广东省深圳市2022届高三下学期一模数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 5页广东省深圳市广东省深圳市 20222022 届高三下学期一模数学试题届高三下学期一模数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知集合1Ax x，1,0,1,2B ，则AB（）A0,1B1,2C0,1,2D1,1,22已知复数 z 满足1 i1 iz，其中i为虚数单位，则 z 的虚部为（）A0B1C1Di3以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A8B4C8D44阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”由物

2、理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 s（cm）和时间 t（s）的函数关系式为2sinst，其中0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为0022ss 的时间分别为1t，2t，3t，且312tt，则（）A2BC32D25已知椭圆 C：222210 xyabab，圆 M：2220 xybxay，若圆 M 的圆心在椭圆 C 上，则椭圆 C 的离心率为（）A12B32C12或32D226已知sin31 cos，则tan（）A33B33C3D37假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有 3 个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（）A 事件“该家庭 3

3、 个小孩中至少有 1 个女孩”和事件“该家庭 3 个小孩中至少有 1 个男孩”是互斥事件B事件“该家庭 3 个孩子都是男孩”和事件“该家庭 3 个孩子都是女孩”是对立事件C该家庭 3 个小孩中只有 1 个男孩的概率为18试卷第 2页，共 5页D当已知该家庭 3 个小孩中有男孩的条件下，3 个小孩中至少有 2 个男孩的概率为478已知函数 11ee112xxf xaxx，其中Ra，则（）A fx在2,上单调递增B fx在2,上单调递减C曲线 yf x是轴对称图形D曲线 yf x是中心对称图形二、多选题二、多选题9四边形 ABCD 为边长为 1 的正方形，M 为边 CD 的中点，则（）A2ABMD

4、 BDMCBAM CADMCMA D1AM BC 10某人工智能公司近 5 年的利润情况如下表所示：第 x 年12345利润 y/亿元23457已知变量 y 与 x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为1.2yxa，则下列说法正确的是（）A0.6a B变量 y 与 x 之间的线性相关系数0r C预测该人工智能公司第 6 年的利润约为 7.8 亿元D该人工智能公司这 5 年的利润的方差小于 211已知定圆 A 的半径为 1，圆心 A 到定直线 l 的距离为 d，动圆 C 与圆 A 和直线 l 都相切，圆心 C 的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分

5、别为1p，2p，则（）A1d B12ppdC212p pdD12112ppd12如图，已知直四棱柱 ABCD-EFGH 的底面是边长为 4 的正方形，CGm，点 M 为CG 的中点，点 P 为底面 EFGH 上的动点，则（）试卷第 3页，共 5页A当4m 时，存在点 P 满足8PAPMB当4m 时，存在唯一的点 P 满足2APMC当4m 时，满足 BPAM 的点 P 的轨迹长度为2 2D当4 33m 时，满足2APM的点 P 轨迹长度为8 39三、填空题三、填空题13已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且23a，525S，则数列 na的公差d _14已知函数 fx是定义域为 R 的奇函数，

6、当0 x 时，exf x，则1ln2f_15在平面直角坐标系中，已知直线240 xy分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，若点cos,sinP，则PAPB 的最大值为_16古希腊数学家托勒密于公元 150 年在他的名著数学汇编里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 已知 AC，BD 为圆的内接四边形 ABCD 的两条对角线，且sin:sin:sin2:3:4ABDADBBCD，若2ACBC CD，则实数的最小值为_四、解答题四、解答题17已知数列 na的首项12a，且满足143nnnaa(1)证明：3nna 是等比数列；(2)求数列 na的前 n 项和

7、nS182021 年 10 月 16 日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全相同参与者每一轮从口袋中一次性取出 3 个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中当参与完成第 n 轮游戏，且其前 n 轮的试卷第 4页，共 5页累计得分恰好为 2n 时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏 若第 3

8、 轮后仍未过关，则游戏也结束每位参与者只能参加一次游戏(1)求随机变量 X 的分布列及数学期望；(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率19如图，在ABC 中，已知2AB，6 2AC，45BAC，BC，AC 边上的两条中线 AM，BN 相交于点 P(1)求BAM的正弦值；(2)求MPN的余弦值20如图，在四棱锥 E-ABCD 中，/AB CD，12ADCDBCAB，E 在以 AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE 平面 ABCD，M，N 分别为 DE，BC 的中点(1)求证：/MN平面 ABE；(2)当四棱锥 E-ABCD 体积最大时，求二面角 N-AE-B 的余弦值21已知双

9、曲线C：222210,0 xyabab经过点 A2,0，且点A到C的渐近线的距离为2 217(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点4,0作斜率不为0的直线l与双曲线C交于 M，N 两点，直线4x 分别交直线AM，AN 于点 E，F试判断以 EF 为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由22已知函数 22ln121fxxaxax（aR）(1)求函数 fx的单调区间；试卷第 5页，共 5页(2)若函数 fx有两个零点1x，2x（i）求实数 a 的取值范围；（ii）求证：12121axx答案第 1页，共 19页参考答案：参考答案：1C【解析】【分析】直接根据交集的定义计算

10、可得；【详解】因为|1Ax x，1,0,1,2B 所以0,1,2AB 故选：C2B【解析】【分析】根据题意，化简复数iz ，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数 z 满足1 i1 iz，可得1 i1 i1 ii1i1i1 iz，所以 z 的虚部为1.故选：B.3A【解析】【分析】根据题意求出圆柱的底面半径和高，直接求侧面积即可.【详解】以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径 r=2，高 h=2，故其侧面积为=222 28Srh.故选：A4B【解析】【分析】答案第 2页，共 19页利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为0s的

11、时间1t，2t，3t，即可得31Ttt，可求参数.【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以312Ttt，则22，可得.故选：B5D【解析】【分析】首先求出圆心M的坐标，代入椭圆方程，令22bta，则114tt，求出t，再根据221cbeaa计算可得；【详解】解：因为圆 M：2220 xybxay，即圆 M：2222124axbyab，圆心1,2M ba，因为圆心1,2M ba在椭圆C上，所以2222121abab，即222214baab，令22bta，则114tt，即24410tt，解得12t，即2212ba，所以离心率22222121122cabbeaaa；故选：D6C【解析】【分析

12、】答案第 3页，共 19页由sin31 cos，易得cos1，3sin32，从而可求出，即可得出答案.【详解】解：因为sin31 cos，所以1cos0，即cos1，所以sin33cos，即sin3cos2sin33，所以3sin32，所以233k或223k，所以2k或23k，Zk，当2k时，cos1，不合题意，舍去，当23k时，1cos2，所以tan3.故选：C.7D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断 A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断 C；利用条件概率的求法计算，即可判断 D.【详解】A：假设事件 A：该家庭 3 个小孩至少有 1 个女孩，则包含(女，男，男)

13、的可能，事件 B：该家庭 3 个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，所以AB，故 A 错误；B：事件“3 个孩子都是男孩”与事件“3 个孩子都是女孩”不可能同时发生，是互斥但不对立事件，故 B 错误；C：3 个小孩可能发生的事件如下：答案第 4页，共 19页男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共 8 种，其中只有一个男孩的概率为：38P，故 C 错误；D：设 M=至少一个有男孩，N=至少有 2 个男孩，由选项 C 可知，()4()7n MNn M，所以()4()()7n MNP M Nn M，故 D 正确.故选：D8C【解析】【分析】由解析式易得(2)()

14、fxf x且定义域为|0 x x 且2x 即可判断 C；对()f x求导，并讨论0a、0a 研究()fx在2,上的符号判断 A、B；根据()()f mxf mx是否为定值判断 D.【详解】由题设，1111()2(2)eexxfxaf xxx，定义域为|0 x x 且2x，所以()f x关于1x 对称，C 正确；又222222111(e)ee114(1)1()(2)(2)exxxxxafxxxxax ，当0a 时，不妨假设1a ，则221224(1)()(12ee)xxxxfxx，显然424221 e8e99e0e8(3)99ef，此时()f x在2,上有递减区间，A 错误；当0a 时，在2,上

15、()0fx，即()f x在2,上递增，B 错误；由()()f mxf mx1111e122e1m xx mmxmxmamxx 11eem xx ma ，不可能为定值，故 D 错误.故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据()()f mxf x、()()f mxf mxn是否成立判断对称性(,m n为常数).9BD【解析】答案第 5页，共 19页【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.【详解】如图，A：22ABDMMD ，故 A 错误；B：AMADDMBCDMDMCB ，故 B 正确；C：MAMDDADMADCMAD ，故 C 错误

16、；D：()AM BCADDMBCAD BCDM BC ，由BCDM，得DM BC 0，所以201AM BCAD BCBC ，故 D 正确.故选：BD10AC【解析】【分析】首先求出x、y，根据回归直线方程必过,x y，即可求出a，从而得到回归直线方程，根据x与y成正相关，即可得到相关系数0r，再令6x 求出y，即可预测第 6 年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断 D；【详解】解：依题意11234535x，1212345755y，因为回归直线方程为1.2yxa必过样本中心点,x y，即211.2 35a，解得0.6a，故 A 正确；则回归直线方程为1.20.6yx，则x与y成正相关

17、，即相关系数0r，故 B错误，当6x 时1.2 60.67.8y ，即该人工智能公司第 6 年的利润约为 7.8 亿元，故 C 正确，答案第 6页，共 19页该人工智能公司这 5 年的利润的方差为22222121212121217423457255555525，故 D 错误；故选：AC11ABD【解析】【分析】根据动圆 C 与圆 A 和直线 l 都相切，分圆 C 与圆 A 相外切和圆 C 与圆 A 相内切，分别取到A 的距离为 d+1，d-1，且平行于 l 的直线1l，2l，利用抛物线的定义求解.【详解】解：动圆 C 与圆 A 和直线 l 都相切，当圆 C 与圆 A 相外切时，取到 A 的距离

18、为 d+1，且平行于 l 的直线1l，则圆心 C 到 A 的距离等于圆心 C 到1l的距离，由抛物线的定义得：圆心 C 的轨迹是以 A 为焦点，以1l为准线的抛物线；当圆 C 与圆 A 相内切时，取到 A 的距离为 d-1，且平行于 l 的直线2l，则圆心 C 到 A 的距离等于圆心 C 到2l的距离，由抛物线的定义得：圆心 C 的轨迹是以 A 为焦点，以2l为准线的抛物线；所以121,1pdpd，当1d 时，抛物线不完整，所以1d，122ppd，211p pd，22121111222111ddppddddd，故选：ABD12BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称

19、点可以判断 A，利用垂直求出P可以判断 B，求出点 P 轨迹长度可判定 C,D.【详解】以D为原点，,DA DC DH所在直线分别为,x y z轴，建系如图，答案第 7页，共 19页对于选项 A，当4m 时，0,4,2M，4,0,0A，设点A关于平面EFGH的对称点为A，则4,0,8A，16 1636688A M.所以8PAPMPAPMA M.故 A 不正确.对于选项 B，设,4P x y，则4,4,4,2APxyMPx yuuu ruuu r，由0AP MP 得224480 xxyy，即22220 xy，解得2xy，所以存在唯一的点 P 满足2APM，故 B 正确.对于选项 C，4,4,0B

20、，设,4P x y，则4,4,2,4,4,4AMBPxy uuuruur，由0AM BPuuur uur得20 xy.在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，如图，则P的轨迹方程20 xy表示的轨迹就是线段NQ，而2 2NQ，故 C 正确.对于选项 D，当4 33m 时，2 30,4,3M，设4 3,3P x y，则4 32 34,4,33APxyMPx yuuu ruuu r，由0AP MP 得2284403xxyy，即2216223xy，在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，如图，答案第 8页，共 19页记2216223xy的圆心为O，与GF交于,S T；令4y，可得122 32 32,23

21、3xx，而124 33xx，所以3SOT，其对应的圆弧长度为4 39；根据对称性可知点 P 轨迹长度为4 34 38 324399；故 D 正确.故选：BCD.【点睛】立体几何中的动点问题，常常采用坐标法，把立体几何问题转化为平面问题，结合解析几何的相关知识进行求解.132【解析】【分析】根据题意可得13ad，直接利用等差数列前 n 项和公式计算即可.【详解】由题意知，123aadd，515 455(3)10252Saddd，解得2d.故答案为：2142【解析】【分析】答案第 9页，共 19页利用奇函数可得1(ln)(ln2)2ff，结合ln20及已知解析式即可求值.【详解】由题设，1(ln)

22、(ln2)(ln2)2fff，又ln20，所以ln21(ln)e22f .故答案为：2.152 52【解析】【分析】根据题意求出点 A、B 的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出PAPB 的表达式，利用三角函数的值域即可求出PAPB 的最大值.【详解】由题意知，直线240 xy分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，则(4,0)(0,2)AB，又(cos,sin)P，所以(4cos,sin)(cos,2sin)PAPB ，有(42cos,22sin)PAPB ，则22(42cos)(22sin)248(sin2cos)PAPB 248 5sin()，其中tan2，当sin()1 时，P

23、APB 取得最大值，且最大值为2248 52 62 52(51)2 52.故答案为：2 521632#1.5【解析】【分析】由圆内接四边形性质结合正弦定理可得到|:|:|2:3:4ADABBD，再利用托勒密定理得答案第 10页，共 19页|ACBDABCDADBC，结合2ACBC CD整理得24|16|CDBBCDCC，求得答案.【详解】根据圆内接四边形的性质可知;,sinsinBADBCDBADBCD,所以sin:sin:sin2:3:4ABDADBBCD，即sin:sin:sin2:3:4ABDADBBAD，在BAD中，|ADABBDABDADBBAD,故|:|:|2:3:4ADABBD，

24、由题意可知：|ACBDABCDADBC,则4|3|2|ACCDBC，所以22216|9|4|12|ACCDBCCDBC，故22216|9|4|12|24|ACCDBCCDBCCDBC，当且仅当|CDBC时等号取得，又2ACBC CD，所以24|16|CDBBCDCC，则243162，则实数的最小值为32，故答案为：3217(1)证明见解析(2)113(1)22nnnS【解析】【分析】（1）将已知条件转化为11313nnnnaa，由此证得数列3nna 是等比数列.（2）利用分组求和法求得nS.答案第 11页，共 19页(1)由143nnnaa，得1133nnnnaa，又12a，故131a ，故1

25、1330nnnnaa，所以11313nnnnaa，所以数列3nna 是以1为首项，1为公比的等比数列(2)由（1）可知3(1)nnna ，所以3(1)nnna ，所以113 1 3(1)1(1)3(1)21 31(1)2nnnnnS 18(1)分布列见解析，数学期望为1.8(2)0.696【解析】【分析】（1）先得出随机变量 X 可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球 1 次后、取球 2 次后、取球 3 次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率(1)由题意得，随机变量 X 可取的值为 1，2，3，易知10.3P X，20.6P X，所以30.1P

26、X，则随机变量 X 的分布列如下：X123P0.30.60.1所以1 0.32 0.63 0.11.8E X 答案第 12页，共 19页(2)由（1）可知，参与者每轮得 1 分，2 分，3 分的概率依次为 0.3，0.6，0.1，记参与者第 i 轮的得分为iX，则其前 n 轮的累计得分为12nYXXX，若参与者取球 1 次后可领取纪念品，即参与者得 2 分，则20.6P Y；若参与者取球 2 次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为 4 分，有“1 3”、“3 1”的情形，则42 0.3 0.10.06P Y；若参与者取球 3 次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为 6 分，有“1 23

27、”、“321”的情形，则62 0.3 0.1 0.60.036P Y；记“参与者能够领取纪念品”为事件 A，则 2460.60.060.0360.696P AP YP YP Y19(1)35(2)13 1050【解析】【分析】（1）解法 1、由余弦定理求得2 13BC，得到1132BMCMBC，分别在ABM和ACM，求得cosBMA和cosCMA，结合BMA和CMA互补，求得5AM，再在ABM中，求得cosBAM，即可求解；解法 2、由题意，求得12AB AC ，根据12AMABACuuuruuu ruuu r，结合ABM的面积为ABC面积的12，列出方程，即可求解；（2）解法 1、由余弦定理

28、求得10BN，得到2 103BP，103AP，在ABP中，由余弦定理求得13 10cos50APB，即可求解；又由MPNAPB，所以13 10coscos50MPNAPB解法 2、由12BNABAC ，求得10BN，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)答案第 13页，共 19页解：解法 1、由余弦定理得222cosACAB ACCBBABCA，即222226 22 2 6 2522BC ，所以2 13BC，所以1132BMCMBC，在ABM中，由余弦定理，得22229cos213BMAMABAMBMABM AMAM，在ACM中，由余弦定理，得222259cos213CMAMACAMCMACM

29、AMAM，BMA与CMA互补，则coscos0BMACMA，解得5AM，在ABM中，由余弦定理，得2224cos25ABAMBMBAMAB AM，因为0,2BAM，所以23sin1 cos5BAMBAM解法 2、由题意可得，cos4512AB ACABAC ，由 AM 为边 BC 上的中线，则12AMABACuuuruuu ruuu r，两边同时平方得，22211125442AMABACAB AC ，故5AM ，因为 M 为 BC 边中点，则ABM的面积为ABC面积的12，所以111sinsin222ABAMBAMABACBAC，即1112 5 sin2 6 2sin45222BAM ，化简得

30、，3sin5BAM(2)解：方法 1、在ABN中，由余弦定理，得22222cos45BNABANAB AN，所以10BN，由 AM，BN 分别为边 BC，AC 上的中线可知 P 为ABC重心，可得22 1033BPBN，21033APAM，在ABP中，由余弦定理，得22213 10cos250PAPBABAPBPA PB，又由MPNAPB，所以13 10coscos50MPNAPB解法 2：答案第 14页，共 19页因为 BN 为边 AC 上的中线，所以12BNANABABAC ，22111111322244AM BNABACABACABAB ACAC ，2222111024BNABACABA

31、B ACAC ，即10BN 所以1313 10cos50510AM BNMPNAM BN 20(1)证明见解析(2)7 5555【解析】【分析】（1）取 EC 的中点的 F，连接 MF，NF，证得/MFDC，得到/MFAB，利用线面平行的判定定理得到MF平面ABE，同理得到/NF平面ABE，证得平面/MNF平面ABE，进而得到/MN平面ABE.（2）过 E 作EOAB交 AB 于 O，证得EO 平面 ABCD，取 CD 的中点 G，连接 OG，以O 为原点，分别以 AB 为 x 轴，以 OE 为 y 轴，以 OG 为 z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AEN和平面ABE的法向量，利用向量的

32、夹角公式，即可求解.(1)证明：如图所示，取 EC 的中点的 F，连接 MF，NF，因为 M，F 分别为 ED 和 EC 的中点，所以/MFDC，因为/ABDC，所以/MFAB，因为AB平面ABE，MF 平面ABE，所以MF平面ABE，同理可得/NF平面ABE，因为MFNFF，MF 平面MNF，NF 平面MNF，所以平面/MNF平面ABE，因为MN 平面MNF，所以/MN平面ABE.答案第 15页，共 19页(2)解：如图所示，过 E 作EOAB交 AB 于 O，因为平面EAB 平面 ABCD，平面EAB平面ABCDAB，EO 平面ABE，所以EO 平面 ABCD，故 EO 为四棱锥 E-AB

33、CD 的高，要使四棱锥 E-ABCD 体积最大，则 E 为弧AEB的中点，所以 O 与 AB 的中点，取 CD 的中点 G，连接 OG，因为/ABCD，12ADDCCDAB，所以OGAB，因为EO 平面 ABCD，所以EOAB，EOOG，所以 EO，AB，OG 两两垂直，以 O 为原点，分别以 AB 为 x 轴，以 OE 为 y 轴，以 OG 为 z 轴建立空间直角坐标系，设12ADDCCDABa，所以2AEEBa，可得0,0Aa，,0,0E a，330,44Naa，则,0AEa a，730,44ANaa，设平面AEN的一个法向量,nx y z，则00AE nAN n，可得073044axay

34、ayaz，令1x，则平面AEN的一个法向量为7 31,1,3n，平面ABE的一个法向量为0,0,1m，则7 37 553cos,55553m nm nm n ，由图可知二面角NAEB的平面角为锐角，所以二成角NAEB的余弦值为7 5555答案第 16页，共 19页21(1)22143xy(2)以EF为直径的圆经过定点，定点坐标为1,0和7,0【解析】【分析】（1）根据点在双曲线上和点到直线的距离分别建立方程，然后解出方程即可；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，并表示出以EF为直径的圆的方程，结合对称性即可求得定点坐标(1)由题意得：2a 因为双曲线 C 的渐近线方程为2byx，所以有

35、：222 2174bb解得：3b 因此，双曲线 C 的方程为：22143xy(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为4yk x由224143yk xxy可得：22223343264120,02kxk xkk 设11,M x y、22,N xy，答案第 17页，共 19页则由：21223234kxxk，2122641234kx xk由直线 AM 方程1122yyxx，令4x，得点1124,2yEx由直线 AN 方程2222yyxx，令4x，得点2224,2yFx则以 EF 为直径的圆的方程为：12122244022yyxxyyxx令0y，有：212124224y yxxx 将114y

36、k x，224yk x代入上式，得22121212124416424kx xxxxx xxx 可得：22222222226412324416343449641232243434kkkkkxkkkk 解得：1x，或7x 即以 EF 为直径的圆经过点1,0和7,0；当直线 l 的斜率不存在时，点 E、F 的坐标分别为4,3、4,3，以 EF 为直径的圆方程为 44330 xxyy，该圆经过点7,0和1,0综合可得，以 EF 为直径的圆经过定点1,0和7,022(1)当1a 时，函数 fx的单调增区间为0,；当1a 时，函数 fx的单调增区间10,1a，单调减区间是1,1a(2)（i）1,0（ii）

37、证明见解析【解析】【分析】（1）先求定义域，求导，对a进行分类讨论，求对应的单调区间；（2）（i）结合第一问中函数的单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数 a的取值范围；（ii）构造差函数，证明极值点偏移问题.(1)答案第 18页，共 19页 fx定义域为0,，21112212xaxfxaxaxx，当1a 时，有 0fx恒成立，0,是函数 fx的单调增区间，无递减区间；当1a 时，由 0fx，解得10,1xa，由 0fx，解得1,1xa，故函数 fx的增区间10,1a，减区间是1,1a综上：当1a 时，函数 fx的单调增区间为0,；当1a 时，函数 fx的单调增区间10,1a，单调

38、减区间是1,1a(2)（i）由（1）知：当1a 时，fx在0,上单调递增，函数 fx不可能有两个零点；当1a 时，因为 fx在10,1a上递增，在1,1a上递减，因为 22ln1212ln21f xxaxaxxax，故222222e2lne130eeaaf ，设 ln1h xxx，0 x，则 111xhxxx，当01x时，0h x，当1x 时，0h x，故 h x在1x 处取得极大值，也是最大值，max10h xh，所以ln1xx，故1ln2xx，即 2212ln12121212 112fxxaxaxxaxaxxaax 取02 1111axaa，则 0002 110fxxaax因此，要使函数

39、fx且两个零点，只需101fa，即21112ln1210111aaaaa，化简，得2ln101aaa，令 2ln111xg xxxx，因为 221011gxxx，答案第 19页，共 19页所以函数 g x在1,上是单调递增函数，又 00g，故不等式2ln101aaa的解为1,0a，因此，使求实数 a 的取值范围是：1,0a.（ii）因为10a，所以111a，21211aa，下面先证明1221xxa，根据（1）的结果，不妨设12101xxa，则只需证明1221xxa，因为 fx在10,1a时单调递增，且110,1xa，2210,11xaa，于是只需证明1221fxfxa，因为 12f xf x，所以即证22201f xfxa，记 21F xf xfxa，1,1xa，22241211Fxfxfxaaxxa24441410211111aaaxxaaa，所以 F x在1,1a单调递增，则 101F xFa，即证得1221211xxaa，原命题得证.【点睛】极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择.