示两个不同平面.设有四个命题:pi： 假设 加氏2_1凡贝1J_a;2：假设那么假设 2a,a_L4那么 m伏p4：假设 m/a,mB，那么Q小那么以下复合命题中为真命题的是()A.piA2B.Dpi A/?4C.P2vp3D.P3 Vp4突破点二 空间直线、平面位置关系的证明考向1几何法证明空间平行、垂直关系例2在多面体ABCDEF中,BCEF,BF=&,aABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形,NE4c=60。，MN分别是AB,DF的中点.(1)求证:削平面4所；(2)求证:平面A8CJ_平面ACDF.规律方法用几何法证明空间中的平行与垂直关系，关键是灵

6、活运用各种平行(垂直)关系 的转化:面面平行的判定面面平行的性质面面垂直的判定面面垂直的性质对点练2（2020 全国HI,文 19）如图，在长方体ABCD/iBCQ 中，点&F分别在棱DD】,BBi上，且2DE=EDBF=2FB. 证明：(1)当 。时,MJLAC;(2)点G在平面AM内.考向2向量法证明空间平行、垂直关系例3如图,在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,M为A3的中 点，。为。尸的中点.证明:(1)OM平面(2)平面 M0FJ_平面 EFCD.规律方法向量法证明空间平行与垂直关系时，是以计算为手段，寻求直线上的线段对应的 向量和平面的基向量

7、、法向量的关系,关键是建立空间直角坐标系(或找空间一组基底)及寻找 平面的法向量.对点练3A B如图，在四棱锥 P-ABCD 中,PA，底面 /DC.AD=DC=AP=2.AB= 1, 为 棱PC的中点,证明：BE上DC;(2*平面 PAD;(3)平面PC。，平面PAD.第2讲空间位置关系的判断与证明关键能力学案突破【例1】(1)C (2) 解析对于A,九可能平行、异面、相交，故A错误; 对于B,假设，那么直线m与n不可能平行，故B错误;对于C,根据线面 垂直、线面平行的性质可知直线m与n 一定垂直，故C正确;对于D,直线m与n 可能平行，也可能异面，故D错误,应选C.(2);pi,4为真命题

8、必必为假命题,，口口?/。?为真命题，二P1八4为真命题0/p2为假命题,2 Vp3为真命题,3 V 口4为真命题.故 填.【对点练1】(1)C (2)C 解析如图，在正方体A3C0-A18G。中，对于A,假设AiM_L3D因为平面ABCQ,所以4A_LBD,又4AnAiM=4, 所以BQJL平面4AM所以BDJU4M而3。JLAC,显然矛盾，所以假设不成立，故A 不正确;对于B,因为平面CGD1。平面BBAiAAM与平面BByAxA相交，所以 Ai与平面CGDiO相交，故B不正确；对于C,因为MB J_平面A584,所以MB J_A8,又A, AB A5 nBM=8,所以 A3,平面AIM所

9、以AiMLAB,故C正确；对于 D,假设 4A/_L平面 A3GD1,因为 4OL4Q1AOLA民且 ABHADi=A 以4。，平面45Gz)1,所以AiM4D,显然矛盾，所以假设不成立，故D不正确.故 选C.(2)1是假命题，故口1是真命题;2是真命题;3是假命题，加与B也可能相交;P4 是假命题,鬼夕也可能相交.所以1/2,口1/4,34是假命题,2/3是真命题， 应选C.【例2】证明取AC的中点0,连接0MoM因为M,N分别是A8Qb的中点，所以在菱形ACDF 中,ONAE在A5C 中,0M5C.又因为 BCEF，所以 0M/E0A/n0N=0,所以平面0A/N平面AEEMNu平面0MN

10、,所以MN平面AEF.(2)连接0。氏因为A5C是边长为2的等边三角形，所以BOLAC.BO. 因为四边形ACL不是菱形，所以Ab=2.因为NFAC=60。,所以AC尸为等边三角形, 所以0尸_1_人。,0尸二71因为BF=V6以5。2+0/=3产.所以30J_OE因为R9nAe=0,所以80,平面ACOE又因为BOu平面ABC,所以平面4BCJL平面 ACDF.【对点练2】证明如图，连接8D囚A.因为A8=8C所以四边形A8C。为正方形，故AC_L8D又因为EBi_L平面ABCD,于是ACLBBi.所以AC,平面BBQ1D.由于Eru平面B31O1Q,所以EFAC.(2)如图，在棱A4上取点

11、G,使得AG=2GA,连接GDFCFG.29因为DiEDDiAGAADDi匚A4i,所以ED DAG,于是四边形EDiGA为平 JJ行四边形，故AEGOi.11因为 囱尸二乃囱口441,所以bGO4iB,尸GDGOi,四边形 JJFGDiCi为平行四边形，故GD1/FC1.于是AE /G.所以A,瓦EG四点共面，即点G在平面AE尸内.【例3】证明由题意，得A氏ARAE两两垂直，以A为原点建立如下图的空间直角坐标系A-xyz. 设正方形边长为1,那么 40,0,0)乃(1,0,0),C( 1,1,0)Q(0,1,0),F( 1Q1 ),M(累,0),O( W J .丽=(，瓦5=(-1,0,0)

12、, 丽瓦?=0, 丽 1瓦?三棱柱ADE-BCF是直三棱柱, A3,平面8CF,，瓦?是平面8CF的一个法向量，且0函平面BCF,0河平面BCF.(2)设平面与平面EFCD的法向量分别为ni=(xi,yi,zi),ii2=(X2,y2,Z2).二nDF = 0,nDF = 0,pq-yi + Zi = 0,得nDM = 0,1 n匕i-yi = 0令汨=1,那么平面MDF的一个法向量111=(1,*!，-g).同理可得平面EFCD的一个 法向量H2=(04J).niii2=0,平面MOF1，平面EFCD.【对点练3】证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得3( 1,0,0),。

13、(2,2,0),。(0,2,0),尸(0,0,2). 由E为棱PC的中点，得E(l,l).(1)向量励=(01,1),反二(2,0,0),故蓊反二0,所以(2)因为P4_L平面ABCRABu平面ABC。,所以AB,PA又因为AB1.4。,24。4。=4所以43，平面 PAD.所以向量费=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,而血荏=(0,1,1(1。0)=0,所以就 1 AB.又平面PAD,所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一个法向量屈=(1,0,0),向量丽=(0,2,-2),反二(2,0,0),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),那么设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),那么n-PD = 0, 0n (2y-2z = 09即，n-DC = 0,3 = 0,不妨令y=l,可得n=(0,l,l)为平面PCD的一个法向量.那么11荏二(0/)(1,0,0)=。,所以11，布.所以平面PAD,平面PCD.