辽宁省沈阳市2022届高三上学期一模数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 4页辽宁省沈阳市辽宁省沈阳市 20222022 届高三上学期一模数学试题届高三上学期一模数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1集合22Axx，2,1,0,1B ，则AB（）A1,1,2B2,1,0,1C1,0,1D2,1,0,1,22已知i为虚数单位，若复数13i zi，则z（）A1B2C2D53关于双曲线2212:Cxy与222:2Cyx，下列说法中错误的是（）A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率相等D它们的渐近线相同4夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下

2、雨的概率为（）A112B12C23D345已知等差数列 na的公差为 2，且2a，3a，5a成等比数列，则 na的前 n 项和nS（）A2n nB1n nC1n nD2n n 6如图，在直角梯形ABCD中，/AD BC，ABBC，1AD，2BC，P是线段AB上的动点，则4PCPD的最小值为（）A3 5B6C2 5D47已知3log 2a，4log 3b，23c，则（）AacbBcabCbacDbca试卷第 2页，共 4页8 若函数 322xfxexxax，则ae是 fx在0,有两个不同零点的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件二、多选题二、多选题9某团队共

3、有 20 人，他们的年龄分布如下表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这 20 人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A众数是 32B众数是 5C极差是 17D25%分位数是3010已知函数 2sinsin cosf xxxx x R，则（）A fx的最小值为 0B fx的最小正周期为C fx的图象关于点,08中心对称D fx的图象关于直线8x 轴对称11已知圆22:2O xy，直线:40l xy，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线,PA PB A B为切点，则（）A点P到圆心的最小距离为2 2B线段PA长度的最小值为2 2CPA PB 的最小值为3D存在

4、点P，使得PAB的面积为312若62a，63b，则下列不等关系正确的有（）A1baB14ab C2212abD1123bab三、填空题三、填空题13函数 2coscos2f xxx的最大值为_14 若212nxx展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中3x项的系数为_（用数字作答）试卷第 3页，共 4页15某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是_16已知三棱柱111ABCABC中，1ABAC，12AA，1160A ACA AB，90B

5、AC，则四面体111ABBC的体积为_四、解答题四、解答题17从sin3 cosbCcB，222bacac这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且_（填写或，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答）(1)求 B；(2)若2b，ABC的面积为3，求 a18等差数列 na和等比数列 nb满足111ab，2414aa，2 46b ba，且0nb(1)求数列 nb的通项公式；(2)已知：1000nb；mN，使mnab设 S 为数列 nb中同时满足条件和的所有的项的和，求 S 的值19现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二

6、人交替行棋一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋(1)对某位该棋类游戏参与者的 100 场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如下表所示请将表格补充完整，并判断是否有 90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）在甲先手局中，甲赢棋的概率为23，试卷第 4页，共 4页乙赢棋的概率为13；在乙先手局中，甲赢棋

7、的概率为25，乙赢棋的概率为35若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行 X 局，求 X 的分布列和数学期望附：22n adbcabcdacbd，nabcd 2Pk0.100.050.01k2.7063.8416.63520 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，/BC AD，ABAD，2PAAB，22 2ADBC(1)求证：BD 平面 PAC；(2)求二面角BPCD的余弦值21已知椭圆2222:10 xyCabab的短轴长为 2，离心率为32，点 A 是椭圆的左顶点，点 E 坐标为1,0，经过点 E 的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，

8、直线 l 斜率存在且不为0(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 AM，AN 分别交直线4x 于点 P，Q，线段 PQ 的中点为 G，设直线 l 与直线EG 的斜率分别为 k，k，求证：k k为定值22已知 1exf xx(1)求证：对于xR，0f x 恒成立；(2)若对于0,x，有 2lnf xa xxxx恒成立，求实数 a 的取值范围答案第 1页，共 17页参考答案：参考答案：1C【解析】【分析】利用交集的定义直接求解【详解】因为22Axx，2,1,0,1B ，所以AB 1,0,1，故选：C2D【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简可得z.由复数模的定义即可求得z.【详解】复数13i z

9、i，则由复数除法运算化简可得31izi3111iiii241 22ii，所以由复数模的定义可得22125z ，故选:D.【点睛】本题考查了复数的化简与除法运算,复数模的定义及求法,属于基础题.3B【解析】【分析】答案第 2页，共 17页分别求出双曲线1C，2C的焦距、顶点坐标、离心率、渐近线，即可得到结果.【详解】由2212:Cxy，可得221:122xyC，其焦距为2 224，顶点坐标为2,0，离心率为2222，渐近线方程为yx；由222:2Cyx，可得222:122yxC，其焦距为2 224，顶点坐标为0,2，离心率为2222，渐近线方程为yx；所以双曲线2212:Cxy与222:2Cyx

10、的顶点坐标不同.故选:B.4C【解析】【分析】记事件 A 为甲地下雨，事件 B 为乙地下雨，根据条件概率的公式计算即可得出结果.【详解】记事件 A 为甲地下雨，事件 B 为乙地下雨，111(),(),().346P AP BP AB在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 126|134P ABP A BP B.故选：C5B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解.【详解】设等差数列 na公差 d2，由2a，3a，5a成等比数列得，?，即211124adadad，解得?，答案第 3页，共 17页nS n0(1)22n n1n n.故选：B.6B

11、【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设ABa=，0BPxxa，因为1AD，2BC，所以0,2,0,1,PxCDa，所以2,1,PCxPDax，44,44PDax，所以46,45PCPDax，所以2436456PCPDax，所以当450ax，即45xa时，4PCPD的最小值为6.故选：B7A【解析】【分析】答案第 4页，共 17页利用对数函数的性质可知，023a，又213log 2 224b，由此即可得到结果.【详解】因为1123333333320log 1log 2log 8log 9log 33，所以023a；

12、因为42211133log 3log 3log 2 222224b，所以acb.故选:A.8A【解析】【分析】将问题转化为2e2xaxxx，令2e()2(0)xg xxx xx，利用导数讨论()g x的单调性，求出min()g x，由()f x在(0)，有 2 个不同零点的充要条件为e 1a，从而作出判断.【详解】32()e2(0)xf xxxax x，令()0f x，则2e2xaxxx，令2e()2(0)xg xxx xx，322ee22()xxxxxxxg，令()0g x，得322()(ee2210e2)xxxxxxxx，解得1x，所以当1x 时，()0g x，()g x单调递增，当01x

13、时，()0g x，()g x单调递减，又0lim()xg x，所以min()(1)e 1g xg，()f x在(0)，有 2 个不同零点的充要条件为函数()yg x与ya图象在第一象限有 2 个交点，所以e 1a，即()f x有 2 个零点的充要条件为e 1a，又ea 是e 1a 的充分不必要条件，所以“ea”是“()f x有 2 个零点在(0)，”的充分而不必要条件，故选：A9ACD答案第 5页，共 17页【解析】【分析】根据人数最多确定众数；最大值减去最小值为极差；利用分位数的定义求解 25%分位数.【详解】年龄为 32 的有 5 人，故众数是 32，A 正确，B 错误；45-28=17，

14、极差为 17，C 正确；因为0020255，所以3030230，故 25%分位数是 30，D 正确.故选：ACD10BD【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后逐个分析判断【详解】2sinsin cosf xxxx x R1 cos21sin222xx111sin2cos2222xx21sin 2242x，对于 A，当sin 214x 时，fx取得最小值122，所以 A 错误，对于 B，fx的最小正周期为22，所以 B 正确，对于 C，由2,4xkkZ，得,82kxkZ，所以 fx的图象的对称中心为1,()822kkZ，所以 C 错误，对于 D，由2,42xkkZ，得3,

15、82kxkZ，所以 fx的图象的对称轴为直线3,82kxkZ，当1k 时，8x，所以 fx的图象关于直线8x 轴对称，所以 D正确，故选：BD答案第 6页，共 17页11ACD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，可知当OP与直线l垂直时，点P到圆心的距离最小，根据点到直线的距离即可判断 A 是否正确；在直角三角形POA中，22PAPBOPOA，在结合选项 A，即可判断 B 是否正确；设,2 2OPt t，在直角三角形POA中，求出22costAPOt，根据二倍角公式可得cosAPB，再根据数量积公式可得2286PttA PB ，结合对勾函数的性质，即可求出PA PB 的最小值，进而判断 C

16、 是否正确；根据题意可求当且仅当OP与直线l垂直时弦AB长度的最小值6，此时PAB的面积最小，最小值为3 32，由此即可判断 D 是否正确.【详解】要使得点P到圆心的最小距离，即OP与直线l垂直时，即O到直线l的距离，即2242 211，故 A 正确；由图可知，在直角三角形POA中，2222PAPBOPOAOP，要使得线段PA长度的最小，则OP取最小值，答案第 7页，共 17页由选项 A 可知，PA长度的最小值为22 22=6，故 B 错误；设,2 2OPt t，又2222PAPBOPOAt，又在直角三角形POA中，22cosPAtAPOOPt，所以2222224cos2cos121ttAPB

17、APOtt ，所以2coscosPA PBPAPBPAAPBAPB 24222222468826tttttttt令 2286,g ttt又2 2t，所以28t，又函数8yxx，在区间8,上单调递增，所以 min82 28638g tg，即PA PB 的最小值为3，故 C 正确；圆22:2O xy的圆心0 0，半径2r，又点O到直线:40l xy的距离2 2d，即OPd；由切线长定理知，直线OP垂直平分线段AB，得22222442222226OPOPOPOPdPA rAB，答案第 8页，共 17页当且仅当OP与直线l垂直时取“”，即弦AB长度的最小值为6，此时2 2OP，设AB的中点为M，则22

18、cos=222 2OAOMOAAOM OAOP，所以3 22PMOPOM，所以PAB的面积的最小值为：13 23 32262，又3 332，所以存在点 P，使得PAB的面积为3，故 D 正确.故选：ACD.12ABD【解析】【分析】由62a，63b，得66log 2,log 3ab，则666log 2log 3log 61ab，然后逐个分析判断即可【详解】由62a，63b，得66log 2,log 3ab，所以666log 2log 3log 61ab，对于 A，626log 3log 31log 2ba，所以 A 正确对于 B，因为66log 20,log 30ab，所以2266(log 2

19、log 3)()1444abab，因为ab，答案第 9页，共 17页所以等号不成立，所以14ab，所以 B 正确，对于 C，因为222abab，所以222()122baab，因为ab，所以等号不成立，所以2212ab，所以 C 错误，对于 D，因为ln2ln3,ln6ln6ab，所以11ln6ln3ln63ln2ln63ln3bab，由于ln6ln42ln2ln2，且ln3ln6ln3ln6122ln63ln3ln6 3ln33，因为ln3ln6ln63ln3，所以等号不成立，所以ln3ln612ln63ln33，所以11ln6ln3ln612 223ln2ln63ln33bab，所以1123

20、bab，所以 D 正确，故选：ABD1332#1.5【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得 22cos2cos1f xxx，再令cos,1,1tx t，可知函数 fx等价于2221,1,1yttt ，利用二次函数的性质即可求出结果.【详解】因为 2coscos2f xxx，所以 22cos2cos1f xxx，令cos,1,1tx t，所以函数 2coscos2f xxx等价于2221,1,1yttt ，又22132212,1,122ytttt ，当12t 时，max32y，即函数 2coscos2f xxx的最大值为32.故答案为：32.答案第 10页，共 17页14-192【解析】【分析

21、】根据二项式展开式的二项式系数之和可得264n，解出 n，结合通项公式计算即可求出3x的系数.【详解】由题意知，二项式系数之和2646nn，所以 66 326166212rrrrrrrrTCxxCx 所以633r1r，所求3x的系数为6 1162192C.故答案为：-1921512#0.5【解析】【分析】用 A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，由题可知 P(B|A1)35，P(B|A2)13，由全概率公式即得.【详解】如果用 A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则A1A2，且 A1，A2互斥，B，由题意

22、可知，P(A1)58，P(A2)38，且 P(B|A1)35，P(B|A2)13.由全概率公式可知 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)5835381312，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12.故答案为：121626#126答案第 11页，共 17页【解析】【分析】利用题干条件证明出全等，作出辅助线，证明出线面垂直，即高线，利用余弦定理和勾股定理求出高线，进而利用体积公式求出答案.【详解】取 BC 中点 D，连接 AD，1AD，过点1A作1AEAD 于点 E，因为1ABAC，12AA，1160A ACA AB，所以ADBC，11A ABA AC，故

23、11ABAC，所以1ADBC，因为1ADADD，所以 BC平面1A AD，因为1AE 平面1A AD，所以 BC1AE，因为BCADD，所以1AE平面 ABC，由余弦定理得：22211112cos6041432ABA AABA A AB ，所以13AB，因为22211ABABA A，由勾股定理逆定理可得：1ABAB，由勾股定理得：2BC，所以22BD，所以2211102ADABBD，因为1222ADBC，所以2221111154222cos2222 22A AADADA ADA A AD，所以14A AD，故1112cos222AEA AA AD，所以点 B 到底面111ABC的距离为2，1

24、1 1111 122A B CS ，则四面体111ABBC的体积为1 1 112236A B CS.答案第 12页，共 17页故答案为：2617(1)选，结果一致，均有3B；(2)选，结果一致，均有2a.【解析】【分析】（1）选：利用正弦定理得到tan3B，求出3B，选：利用余弦定理得：1cos2B，求出3B；（2）选过程相同，先由面积公式得到4ac，再使用余弦定理求出228ac，从而求出2a.(1)选：sin3 cosbCcB，由正弦定理得：sinsin3sincosBCCB，因为0,C，所以sin0C，故tan3B，因为0,B，所以3B；选：222bacac，由余弦定理得：2221cos2

25、2acbBac，因为0,B，所以3B；(2)选：sin3 cosbCcB，由面积公式得：113sinsin32234acBacac，解得：4ac，由余弦定理得：2241cos82acB，解得：228ac，解得：2ac，选：222bacac由面积公式得：113sinsin32234acBacac，解得：4ac，由余弦定理得：2241cos82acB，解得：228ac，解得：2ac18(1)132,2nnnanb(2)341【解析】【分析】（1）根据题意列出相应的方程组，求出 na的公差 d 和 nb的公比 q，可得答案；答案第 13页，共 17页（2）确定10n，再根据条件得到1223nm，根据

26、,m nN，可判断出n的取值，进而求得答案.(1)由等差数列 na和等比数列 nb满足111ab，2414aa，2 46b ba，且0nb，设 na的公差为 d，nb的公比为 q,可得1241124145adb qad,将111ab代入，解得4316dq，由0nb，则取2q=，故132,2nnnanb；(2)由12nnb，1000nb，令121000n，由于91010112512,21024bb，故19n，即10n，mN，使mnab，故令1322nm，则1223nm，由于,m nN，故可以看出当1,3,5,7,9n 时，1223nm成立，故1357914 1664256341Sbbbbb.19

27、(1)有 90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.(2)X 的分布列见解析，3815E X.【解析】(1)完善后的列联表如下表所示：先手局后手局合计赢棋451055输棋301545合计7525100答案第 14页，共 17页故22100 45 15 10 3010032.70675 25 55 4533，故有 90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.(2)X可取值 2,3.221372353515P X，78311515P X ，X的分布列如下表所示：X23P715.815故783823151515E X .20(1)证明见解析；(2)3 1414【解析】【分析】（1）以 A 为坐标原点，分别以A

28、BADAP、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，由=0AC BD ，=0BD PC 即可证明；（2）求平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用数量积公式可得答案.(1)PA 平面ABCD，AB平面ABCD，AD 平面ABCD，PAAB，PAAD，又ABAD，AB、AD、AP两两互相垂直，以 A 为坐标原点，分别以ABADAP、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图，因为2PAAB，22 2ADBC，则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，0,2 2,0D，0 0 2P,，答案第 15页，共 17页2,2,0AC，2,2 2,0BD ，2,2,2PC

29、 ，因为2 222 2=0AC BD ，=2 22 220BD PC ，所以ACBDuuu ruuu r，BDPC ，即ACBD，BDPC，又因为ACPCC，AC 平面PAC，PC 平面PAC，所以BD 平面PAC.(2)设平面PCD的法向量为1111,xny z，平面PBC的法向量2222,nxy z，由2,2,0,0,2 2,2CDPD ，2,2,2PC ，0,2,0BC ，得?，22222222200020 xyznPCnBCy ，令12y，得1112xz，；令21x，解得2201yz，所以11,2,2n，2(1,0,1)n ，则121212123 14cos1472n nn nn n

30、，所以二面角BPCD的余弦值为3 1414.21(1)2214xy(2)证明过程见解析.【解析】答案第 16页，共 17页【分析】（1）根据离心率及1b 求出椭圆 C 的方程；（2）设出直线 l 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，表达出点 P，Q 的坐标，从而得到中点 G 的坐标，直线EG 的斜率，13kk ，证明出结论.(1)由题意得：22b，32cea，由222abc，解得：24a，21b，故椭圆 C 的方程为：2214xy；(2)设直线 l：1ykx，联立椭圆方程：2214xy得：2222148440kxk xk，设11,M x y，22,N xy，则2122814

31、kxxk，21224414kx xk，直线 AM：1122yyxx，令4x 得：1162yyx，故1164,2yPx，同理可求得：2264,2yQx，则2121334,22yyGxx，则212112212121123322224 12222yyyxyxxxyykxxxx 21121212121212121212242424k xxk xxkx xk xxkx xxxx xxx2222222244824114144483241414kkkkkkkkkkkk ，故13k k，证毕.22(1)证明见解析；(2)1a【解析】【分析】(1)求出函数的导数，令()0fx解得1x，进而得出函数的单调性，即可

32、求出函数的最小值，即证；(2)将不等式转化为1 lne1(1 ln)xxa xx ，令1 lntxx，有e10tat 对0)t，答案第 17页，共 17页恒成立，构造新函数()e1(0)tg tat t，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可.(1)由1()exf xx，得1()e1()xfxxR，令()0fx，得1x，所以当(1)x，时，()0fx，()f x单调递减，当(1)x，时，()0fx，()f x单调递增，所以()(1)0f xf，即()0 xRf x，恒成立；(2)212()(ln)e(ln)xf xa xxxxxa xxxx，则11lnee11(1 ln)exxxa xxx

33、，即1 lne1(1 ln)xxa xx ，令1 lntxx，则111xtxx ，当)1(0 x，时，0t，函数1 lntxx 单调递减，当(1)x，时，0t，函数1 lntxx 单调递增，所以1 1 ln0t ，即0t，所以e1tat 即e10tat 对0)t，恒成立，令()e1(0)tg tat t，则0g(0)=e10=0a ，()etg ta，若1a，()0g t，()g t在0)，上单调递增，所以min()(0)0g tg，故()0g t，符合题意；若1a，令()0lng tta，所以当(0 ln)ta，时，()0g t，()g t单调递减，当(ln)ta，时，()0g t，()g t单调递增，所以min()(ln)(0)0g tgag，不符合()0g t，综上，1a.即 a 的取值范围为1a.