广东省广州市六校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、高二数学（期中）试卷高二数学（期中）试卷1/42021-2022 学年第一学期期中联考高二数学试卷2021-2022 学年第一学期期中联考高二数学试卷考试时间：共 120 分钟注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息准确无误地填写在答题卡上，同时用 2B 铅笔将考号信息点涂黑。使用条形码的须将条形码粘贴到答题卡条形码框内。2回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡相应题号的区域内，写在本

2、试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。考试时间：共 120 分钟注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息准确无误地填写在答题卡上，同时用 2B 铅笔将考号信息点涂黑。使用条形码的须将条形码粘贴到答题卡条形码框内。2回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡相

3、应题号的区域内，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。1.设全集，集合，则A.B.C.D.2.不等式的解集为A.B.C.D.3.已知直线：，：，则“”是“平行于”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，平行四边形中，分别是的中点，若，则A.B.C.D.5.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.高二数学高二数学（期中期中）试卷试卷2/46.已知两点，到直线 的距离分别为，则满足条件的直线 共有A.

4、条B.条C.条D.条7.已知圆：和圆：、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为A.B.C.D.8.如图，在正方体中，分别为，的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是A.B.C.D.二、多项选择题选择题：本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多多项符合项符合题目题目要求要求。全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分。分。9.已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上

5、的截距为则下列结论正确的是A.的最小正周期为B.的最大值为C.在区间上单调递增D.为偶函数10.设奇函数在上单调递增，且，则下列选项中属于不等式的解集的有A.B.C.D.11.某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得分，部分选对的得 分，有选错的得 分”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是A.甲同学仅随机选一个选项，能得分的概率是B.乙同学仅随机选两个选项，能得 分的概率是高二数学高二数学（期中期中）试卷试卷3/4C.丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是12.已知正

6、方体棱长为，如图，为上的动点，平面下面说法正确的是A.直线与平面所成角的正弦值范围为B.点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D.己知为中点，当的和最小时，为的中点第第卷卷主观题主观题（本大题（本大题 2 2 题，共题，共 9090 分）分）三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.若，则_14.已知实数，满足条件，则的最大值_15.直线被圆截得的弦长最小值是_16.如图，已知平面四边形中，是边长为的正三角形，以为棱折成直二面角，若折叠后，四点在同一球面上，则该球的体积为_四、解答题（本大题

7、共 6 小题，共 70.0 分）17.已知，分别为内角，的对边，且求角；若，求的面积高二数学高二数学（期中期中）试卷试卷4/418.某中学 含初高中个年级 随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图求的值及样本中男生身高在单位：的人数；假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；根据频率分布直方图估计该校男生身高的分位数19.在中，已知是边上一点，边，所在直线的方程分别为，若，求直线的方程；若，求直线在轴上的截距20.把正方形以边所在直线为轴旋转到正方形，其中，分别为，的中点求证：平面；求证：平面；求平面与平面夹角的大小

8、21.已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上求圆的方程；设点在圆上，求的面积22.如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、若求切线所在直线方程；求的最小值；若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案1/9202021-202221-2022 学年第一学期学年第一学期期期中联考中联考高二数学高二数学（答案和解析答案和解析）1.【答案】【解析】解：，又全集，故选：2.【答案】解：不等式可转化成，解得故选：3.【答案】【解答】解：由直线与直线平行得，得或，经验证，当时，直线与重合，舍去，所以“”是“平行于”的充要条件故选 C4.【答

9、案】【解析】解：平行四边形中，分别是的中点，5.【答案】解：如图：在长方体的面的一侧再补填一个完全一样的长方体，连接，易知，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，因为，所以，在中，所以异面直线与所成角的余弦值为6.【答案】解：由点，易得，以点为圆心，半径为的圆，与以点为圆心，半径为的圆外切，故满足条件的直线 即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有条，高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案2/97.【答案】解：如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标，半径为，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，8.【答案】解：设的中点与的中点分别为、，连，由，平面，可知平面平

10、面，因为平面，所以在线段上，当最小时，最大，此时为的中点，所以的最大值，9.【答案】由图知，的最小正周期，则由，得由，得，则，所以当时，则单调递增因为，则不是偶函数，选 BC10.【答案】解：因为为奇函数且，所以，因为在上单调递增，故在上单调递增，所以，当时，由，可得，当时，由，可得，高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案3/9故不等式的解集为11.【答案】解：A.甲同学仅随机选一个选项，有、四种情况，能得分的有或，有种，所以能得分的概率是，故选项 A 正确；B.乙同学仅随机选两个选项有，共种，能得分的情况为只有种情况，所以能得分的概率是，故选项 B 正确；C.丙同学随机至少选择一个选项

11、，选一个选项，有、共种情况；选两个选项有，共种；选三个选项有，共种，选四个选项有共种，所以共有种情况，能得分有、共种情况，所以能得分的概率是，故选项 C 正确；D.丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有，共种；选三个选项有，共种，选四个选项有共种，所以共有种情况，能得分有共种情况，所以能得分的概率是，故选项 D 错误12.【答案】解：对于选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，故 A 选项正确；对于选项，当与重合时，连接、，在正方体中，平面，平面，高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答

12、案4/9四边形是正方形，则，平面，平面，平面，同理可证：，平面，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为设、分别为棱、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误；对于选项，设平面交棱于点，点，平面，平面，即，得，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，而，且，由空间中两点间的距离公式可得，所以，四边形为等腰梯形，选项正确；对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、三点共线，高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案5/9，所以，点不是棱的中点，选项错误13.【答案】【解析

13、】解：，14.【答案】解：由题意作出如下图形：令，则可看作圆上的动点到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，当直线与圆相切时，在直角三角形中，15.【答案】解：因为直线经过定点，定点在圆内，所以圆心到直线的最大距离为，所以，所求弦长的最小值为故答案为：16.【答案】【解析】解：平面四边形中，以为棱折成直二面角，若折叠后，四点在同一球面上，为的中点，底面三角形的外心，直二面角，所以的外心就是，四点在同一球面上的球的球心，球的半径为：；所以球的体积为：故答案为：高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案6/917.【答案】解：，由正弦定理可得：，即，；，由余弦定理，可得：，解得：，负值

14、舍去，18.【答案】根据题意，解得所以样本中学生身高在内 单位：的人数为设样本中男生身高的平均值为，则估计该校男生的平均身高为由，根据直方图，因为所以样本中的分位数落在内，设分位数为，则，解得所以估计该校男生身高的分位数为19.【答案】解：联立方程，解得，故点，又，所以，因为，所以，又为边上的一点，所以直线的方程为，即；因为，所以点为的中点，设点，则有，点在直线上，点在直线上，且，高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案7/9所以有，解得，故点，所以直线的方程为，即，令，解得，故直线在轴上的截距为20.【答案】解：设的中点为，连接，是的中点且是的中点且，且四边形是平行四边形，平面，平面，平

15、面为等腰直角三角形，且是的中点旋转过程中，平面平面且交线为平面，平面，设，易求得在中，平面分别以，为，轴建立空间直角坐标系如图，设，则，平面，高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案8/9面的法向量为，设平面的法向量为，不妨设，可得二面角是锐角，所求角的大小21.【答案】解：依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，中点为，斜率为，垂直平分线方程为，即联立，解得即圆心，分半径，分所求圆的方程为或为分点在圆上，或舍去，分，点到直线的距离为所以的面积为分22.【答案】解：由题意得，切线的斜率存在，设切线，即，所以圆心到切线的距离，解得或所以切线所在直线方程为或连接，交于点，设，所以在中，又，则，所以，即高二数学高二数学（期中期中）参考答案参考答案9/9由题知，切线的斜率存在，设切线，即设圆心到切线的距离为，所以，化简得则，在切线中，令，解得，所以，即，所以，此时故的最小值为