江苏省南京市2022届高三下学期5月模拟数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 5页江苏省南京市江苏省南京市 20222022 届高三下学期届高三下学期 5 5 月模拟数学试题月模拟数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知 R 为实数集，集合 AxZ|x|1，Bx|2x10，则 A（RB）（）A1，0B0，1C1，0，1D2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1i）43i，则|z|（）A52B52C102D5 223为庆祝中国共青团成立 100 周年，某校计划举行庆祝活动，共有 4 个节目，要求 A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（）A9B18C24D274函数 1cosfxxxx的部分图象大致是（）ABCD5我们知

2、道，任何一个正整数 N 可以表示成 Na10n（1a10，nZ），此时 lgNnlga（0lga1）当 n0 时，N 是一个 n1 位数 已知 lg50.69897，则 5100是（）位数A71B70C69D686（1x）4（12y）a（aN*）的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f（m，n）若 f（0，1）f（1，0）8，则 a 的值为（）试卷第 2页，共 5页A0B1C2D37已知函数 f（x）Asin（x）（A0，0，02）的图象与 y 轴的交点为M（0，1），与 x 轴正半轴最靠近 y 轴的交点为 N（3，0），y 轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为 B，C若OBC 的面积为3

3、 2（其中 O 为坐标原点），则函数 f（x）的最小正周期为（）A5B6C7D88已知 22,0,0 xxf xxx，若x1，f（x2m）mf（x）0，则实数 m 的取值范围是（）A（1，）B1,4C（0，）D1,12二、多选题二、多选题9设2Paa，aR，则下列说法正确的是（）A2 2PB“a1”是“2 2P”的充分不必要条件C“P3”是“a2”的必要不充分条件Da（3，），使得 P310在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：222260Rxyaxyaa，则下列说法正确的是（）A若0a，则点O在圆C外B圆C与x轴相切C若圆C截y轴所得弦长为4 2，则1a D点O到圆C上一点的最大距离和最小距离

4、的乘积为2a11连续抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能记事件 A 表示“3 次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件 B 表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件 C 表示“3 次结果中没有正面向上”，则（）A事件 B 与事件 C 互斥B 34P A 试卷第 3页，共 5页C事件 A 与事件 B 独立D记 C 的对立事件为C，则37P B C 12在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段 DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC是底面圆的内接正三角形，3ABAD，则下列说法正确的是（）ABE平面 PACBPA平面 P

5、BCC在圆锥侧面上，点 A 到 DB 中点的最短距离为32D记直线 DO 与过点 P 的平面所成的角为，当3cos0,3时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题三、填空题13在平面直角坐标系 xOy 中，P 是直线 3x2y10 上任意一点，则向量OP 与向量n（3，2）的数量积为_14 写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 na的通项公式：na _（1）数列 na是无穷等比数列；（2）数列 na不单调；（3）数列|na单调递减15在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1与双曲线 C2共焦点，双曲线 C2实轴的两顶点将椭圆 C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线

6、C2的离心率为_四、双空题四、双空题1619 世纪，美国天文学家西蒙纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以 1 开头的数出现的频率更高约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以 1 开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值19的 3 倍，并提出本福特定律，即在大量 b 进制随机数据中，以 n 开头的数出现的概率为 1logbbnP nn，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性 根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以 6 开头的数出现的概率为_；若 910101n kPnP

7、,N*9kk，则 k 的值为_五、解答题五、解答题试卷第 4页，共 5页17在ABC 中，记角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知3 sincosaCcAc(1)求 A；(2)若7ab，43ADAB，求 sinADC18已知数列 na的前n项和为nS，22a 从下面中选取两个作为条件，剩下一个作为结论 如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由313aa；nSn为等差数列；22nnaa注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19如图 1，在平行四边形 ABCD 中，AB2，3 3AD，ABC30，AEBC，垂足为 E 以 AE 为折痕把ABE 折起，使点 B 到达

8、点 P 的位置，且平面 PAE 与平面 AECD所成的角为 90（如图 2）(1)求证：PECD；(2)若点 F 在线段 PC 上，且二面角 FADC 的大小为 30，求三棱锥 FACD 的体积20空气质量指数 AQI 与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数 AQI空气质量等级0，50优（50，100良（100，150轻度污染（150，200中度污染（200，300中度污染（300，）严重污染试卷第 5页，共 5页下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30 天）的情况：空气质量指数 AQI0，50（50，100（100，150（150，200频数（单位：天）36156(1)利用上述频数分布表

9、，估算该场馆日平均 AQI 的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(2)如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7 天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.770.0824，结果精确到0.01）(3)为提升空气质量，该场馆安装了 2 套相互独立的大型空气净化系统 已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量（单位：个）345概率020305已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价 1 千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价 2 千元该场馆每年年初先在促销期购买 n（n8，且 nN*）个滤芯，如果不够

10、用，则根据需要按原价购买补充问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）21已知函数()f x（x2x1）ex3，exf xg xxx，e 为自然对数的底数(1)求函数()f x的单调区间；(2)记函数()g x在（0，）上的最小值为 m，证明：em322在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x24y，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B两点，过 A，B 分别作抛物线的切线，两切线的交点 P 在直线 yx5 上(1)若点 A 的坐标为11,4，求 AP 的长；(2)若 AB2AP，求点 P 的坐标答案第 1页，共 18页参

11、考答案：参考答案：1A【解析】【分析】根据集合补集和交集的定义，结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可.【详解】因为1,0,1A，1,2B，所以R1,0AB，故选：A2D【解析】【分析】利用复数模的运算律求解.【详解】解：因为125ziz，所以5 22z，故选：D3B【解析】【分析】由于 A 节目有特殊要求，所以先安排 A 节目，再安排其它的节目，从而即可求解.【详解】解：由题意，先从后面 3 个节目中选择一个安排 A 节目，然后其它 3 个节目任意排在剩下的 3 个位置，共有1333C A18种方法，故选：B.4C【解析】【分析】通过奇偶性可排除 A，通过零点及特值可排除 BD，即得结果.【

12、详解】答案第 2页，共 18页函数 fx的定义域为0 x x，关于原点对称，11coscosfxxxxxf xxx 所以 fx为奇函数排除 A，又 102ff排除 B，当0 x，0f x，排除 D；故选：C.5B【解析】【分析】运用代入法直接进行求解即可.【详解】100lg5100lg569.897，则其为 70 位数，故选：B6C【解析】【分析】利用二项展开式求出对应的项，列出方程求解即可.【详解】展开式中含y的项为0414C 1 C22ayay，含x的项为104CC 14aaxx，0,11,0248ffa，2a，故选：C7D【解析】【分析】根据OBC 的面积可求得 A，结合题中已知根据三角

13、函数的性质可求得解析式，进而求得最小正周期.【详解】答案第 3页，共 18页如下图，113333 222OBCSAAA，2A，2sinxf x，02sin1f，2sin2，02，4，2sin4fxx，32sin 304f，34，4，284T故选：D8B【解析】【分析】分0m 和0m进行分类讨论，分别确定 m 的取值范围，最后综合得答案.【详解】0m 时，22220f xmmf xxmmx，符合题意；0m时，20f xmmf x，即 2fxmmfxfmx 显然 fx在 R 上递增，则2xmmx对1x 恒成立答案第 4页，共 18页120m xm对1x 恒成立则：10104120mmmm；综上，1

14、,4m，故选：B9BC【解析】【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解.【详解】解：A 错误，当0a 时，显然有 P 小于 0B 正确，1a 时，2222 2Paaaa，故充分性成立，而2 2P只需0a 即可；C 正确，23Paa可得01a或2a，当2a 时3P 成立的，故 C 正确；D 错误，因为3a 有22333aa，故 D 错误；故选：BC.10ABD【解析】【分析】选项 A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项 B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项 C，根据圆的弦长公式222 rd求解即可；选项 D，根据分0a 和0a 两种情况即可判断.【详解】对于 A，因为0a 时，将原点

15、代入圆方程可得20a，故点O在圆C外，故 A 正确；对于 B，圆C化为标准方程即为2239xay，则圆心,3C a，3r，显然圆心C到x轴距离为3等于半径，所以相切，故 B 正确；对于 C，对根据题意，224 22 3a，解得1a ，解得所以圆C截y轴所得弦长为4 2，则1a ，故 C 不正确；答案第 5页，共 18页对于 D，当0a 时，圆C：2239xy，所以点O在圆C上，显然最小值为0，最大值为26r，故乘积且等于2a；当0a 时，由选项 A 知，点O在圆C外，29OCa，所以最大值为OCr，最小值为OCr，乘积为2222293OCraa，故 D 正确.故选：ABD.11BCD【解析】【

16、分析】对 A，根据事件 B 包含事件 C 判断即可；对 B，根据概率的性质，用 1 减去全为正面和全为反面的情况概率即可；对 C，根据相互独立事件的公式判断即可；对 D，先求得 18P C，再利用条件概率公式求解即可【详解】选项 A：显然 B 发生的情况中包含 C，故可同时发生，错误；选项 B：3131224P A ，正确；选项 C：1333111222P BC，1331328P ABCP A P B故 A 与 B 独立，正确；选项 D：31128P C，1331321718CP BCP B CP C，正确；故选：BCD12BD【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，结合题意，即可判断 A 的

17、正误；根据线面垂直的判定、性质定理，结合勾股定理，可判断 B 的正误；根据圆锥侧面展开图，分析计算，可判断 C 的正误；根据圆锥曲线的定义，可判断 D 的正误，即可得答案.【详解】答案第 6页，共 18页对于 A：假设 BE平面 PAC，因为BE 平面ABC，平面PAC 平面ABCAC，所以BEAC，由题意得 BE 不与 AC 平行，所以假设不成立，则 BE 不平行平面 PAC，故 A 错对于 B：因为PO 平面 ABC，BC 平面 ABC，所以POBC，又 AE 为底面圆的直径，ABC正三角形，所以AEBC，又AEPOO，所以BC 平面 PAO，所以PABC，又因为3ABAD，所以1AO，则

18、3 12DO ，所以1222PODO，所以223122PA，同理32PB，3AB，所以222PAPBAB，所以PAPB，因为BCPBB，所以PA平面 PBC，故 B 正确对于 C：将侧面铺平展开得答案第 7页，共 18页其中3ADDB，底面圆周长212 所以23AB，则22 3393ADB，所以 A 到 DB 中点的最短距离为图中 AM，若3ADB时，由余弦定理可得32AM，因为2 393ADB，所以32AM，故 C 错对于 D:设圆锥顶角为2ADE，则6coscos3，因为，由截曲线知，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，故 D 正确故选：BD【点睛】解题的关键是熟练掌握圆锥的几何性质，并灵活应用，

19、难点在于作出图象，分析并求解各个长度，再结合圆锥曲线的定义，进行求解，属中档题.131【解析】【分析】设,OPx yuuu r，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：设,OPx yuuu r，因为 P 是直线 3x2y10 上任意一点，所以321OP nxy ，故答案为：-11412nna（答案不唯一）【解析】【分析】根据数列 na需要满足的条件，可写出答案.【详解】答案第 8页，共 18页由题意可得，12nna 满足（1）数列 na是无穷等比数列；（2）数列 na不单调；（3）数列|na单调递减，故答案为：12nna 155【解析】【分析】先利用椭圆和双曲线的定义得到1PF，2PF，再根据两

20、曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.【详解】不妨设焦点1F，2F在 x 轴上，两者在第一象限的公共点为 P，设2C的实半轴长为 a，则1C的长半轴长为 3a，半焦距为 c，设1PFx，2PFy，则6422xyaxaxyaya，由题意知：P 在12FF为直径的圆上，所以2222420 xyca，解得：5e 故答案为：5167lg65【解析】【分析】第一空，将6n 代入 1logbbnP nn即可求得答案；第二空，根据 1logbbnP nn得到 910n kPn的表达式，结合 101P的值可得方程，解得答案.答案第 9页，共 18页【详解】由题意可得：（1）1076lg6P（2）91012

21、10106lglglglg19n kkkPkkk，而 101g 2lP，故10lglg2k，则5k 故答案为：7lg;5617(1)3A(2)3926【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角转化，进而能求得A;（2）根据已知，可以确定各个角的三角函数值，进而求得BD与b的关系，就能求得 sinADC(1)由正弦定理有3sinsinsincossinACCAC，所以3sincos1,2sin16AAA，又0A，则有3A；(2)如下图，由7ab，则sin3sin,0,272 7ABabABB，所以5cos2 7B，可知35133 3sinsin222 72 72 7CAB，设3ABt，所以sin7

22、3sin3aAtC，则有7at，所以tb，答案第 10页，共 18页又43ADAB，所以BDtb，又有222cos13CDababDBCb，所以sin39sin2613aDBCADCb18答案见解析【解析】【分析】选作为条件，可得36S，即可求出nS和nan，进而得到.选作为条件，可得nan，即可得到12nSnn，进而得到选作为条件，可得312aa，131,3aa，进而得到【详解】解：选作为条件，作为结论由22a，313aa，3213SSS，所以36S，则有11a，33a，所以可知21122SS，则有11122nSnnSn，得12nn nS故可知1nnnaSSn，又11a 符合，所以nan，则

23、有22nnaa选作为条件，作为结论答案第 11页，共 18页3112223312223nnaaaaaaaa由22nnaa当n为奇数，112(1)2nnaan当n为偶数，22(1)2nnaan故nan(1)2nn nS12nSnn1112nnSSnn，111SnSn是以公差为12，首项为1的等差数列选作为条件，作为结论nSn为等差数列，22nnaa，即312aa321132423SSSaa131,3aa313aa19(1)证明见解析(2)12【解析】【分析】（1）根据平面 PAE 与平面 AECD 所成的角为 90，得到平面PAE 平面 AECD，进而得到PE 平面 AECD 即可；（2）由PE

24、 平面 AECD，和EAEC，得到 EA，EC，EP 两两垂直，则以 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，EP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设PFPC ，求得平面 AFD的一个法向量1,nx y z，平面 ACD 的一个法向量20,0,1n u u r，根据二面角 F-AD-C 为 30，答案第 12页，共 18页由1212123cos,2n nn nn n ，求得23即可.(1)平面 PAE 与平面 AECD 所成的角为 90，平面PAE 平面 AECD，平面PAE 平面AECDAE，又PEAE，PE 平面 PAE，PE 平面 AECD，CD 平面 AECD，PECD(2)PE

25、平面 AECD，PEAE，PECE，又EAEC，EA，EC，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，EP 为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 E-xyz，RtABE 中，2AB，30B，1AE，3BE，则2 3CE，1,3 3,0D，0,2 3,0C，0,0,3P，1,0,0A，设PFPC ，,30,2 3,3FFFxyz，答案第 13页，共 18页0,2 3,33F，设平面 AFD 的一个法向量为1,nx y z，0,3 3,0AD，1,2 3,3 1AF，则1100nADnAF ，3 302 33 10yxyz，不妨设1z，则0y，3 1x，3 1,0,1n，y

26、 轴平面 ACD，平面 ACD 的一个法向量20,0,1n u u r二面角 F-AD-C 为 30，1212123cos,2n nn nn n ，即23123 11，23，3PE，F 到平面 AECD 的距离2 33，13 33 3 122ACDS，133 313322FACDV20(1)115(2)0.67(3)买 9 个最划算，理由见解析【解析】【分析】（1）法一：直接根据平均数的求解方法计算；法二：根据频率进行计算（2）易得空气质量等级达到优或良的概率为310，再根据二项分布，利用其对立事件的概率求解即可；答案第 14页，共 18页（3）分别计算每年年初先在促销期购买 n 个滤芯的总花

27、费数学期望比较大小即可(1)法一：25 375 6 125 15 175 611530 ；法二：36156257512517511530303030X(2)一个月 30 天中达到优或良的天数为 9，空气质量等级达到优或良的概率为933010，未来一周（7 天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为167710.3 0.70.70.67 C；(3)法一：需要更换的滤芯个数 X 的所有可能取值为 6，7，8，9，10，260.20.04P X，1270.2 0.30.12P XC，12280.2 0.50.30.29P XC，1290.3 0.50.3P XC，100.25P X 更换滤芯个

28、数 X 的期望为：6 0.0470.128 0.299 0.3 10 0.258.6 个若购买 8 个，则总花费为80000.620009200元，若购买 9 个，则总花费为 9000 元，90009200，故应购买 9 个最合理法二：按照这个数据，每年需要 6 到 10 个滤芯，也就是8n，9，10，而需求假设为 Z，会有100.5 0.50.25P Z；90.5 0.3 20.3P Z；810.250.30.45P Z 答案第 15页，共 18页那么当8n 时，会有花费8nC的分布为8100080.45nP CnP Z81000200090.3nP CnP Z810004000100.25

29、nP CnP Z均值80.45 80000.3 100000.25 120009600nE C同理算出90.450.390000.25 110009500nE C，1010000nE C故此买 9 个最划算21(1)单调递增区间为,1，0,，单调递减区间1,0；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求导()fx，利用导数求函数的单调区间即得解；（2）求导得到 221131exgxxxx，再求出 13mg，再对x分类讨论得证.(1)解：21 e3xf xxx，1 exfxx x1x ，0fx，fx单调递增；10 x，0fx，fx单调递减；0 x，0fx，fx单调递增；fx单调递增区间为,1，0

30、,，单调递减区间1,0.(2)解：13e1exxfxg xxxxx，221131exgxxxx，1e30g，则 13mg，当01x时，1 eex，110,x所以111111e(1)e(1)(ee)0,1e(1)exxxxxxxx答案第 16页，共 18页所以 133e1eeeg xxxx；当1x时，1111e(1)e(1)(ee)xxxxxxx设()ee(1),()ee0,xxh xx xh x所以()h x在1,)单调递增，所以()(1)0h xh，所以1111e(1)e(1)(ee)0 xxxxxxx，所以111e(1)exxxx，当1x时，1331eee2 3eeeg xxxxxx，对任

31、意0 x，均有 eg x，则em，综上：e3m.22(1)17 54AP(2)2,3P或1025,33【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，表示出切线方程，和5yx联立，求得19 9,2 2P，即得答案；（2）法一：设11,A x y，22,B xy，AB：ykxb，联立24xy，求得弦长2241ABkkb，结合导数的几何意义求得2,Pkb，继而求得AP的长，利用2ABAP得方程，求得答案.法二：设211,4xA x，222,4xB x，,ppP xy，AB 中点221212,28xxxxM，利用导数几何意义的切线方程，表示出 P 点坐标，可得PMxx，从而结合22ABAMAP可得2MPA

32、yyy，由此解得12134ppxxxy ，结合5ppyx，可求得答案.(1)由题意得，12yx，由11,4A，则11|2xy，答案第 17页，共 18页所以 A 点处的切线方程为1124yx，联立11245yxyx，可得19 9,2 2P，所以22199117 5(1)()2244AP；(2)法一：由题意知，直线 l 斜率存在，设11,A x y，22,B xy，AB：ykxb，联立24ykxbxy，可得2440 xkxb，需满足216()0kb，12124,4xxk x xb，所以122222211()441xxxABkxkkb，又有12Axy，22Bxy，所以 A,B 处的切线方程为112

33、x xyy，222x xyy，联立112222x xyyx xyy，有2,Pkb，所以有52bk，又有222222111121444APxkybkxkbkbk x2121kbkxb由2ABAP，则有21kxbk，所以121kkxyb，22125kbkkxkk，又2114yx，则有12xk，所以2252kkkk，解得1k 或53，当1k 时，3b；当53k 时，253b，满足216()0kb,所以2,3P或1025,33P法二：答案第 18页，共 18页设211,4xA x，222,4xB x，,ppP xy，AB 中点221212,28xxxxM，设 PM 中点为 N，2xy，直线 AP 方程

34、为：211142xxyxx，整理有21124xxyx，同理直线 BP 方程为：22224xxyx，联立2112222424xxyxxxyx，解得121224ppxxxx xy，显然PMxx，由题知22ABAMAP，则AMAP，故2MPAyyy，即2221121214248xx xxx，整理有212130 xxxx，其中12xx，则2130 xx，12134ppxxxy ，又因为5ppyx满足，即211354xx，解得12x 或1103x，故2,3P或1025,33【点睛】本题考查了抛物线和直线相交时的求线段长度以及点的坐标问题，综合性较强，涉及到导数的几何意义的应用，解答时要注意解题思路要顺畅，明确一步步要去求解什么，关键是计算量较大，要十分细心.