2023年高考数学专项练习考点07 正、余弦定理含答案.pdf

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1、1考点考点 07 正、余弦定理正、余弦定理一一正正余余弦定理弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin AcosAb2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c2

2、2ab使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边二二.三角形常用面积公式三角形常用面积公式(1)S12aha(ha表示边 a 上的高)；(2)S12absin C12acsin B12bcsin A；(3)S12r(abc)(r 为三角形内切圆半径)三三角形解的判断三三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解一正、余弦定理的选用1.解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；2.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；3.以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到

3、2二使用正弦定理时，要注意大边对大角，看是否需要舍去一解考点一考点一 正余弦定理的选择正余弦定理的选择【例【例 1 1】（1 1）（2021福建省大田县第一中学高三期中）在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2,6,3abB，则A（）A6B4C4或34D6或56（2）（2021北京市第十五中学南口学校高三期中）在ABC中，若3,7,3bcC，则边 a 的大小为（）A1a B2a C3a D1a 或2a【变式训练】【变式训练】1（2021北京市第十五中学南口学校高三阶段练习）在ABC中，若6,60,45aAC，则c（）A4B2 6C2 3D2 22 2（2021西藏拉萨那曲高

4、级中学）设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果abcbcabc，则角A等于（）A6B3C56D233（2021宁夏青铜峡市高级中学）在中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边，若8a，60B，75C，则b（）A4 2B4 3C4 6D324（2021黑龙江哈师大附中）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，60A，2 6a，4b，则角C _考点二考点二 边角互换边角互换【例【例 2 2】（2021宁夏青铜峡市高级中学）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cossinabCcB，则B等于（）A6B4C3D23【变式训练】【变式训练】1（

5、2021江西贵溪市实验中学）在ABC中，已知222sinsinsin3sinsinBCAAC，则角B的大小为（）A150B30C120D602（2021宁夏平罗中学高三期中（理）在ABC 中，若3 sincosaBcbA，则 B（）A6B3C3或23D6或563（2021云南高三阶段练习（文）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，sin3 cos0bAaB，6,3ab，则C（）3A6B4C3D512考点三考点三 三角形的面积三角形的面积【例【例 3-13-1】（2021上海崇明一模）在ABC中，已知8,5,153abc，则ABC的面积S _【例 3-2】（2021内蒙古赤峰第

6、四中学高三阶段练习（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2b，3caac，23B，则ABC的面积为_【变式训练】【变式训练】1（2021河南开封高三阶段练习（理）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若60A，45B，2 3a，则ABC的面积为（）A2 3B3 2C13D332（2021福建省福州华侨中学高三期中）在ABC中，若1b，60A，ABC的面积为3，则a（）A13B13C2D23（2021云南玉溪衡水实验中学）在锐角ABC中，2AB，5BC，ABC的面积为 4，则cosABC等于（）A35B35C35-D25考点四考点四 三角形的形状三角形的形状【例【例 4-

7、14-1】（2021天津二中高三期中）在ABC 中，若2 coscaB，则三角形为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【例 4-2】（2021安徽高三阶段练习（文）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为,a b c，已知0cos2cos322AA且满足3abc，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【变式训练】【变式训练】1（2021云南峨山彝族自治县第一中学）若ABC满足222abcbc，且sin2sinBC，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形2（2021江西高三期中（文）ABC的内角A，B，

8、C的对边分别为a，b，c.若3abcabcac，sin2cossinBCA，则ABC为（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形3（2021全国模拟预测（文）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cossincosbAcBaB，则ABC是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形考点五考点五 三角形个数的判断三角形个数的判断4【例【例 5 5】（2021江西贵溪市实验中学高三阶段练习）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（）A10,45,70bACB60,48,60acBC5,7,8abcD14,16,45abA【变式训练】【变式训练】1

9、（2021陕西）在ABC中，3a，3b，6A，则此三角形（）A无解B一解C两解D解的个数不确定2 2（2021福建省连城县第一中学高三阶段练习）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）AA=30，B=45，c=5Ba=4，b=5，C=60Ca=8，8 2b，B=45Da=6，b=8，A=303（2021河南省实验中学（文）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知45B，2 2a，为使此三角形有两个，则b满足的条件是（）A22 2bB02bC02 2bD2 2b 或2b 4（2021广东铁一中学）根据下列条件，判断三角形解的情

10、况，其中正确的是（）A8,16,30abA，有两解B18,20,60bcB，有唯一解C5,2,90abA，无解D30,25,150abA，有唯一解考点六考点六 正余弦综合运用正余弦综合运用【例【例 6 6】（2021陕西蒲城）已知 A、B、C 为ABC的三个内角，它们的对边分别为 a、b、c，若 2acosA=ccosB+bcosC（1）求 A；（2）若2 3a，ABC的面积3S，求 b+c 的值【变式训练】【变式训练】1（2021辽宁大连市第一中学高三期中）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知sincos6cAaC.（1）求角C的大小；5（2）若6cos3B，3c，求AB

11、C的面积.2（2021福建福州三中模拟预测）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos(4)cosaBcbA.（1）求sin A；（2）若2a，15sin8C，求ABC的面积.3（2021全国高三阶段练习）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3 cos0bAaB.（1）求角B的大小；（2）若7b，ABC的面积为32，求ABC的周长.1（2021新疆昌吉）在ABC中，75,45,3BACABCAC，则AB（）A3 62B4 63C5 64D6 652（2021四川）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b，3c，sin3sinCA，则

12、sin A（）A13B2 23C14D243（2021陕西武功县普集高级中学高三阶段练习（理）在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，已知coscos2bCcBb，则ab（）A12B1C2D34（2021河南高三阶段练习（理）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积等于22214acb，则角B的大小为（）6A2B3C4D65（2021河南濮阳一高（理）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A10b，45A，70C B30a，25b，150AC7a，8b，98A D14a，16b，45A6（2021北京市第四十三中学高三期中）在ABC 中，角

13、A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若4A，5a，2b，则边 c=_，ABC 的面积等于_7（2021福建龙岩高三期中）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC的面积为2224bca，则角 A=_.8（2021陕西金）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4a，223bcbc，120A，则ABC的面积为_9（2021重庆梁平高三阶段练习）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若角,A B C依次成等差数列，且2,3ab，则ABCS_10（2021江苏淮安高三期中）在锐角三角形ABC 中，4ABCS，5AB，AC=2，则BC _11（2021安

14、徽合肥一中高三阶段练习（文）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，4,5,6abc，则sin2sinAC_12（2021广西南宁市东盟中学）ABC中，角,A B C的对边分别是abc，若sin2sinBC，且2143aA，则c _13（2021宁夏贺兰县景博中学）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若2a，3b，sin2sincosABC，则ABC的面积为_.14（2021北京北大附中高三阶段练习）在ABC中，2223bcabc（1）求A的大小；（2）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件并求ABC的面积条件：2sin2B，2b；条件：c

15、os2 23B，2a；条件：1a，2b 注：条件选择错误，第（2）问得 0 分15（2021天津市第一零二中学高三期中）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知2a，3b，77c（1）求角 C 的大小；（2）求sin A的值；（3）求sin 23A的值16（2021江西贵溪市实验中学高三阶段练习）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sin3aBb（1）求角A的大小；（2）若6a，8bc，求ABC的面积17（2021山东青岛高三期中）1.ABC个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且cos3 sinbAbAac（1）求B的大小；（2）若3,3bac

16、，求ABC的面积18（2021北京市第三十五中学高三期中）已知ABC同时满足下列四个条件中的三个：3A2cos3B 14a 6b（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求ABC的面积19（2021四川攀枝花）在(1cos)3 sinbAaB，3 cossin2BCbaB，sincos6aCcA这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_（只需填序号）.8（1）求A；（2）若7a，4bc，求ABC的面积.1（2022全国）ABC 中，已知下列条件：3,4,30bcB；5a，8b，30A；2c，3b，60B；1

17、2c，12b，120C 其中满足上述条件的三角形有两解的是（）ABCD2（2021河南洛阳（理）在ABC中，2a，3b，45A，则此三角形解的情况是（）A两解B一解C一解或两解D无解3（2021北京市陈经纶中学）根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（）（1）8a，16b，30A，有一个解.（2）18b，20c，60B，有两个解（3）5a，2c，90A，无解（4）30a，25b，150A，有一解A（1）（2）B（2）（4）C（1）（2）（3）D（1）（2）（4）4（2021新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）命题:pABC为等腰三角形，命题:qABC中，cos2cos2AB

18、则命题p是命题q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（2021黑龙江牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文）在ABC中，sinsincosABC,则ABC是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形6（2021广东清远市博爱学校高三阶段练习）在ABC 中，已知 2acos Bc，sin Asin B(2cos C)sin22C12，则ABC 为（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形7（2021吉林吉林高三阶段练习（理）若将直角三角形的三边a，b，c分别增加1个单位长度，组成新三角形，则新三角形是（）9A锐角三角形B直角三角形C钝

19、角三角形D无法确定8（2021辽宁实验中学二模）（多选）设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（）A若sinsinsinabcABC，则ABC是等边三角形B若coscoscosabcABC，则ABC是等边三角形C若tantantanabcABC，则ABC是等边三角形D若abcABC，则ABC是等边三角形9（2021河北石家庄模拟预测）已知ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若2 cos2 cosbCacB，2bc，则cosC=_.10（2021全国高三阶段练习（理）设锐角ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若

20、2a，sin3bA，3c，则b _11（2021江西赣州市赣县第三中学高三期中（理）在ABC中，若cossincossinaaBBbcCA，则这个三角形是_12（2021上海奉贤一模）在ABC中，A B C 所对边a b c 满足abcabcbc .（1）求A的值；（2）若3a，4cos5B，求ABC的周长.13（2021福建龙岩高三期中）如图，在ABC 中，AB=6，3cos4B，点 D 在 BC 边上，AD=4，ADB 为锐角.（1）求线段 BD 的长度；（2）若 DC=7，求 sinC 的值.1014（2021云南昆明模拟预测（文）ABC的内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2

21、b，1c（1）若45B，求cosC；（2）若7a，D是BC的中点，求AD的长15（2021广东江门高三阶段练习）ABC的三条边,a b C所对的角分别为,A B C，已知3,2,120cbac A.（1）求ABC的面积；（2）若点 D 在边BC上，且60BDA，求BD的长度.16（2021甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足22232cosbc bAabc11（1）求cosA的值；（2）如图，点D在边AB上，且2,5DBDCAC，求DBC的面积17（2021福建莆田一中高三阶段练习）如图，在三角形ABC中，D为BC边上一点，ADAB

22、，1CD，3sin2BAC.（1）若3AD，求AC；（2）若2BDCD，求tan B.18（2021全国模拟预测）如图，在ABC中，1sin3A，2 3AB，D，E 分别在边 BC，AC 上，ECEB，EDBC且1DE（1）求cosC；（2）求ABE的面积12考点考点 07 正、余弦定理正、余弦定理二二正正余余弦定理弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形a2RsinA，b2RsinB，c2R

23、sinC；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin AcosAb2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边二二.三角形常用面积公式三角形常用面积公式(1)S12aha(ha表示边 a 上的高)；(2)S12absin C12acsin B12bcsin A；(3)S12r(abc)(r 为三角形内切圆半径)三三角形解的判断三三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式

24、absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解一正、余弦定理的选用1.解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；2.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；3.以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到13二使用正弦定理时，要注意大边对大角，看是否需要舍去一解考点一考点一 正余弦定理的选择正余弦定理的选择【例【例 1 1】（1 1）（2021福建省大田县第一中学高三期中）在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2,6,3abB，则A（）A6B4C4或34D6或56（2）（2021北京市第十五中学南口学校高三期中）在ABC

25、中，若3,7,3bcC，则边 a 的大小为（）A1a B2a C3a D1a 或2a【答案】（1）B（2）D【解析】（1）由正弦定理可得sinsinabAB，则32sin22sin26aBAb.因为ab，所以AB，则4A.故选：B.（2 2）因为3,7,3bcC，所以由余弦定理可得2222coscababC，即2793aa，解得1a 或2a，当1a 或2a 时，均能构成三角形，故选：D【变式训练】【变式训练】1（2021北京市第十五中学南口学校高三阶段练习）在ABC中，若6,60,45aAC，则c（）A4B2 6C2 3D2 2【答案】B【解析】在ABC中，因6,60,45aAC，则由正弦定理

26、sinsinacAC得26sin6sin4522 6sinsin6032aCcA，所以2 6c.故选：B2 2（2021西藏拉萨那曲高级中学）设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果abcbcabc，则角A等于（）A6B3C56D23【答案】D【解析】因为222222bcabcbcabcabcabc，则222bcabc，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc，0,A，故23A.故选：D.3（2021宁夏青铜峡市高级中学）在中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边，若8a，60B，75C，则b（）A4 2B4 3C4 6D3214【答案】C【解析】因为60B，75

27、C，所以180607545A，因为sinsinabAB，所以38sin24 6sin22aBbA.故选：C.4（2021黑龙江哈师大附中）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，60A，2 6a，4b，则角C _【答案】75【解析】因为60A，2 6a，4b，根据正弦定理可得：2 64sinsinsin32abABB，解得：2sin2B，则45B或135；因为ab，故可得AB，则45B；故18075CAB.故答案为：75.考点二考点二 边角互换边角互换【例【例 2 2】（2021宁夏青铜峡市高级中学）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cossinabCcB，则

28、B等于（）A6B4C3D23【答案】B【解析】由已知cossinabCcB及正弦定理得：sinsincossinsinABCCB，又sinsinsincoscossinABCBCBC，所以sincoscossinsincossinsinBCBCBCCB，化简可得sincosBB，即tan1B，因为B为三角形的内角，所以4B.故选：B.【变式训练】【变式训练】1（2021江西贵溪市实验中学）在ABC中，已知222sinsinsin3sinsinBCAAC，则角B的大小为（）A150B30C120D60【答案】A【解析】因为222sinsinsin3sinsinBCAAC，由正弦定理，可得2223

29、bcaac，又由余弦定理得22233cos222acbacBacac，因为(0,)B，可得150B.故选：A.2（2021宁夏平罗中学高三期中（理）在ABC 中，若3 sincosaBcbA，则 B（）A6B3C3或23D6或56【答案】A【解析】因为3 sincosaBcbA，由正弦定理得3sinsinsinsincosABCBA因为sinsin()sincoscossinCABABAB，所以3sinsinsincosABAB因为(0,)A，所以sin0A，所以3tan3B，而 B 为三角形内角，故6B故选：A153（2021云南高三阶段练习（文）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,

30、a b c，sin3 cos0bAaB，6,3ab，则C（）A6B4C3D512【答案】D【解析】解：因为sin3 cos0bAaB，由正弦定理得sinsin3sincos0BAAB，sin0A，sin3cos0BB，tan3B，0,B，3B，sinsinabAB，36sin22sin32aBAb，ab，4A，53412C.故选：D.考点三考点三 三角形的面积三角形的面积【例【例 3-13-1】（2021上海崇明一模）在ABC中，已知8,5,153abc，则ABC的面积S _【答案】12【解析】85153abc，根据余弦定理得22222851534cos22 8 55abcCab，23sin1

31、cos5CC113sin8 512225ABCSabC ，故答案为：12【例 3-2】（2021内蒙古赤峰第四中学高三阶段练习（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2b，3caac，23B，则ABC的面积为_【答案】34【解析】由3caac，得223acac因为2b，23B，2222cosbacacB，所以1ac，故ABC的面积13sin24SacB故答案为：34【变式训练】【变式训练】1（2021河南开封高三阶段练习（理）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若60A，45B，2 3a，则ABC的面积为（）A2 3B3 2C13D33【答案】D【解析】由正弦定理知22

32、 3sin22 2sin32aBbA,所以11162sin2 22 3 sin752 22 3332224ABCSabC故选：D2（2021福建省福州华侨中学高三期中）在ABC中，若1b，60A，ABC的面积为3，则a（）16A13B13C2D2【答案】B【解析】在ABC中，1b，60A，ABC的面积为3，所以113sin12223ABCbcASc ,解得：c=4.由余弦定理得：2222cos1 16413abcbcA,所以a13.故选：B.3（2021云南玉溪衡水实验中学）在锐角ABC中，2AB，5BC，ABC的面积为 4，则cosABC等于（）A35B35C35-D25【答案】A【解析】因

33、为11sin2 5 sin422ABCSAB BCABCABC 所以4sin5ABC因为ABC是锐角三角形，所以3cos5ABC故选：A考点四考点四 三角形的形状三角形的形状【例【例 4-14-1】（2021天津二中高三期中）在ABC 中，若2 coscaB，则三角形为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【答案】A【解析】由余弦定理2222 cosacbcaBc，化简得ab，三角形为等腰三角形故选：A【例 4-2】（2021安徽高三阶段练习（文）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为,a b c，已知0cos2cos322AA且满足3abc，则ABC的形状是（）A等腰三角形

34、B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【答案】B【解析】23322cos12cos0cos2 os22cAAAA，解得1cos2A，3A，则23BC，3()abc，由正弦定理得sin3(sinsin)ABC，323 sin()sin23CC，311cossinsin222CCC，1sin32C，因为203C，333C，36C，6C，2B，ABC是直角三角形、故选：B【变式训练】【变式训练】1（2021云南峨山彝族自治县第一中学）若ABC满足222abcbc，且sin2sinBC，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形17【答案】B【解析】由正弦定理，

35、以及sin2sinBC，可得2bc代入222abcbc，可得2222(2)23accccc3,2ac bc故22290bacB故ABC为直角三角形故选：B2（2021江西高三期中（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3abcabcac，sin2cossinBCA，则ABC为（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】由()()3abc abcac，整理得222acbac，所以2221cos22acbBac，因为(0,)B，所以3B，又因为sin2cossinBCA，可得sin2sincosBAC，即22222abcbaab，可得22ac，解得ac，

36、所以三角形ABC是等边三角形.故选：A.3（2021全国模拟预测（文）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cossincosbAcBaB，则ABC是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为cossincosbAcBaB由正弦定理化边为角可得：sincossinsinsincosBACBAB，所以sinsinsincossincossinsin sinCBABBAABCC，因为sin0C，所以sin1B，因为0B，所以2B，所以ABC是直角三角形，故选：C.考点五考点五 三角形个数的判断三角形个数的判断【例【例 5 5】（2021江西贵溪市实验

37、中学高三阶段练习）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（）A10,45,70bACB60,48,60acBC5,7,8abcD14,16,45abA【答案】D【解析】A：10,45,70bAC，已知两角和一边，三角形确定，只有一解；B：60,48,60acB，已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；C：5,7,8abc已知三边三角形确定，只有一解；D：因为216sin4 22sin1147bABa，且ba，故BA，故有两解故选：D.【变式训练】【变式训练】181（2021陕西）在ABC中，3a，3b，6A，则此三角形（）A无解B一解C两解D解的个数不确定【答案】C【解析】在ABC中

38、，3a，3b，6A，由正弦定理得3sinsin36sin123bABa，而A为锐角，且ab，则3B或23B，所以ABC有两解故选：C2 2（2021福建省连城县第一中学高三阶段练习）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）AA=30，B=45，c=5Ba=4，b=5，C=60Ca=8，8 2b，B=45Da=6，b=8，A=30【答案】D【解析】对于选项A中：由A=30，B=45，c=5，所以180105CAB，再利用正弦定理可求sinsin,sinsincAcBabCC，显然只有一解；对于选项 B 中：由余弦定理可得2222coscab

39、abC，所以只有一解；对于选项 C 中：因为28sin12sin128 2aBAb，且ab，所以只有一解；对于选项 D 中：因为18sin22sin163bABa，且ab，所以角B有两解.故选：D.3（2021河南省实验中学（文）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知45B，2 2a，为使此三角形有两个，则b满足的条件是（）A22 2bB02bC02 2bD2 2b 或2b【答案】A【解析】如下图所示：因为ABC有两解，且45B，2 2a，则sinaBba，即22 2b.故选：A.4（2021广东铁一中学）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）19A8,16,30a

40、bA，有两解B18,20,60bcB，有唯一解C5,2,90abA，无解D30,25,150abA，有唯一解【答案】D【解析】选项 A，sin16sin308bAa，sin1B，90B，只有一解，A 错；选项 B，sin20sin6010 3cBbc，有两解，B 错；选项 C，sin2sin902sin155bABa，B为锐角，有唯一解，C 错；选项 Dsin25sin1505sin3012bABa，B是锐角，有唯一解D 正确故选：D考点六考点六 正余弦综合运用正余弦综合运用【例【例 6 6】（2021陕西蒲城）已知 A、B、C 为ABC的三个内角，它们的对边分别为 a、b、c，若 2acos

41、A=ccosB+bcosC（1）求 A；（2）若2 3a，ABC的面积3S，求 b+c 的值【答案】（1）3A；（2）2 6.【解析】（1）在ABC中，因 2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，则 2sinAcosA=sin(B+C)=sinA，由于 sinA0，于是得 2cosA=1，即1cos2A，而03A，解得3A，所以3A.（2）依题意，113sin3222ABCSbcAbc，则 bc=4，由余弦定理2222cosabcbcA得：22()2(1cos)abcbcA，则221()2(1 cos)122 4(1)242b

42、cabcA ，所以2 6bc.【变式训练】【变式训练】1（2021辽宁大连市第一中学高三期中）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知sincos6cAaC.（1）求角C的大小；（2）若6cos3B，3c，求ABC的面积.【答案】（1）3C（2）33 22【解析】（1）在ABC中，由正弦定理得sinsinsincos6CAAC，0A，sin0A，31sincoscossin622CCCC，20sin3cos0CC，即tan3C，0C，3C.（2）由题意得23sin1cos3BB.在ABC中，由正弦定理得sin2sincBbC.133+3 2sinsinsincos3226ABB

43、B，133 2sin22ABCSbcA+=.2（2021福建福州三中模拟预测）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos(4)cosaBcbA.（1）求sin A；（2）若2a，15sin8C，求ABC的面积.【答案】（1）154（2）154【解析】（1）在ABC中，由正弦定理得：sincos4sinsincosABCBA，即4sincossincossincossinsinCAABBAABC，因为sin0C，所以1cos4A，因为0A，得15sin4A.（2）因为2a，15sin8C，由（1）可知15sin4A，正弦定理sinsinacAC，解得1c，由余弦定理得：222

44、2cosabcbcA，即21302bb，解得32b （舍）或2b，所以1115sin2 1154224ABCSbcA .3（2021全国高三阶段练习）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3 cos0bAaB.（1）求角B的大小；（2）若7b，ABC的面积为32，求ABC的周长.【答案】（1）23B（2）37【解析】（1）依题意：sin3 cos0bAaB，由正弦定理得sin sin3sin cos0BAAB，由于0A，sin0A，所以sin3cos0BB，即tan3B ，由于0B，所以23B.（2）由余弦定理和三角形的面积公式得22221322bacaccosBacs

45、inB即2252acac 可得3ac.故ABC的周长为37.1（2021新疆昌吉）在ABC中，75,45,3BACABCAC，则AB（）21A3 62B4 63C5 64D6 65【答案】A【解析】75,45BACABC，+180BACABCACB60ACB，由正弦定理得，sin603 6sin452ACAB故选：A.2（2021四川）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b，3c，sin3sinCA，则sin A（）A13B2 23C14D24【答案】A【解析】因为sin3sinCA，所以33ca，即3a，所以2222 2cos023bcaAbc，故1sin3A 故选：A3（

46、2021陕西武功县普集高级中学高三阶段练习（理）在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，已知coscos2bCcBb，则ab（）A12B1C2D3【答案】C【解析】由正弦定理可知：sinsinsinabcABC，由coscos2sincossincos2sinsin()2sinbCcBbBCCBBBCBsinsin()2sinsin2sin22sinAaABABBb，故选：C4（2021河南高三阶段练习（理）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积等于22214acb，则角B的大小为（）A2B3C4D6【答案】C【解析】因为ABC的面积等于22214acb

47、，所以由余弦定理得11sin2cos24acBacB，所以tan1B，又0,B，所以4B故选:C5（2021河南濮阳一高（理）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A10b，45A，70C B30a，25b，150AC7a，8b，98A D14a，16b，45A【答案】D【解析】对于 A，根据三角形内角和关系可得180457065B ，故只有一解；22对于 B，利用正弦定理可知125sin52sin3012bABa，且ab，故 B 只有一解；对于 C，利用正弦定理可知sin8sin98sin17bABa，无解；对于 D，用正弦定理可知216sin4 22sin1147bABa，因

48、为b大于a，所以 D 有两个值，故选：D6（2021北京市第四十三中学高三期中）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若4A，5a，2b，则边 c=_，ABC 的面积等于_【答案】332【解析】在ABC 中，4A，5a，2b，由余弦定理得：2222cosabcbcA，即2230cc，解得3c；所以113sin23 sin2242ABCSbcA，故答案为：3，327（2021福建龙岩高三期中）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC的面积为2224bca，则角 A=_.【答案】4【解析】由题意，2222221sinsin242bcabcaSbcAAbc，

49、由余弦定理可知：cossin2sin04AAA，因为0A，所以4A.故答案为：4.8（2021陕西金）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4a，223bcbc，120A，则ABC的面积为_【答案】3【解析】由余弦定理得：222cos2bcaAbc，则316cos1202bcbc，解得：4bc，112sin4 sin3223ABCSbcA.故答案为：3.9（2021重庆梁平高三阶段练习）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若角,A B C依次成等差数列，且2,3ab，则ABCS_【答案】334【解析】由题设，若公差为d，则()()ABCBdBBd，可得3B，由余弦定

50、理有22222cos223bacacBcc，即2210cc，262c，则133sin24ABCSacB.故答案为：334.2310（2021江苏淮安高三期中）在锐角三角形ABC 中，4ABCS，5AB，AC=2，则BC _【答案】17【解析】根据三角形的面积公式得114sin4,5 2sin4,sin225bcAAA，由于三角形ABC是锐角三角形，所以23cos1 sin5AA，由余弦定理的223522 5 2175BC .故答案为：1711（2021安徽合肥一中高三阶段练习（文）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，4,5,6abc，则sin2sinAC_【答案】1【解析】由