2023年高考数学专项练习考点23 空间几何中的平行与垂直含答案.pdf

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1、12023 年高考数学专项练习年高考数学专项练习考点考点 23空间几何中的平行与垂直空间几何中的平行与垂直一直线与平面平行的判定定理和性质定理一直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb二平面与平面平行的判定定理和性质定理二平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记

2、为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面aa三三线线平行线线平行1.相似比（常用三角形的中位线）2.构造平行四边形（证明一组对边平行且相等）3.平行的传递性4.线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行5.线面平行的性质6.面面平行的性质7.平面向量8.空间向量四四线面平行线面平行证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；2二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行五五直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线和

3、平面垂直的定义：直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行abab六六平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直ll性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lalal七证明线线垂直的思路证明线线垂直的思路平行四边形：正方形、菱形、矩形图形三角形：等腰

4、（等边）三角形-取中点正余弦定理边关系或边长勾股逆定理线面垂直的定义面面垂直的性质1.直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件32.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3.注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交4.注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”考点一考点一 线面平行线面平行【例【例 1-1】（2021山东高三阶段练习）如图，四边形ABCD为梯形，ADBC，22ADBC，点M在边PC上，且2PMMC，证明：PA平面BDM；【例 1-2】（2021河南模拟预测（理）

5、如图所示的四棱锥PABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，/AD BC，且224ADABBC，PO是PAD的中线，点E是棱PD的中点，证明：/CE平面PAB4【变式训练】【变式训练】1（2021云南红河模拟预测（理）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（）ABCD2（2021江西高三阶段练习）如图，在圆柱1OO中，AC，11AC分别为圆 O，圆1O的直径，1AA，1BB，1CC为圆柱的母线，证明：1/AB平面11O BC；3（2021江苏高三期中）如图，在正三棱柱111ABCABC中，1=

6、3AA，AB=2，D，E 分别是 AC，1BB的中点，证明：BD/平面1ACE；54（2022全国高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，AB CD，且2CD，1AB，2 2BC，1PA，N为PD的中点，）求证：AN平面PBC；5（2021广东模拟预测）如图，直三棱柱111ABCABC中，,2ACBC ACBC，点,D E分别边1,AA BC的中点，求证：DE 平面11A B C；6（2021辽宁大连高三学业考试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，2PAAC，E、F分别为PD、BC的中点，证明：/EF平面PAB.6考点二考点二 面面平行面面平行【例【例 2】（2021

7、河南温县第一高级中学）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为等腰梯形，/AB CD，CH为等腰梯形的高，33ABCD，AE平面CHE，AEHE，13EFEA.（1）证明：平面/BCE平面HDF；（2）求将AHF以AH为旋转轴旋转一周得到的几何体的体积.【变式训练】【变式训练】1（2021黑龙江哈尔滨三中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，DC/AB，ABBC，12DCCBAB，E，Q分别为AB，AP的中点，求证：平面/QED平面PBC；72（2021陕西西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点 P 是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，Q 分别PA，PB，PC的中点，

8、平面PBC平面APDl（1）证明平面/MNQ平面ABCD；（2）求证：/l BC3（2021青海海南藏族）如图，四边形ABCD是矩形，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD（1）证明：平面/AED平面BCF（2）若平面ABE与平面CDE的交线为l，求证：/ABl考点三考点三 线面垂直线面垂直8【例【例 3】（2022全国高三专题练习）如图所示，在三棱锥ABCD中，ADBC，2ADBD，4 2BC，2 6AC，45DBC，求证：AD 平面BCD；【变式训练】【变式训练】1（2021江苏高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC，PAB为正三角形，PD 10

9、，E为AB的中点，M为线段PD（不含端点）上的一个动点，证明：PE 平面ABCD；2（2021全国全国模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，2AB，1PDDCCB，90DCBCBAPDC ，平面PBC 平面PDC，）求证：PD 平面 ABCD；93（2021全国全国模拟预测）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，ABDC，ABAD，224CDABAD，四边形11ADD A为菱形，1A在平面 ABCD 内的射影 O 恰好为 AD 的中点，M 为 AB 的中点，求证：BC 平面1AOM；考点四考点四 面面垂直面面垂直【例【例 4】（2021山东省实验中学高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD

10、中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，,1,2PACD PAPD，E 为 PD 上一点，且 PE=2ED，求证：平面PAC 平面 ABCD；【变式训练】【变式训练】1（2021江西）如图，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PAAB，E 为 PC 的中点，证明：平面ADE 平面 PBC；102（2021全国模拟预测）如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD 平面ABCD，4PD，点E为PD的中点，四棱锥QABCD是高为4的正四棱锥求证：平面EAC 平面QBC；3（2021全国全国模拟预测）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，P

11、A 平面 ABCD，ABC是正三角形，1ADCD，3AB，求证：平面PAC 平面 PBD；11考点五考点五 线线垂直线线垂直【例【例 5】（2021内蒙古赤峰第四中学）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，122PAABCD，10BC，证明：BDPC【变式训练】【变式训练】1（2021广西）如图，四棱锥PABCD中，ABCD，BCCD，2BCCDPD，4AB，侧面PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，求证：CDPD；2（2021河南高三阶段练习（理）如图所示，在四棱锥ABCDE中，CDEB，2222CDDEBEBC，ADE为等边三角形，2AC，F为棱AC的中点

12、，证明：CEBF；123（2021江西）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PHAD，垂足为H，212HAHBHPAB，求证：平面PBC 平面PBH；考点六考点六 平行垂直综合运用平行垂直综合运用【例【例 6-1】（2021浙江无高三阶段练习）设,a b c是空间三条不同直线，是空间两个不同的平面，则下列命题中，下列命题不成立的是（）A当c时，若，则cB当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abrr13C当b时，若，则bD当b，且c时，若bc，则c【例 6-2】（2021陕西临渭一模（理）已知,a b是两条异面直线，直线c与,a b都垂直，则下列说法正确的是（）A若c 平面，

13、则aB若c 平面，则/,/abC存在平面，使得,/cabD存在平面，使得,cab/【变式训练】【变式训练】1（2021浙江省武义第一中学高三阶段练习）已知设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，mn，则nC若mn，n，m，则D若，m，nm，则n2（2021全国高三阶段练习（文）已知两条不同直线,m n和平面，下列判断正确的是（）A若/,/,mn则/mnB若,mn则mnC若/,/,mmn则/nD若,/,mmn则n3（2021河北石家庄模拟预测）已知 m，n 表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A若mn，n ，则mB若mn，n

14、，则mC若mn，n，则mD若mn，n，则m4（2021黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习（理）已知三个不同的平面，和三条不重合的直线m，n，l，则下列说法错误的是（）A若m，且，则mB若m，/mn，n，则C若/m，n，则/mnD若m，n，l，/mn，则m/l5（2020陕西西安市铁一中学高三阶段练习（理）已知平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，且直线,a b l不重合，则下列命题错误的是（）A若,ab，且b与l不垂直，则alB若,bl，则abrrC若,ab bl，且a与l不平行，则D若,al bl，则1（2021四川乐山市）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.

15、在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PD 底面ABCD，PDDA，点E是PA的中点，作EFPB交PB于点F.14（1）求证：PC平面EBD；（2）求证：PB 平面EFD.2（2021北京育才学校）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA中点，12,1.2PDABADCD四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N，求证：AC/平面DEF；3（2021广东华南师大附中模拟预测）如图所示多面体ABCDEF中，平面ADE 平面ABCD，CF 平面ABCD，ADE是正三角形，四边形ABCD是菱形，2AB，3CF，3BAD，求证：/EF平面ABCD；154（2021海南海港学校高三阶段练习）如图，

16、在四棱锥PABCD中，PC 平面PAD，ABCD，=22CDABBC，M，N分别是棱PACD、的中点（1）求证：PC平面BMN.（2）求证：平面BMN平面PAC.5（2021河北大名县第一中学）如图，四棱锥PABCD中，PAB为正三角形，E、F 分别为 AC、BP 中点，证明：/EF平面 PCD；6（2021江苏姜堰中学高三阶段练习）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD是边长为 2 的正方形，2AF，且01DEAF，求证：CE平面ABF；167（2021陕西武功县普集高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E、F、G分别为CD、PD、AD的中点，求证：平面/

17、EFG平面ACP；8（2021浙江绍兴一中高二期中）如图，在四棱锥PABCD中，/ADBC，90ABC，1AD，2PAABBC，M 是棱 PB 的中点，E 为 BC 的中点，证明：平面/AME平面PCD；179（2021全国高二课时练习）如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G 分别为 AB，BC，1BB的中点，求证：平面11/ADC平面 EFG；10（2021全国高一课时练习）如图，在三棱锥SABC中，M、N、P分别为棱SA、SB、SC的中点（1）求证：平面/MNP平面ABC；（2）求证：MNPABC；（3）若将本题中的三棱锥改为四棱锥，有怎样类似的结论？12（20

18、21河南温县第一高级中学高三阶段练习（文）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是菱形，ADC60，18AECE，AC与BD交于点O，求证：AC 平面BDE；13（2021河南温县第一高级中学高三阶段练习（文）如图所示，四棱锥SABCD中，平面SAD 平面ABCD，以SD为直径的圆过点 A，线段,AC BD相互平分，22 5,5SAABAC，点 M 在线段SD上，且SD 平面ABM，求证：ABAD；14（2021广西玉林模拟预测（文）如图所示的四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD 平面ABCD，O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，PAPD，2POAD19（1）求证：BC

19、平面POE；（2）求三棱锥MPAD的体积15（2021广东广州高三阶段练习）如图，在三棱锥PABC中，BC 平面PAC，ADBP，2AB，1BC，33PDBD，求证：PAAC；16（2021北京市八一中学高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，面PAB 面ABCD，面PAD 面ABCD，4,2,PAADABM是PD上一点，且BMPD，证明：PA 面ABCD；2017（2021全国全国模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，PAPD，23ABC，1ABBCPAPD，CACD，PCAD，）证明：平面PAC 平面PCD；18（2021全国全国模拟预测）如图，在三棱锥ABDC中，BC

20、D为正三角形，ABAD，O，E 分别为 BD，BC 的中点，且2 2ABADAE.证明：AOBC；1（2022全国高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的21中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD2（2021西藏拉萨那曲高级中学高三期中（理）在如图所示的正方体1111-ABCD ABC D中，E、F 分别是1A D、BD上的点，且112DEDFEAFB，则下列说法错误的是（）A1EFACBEF 平面11ADD AC1EFCDDEF平面11A BC3（2021上海浦东新一模）已知直线a在平面上，则“直线l a”是“直线l

21、”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件4（2021北京北大附中高三阶段练习）有下列四个命题：1p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；2p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；3p：若直线l 平面，直线m 平面，则ml；4p：若直线l 平面，直线/m平面，则/m l其中为真命题的是（）A1pB1p，3pC3p，4pD2p，4p5（2021全国高三阶段练习（理）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，90BAD，2ADBC，PA 底面ABCD，M为PA的中点，则直线PC与平面MBD的位置关系是（）22A直线PC在平面MBD内B直线PC与

22、平面MBD平行C直线PC与平面MBD相交，但不垂直D直线PC与平面MBD垂直6（2021山东潍坊高三阶段练习）（多选）已知直线m，n，平面，且m，n，则下列说法正确的是（）A若mn，则B若，则mC若m，则D若mn，则7（2021广东高三阶段练习）（多选）设是给定的平面，A、B是不在内的任意两点，则（）A在内存在直线与直线AB平行B在内存在直线与直线AB相交C在内存在直线与直线AB垂直D存在过直线AB的平面与垂直8（2021广东化州高三阶段练习）（多选）如图 1，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADCD，22ADBCCD，E 为 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折起，使二面角 A-BE-C

23、是直二面角，并连接 AC，AD 得到四棱锥 A-BCDE，如图2.M，N 分别是图 2 中 BC，AD 的中点则下列四个结论中正确的是（）AAE平面 BCDEBMN平面 ABECMNDEDABMN9（2021河北深州长江中学高三期中）（多选）如图，已知正方体1111ABCDABC D，则四个推断正确的是（）23A111ACADB11ACBDC平面11/AC B平面1ACDD平面11AC B 平面11BB D D10（2021四川成都七中一模）已知三棱柱111ABCABC中，M N分别是1CC与1A B的中点，1ABA为等边三角形，111,2.CACA AAAMBC（1）求证：MN平面ABC；（

24、2）求证：BC 平面11ABB A11（2021福建永安市第三中学高中校高三期中）如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，E为1DD中点（1）求证：1BD平面ACE；（2）求证：AC 平面11BDB D2412（2021河北武强中学高三阶段练习）如图所示四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，/BC AD，2PAABBC，4AD，E为PD的中点，F为PC中点（1）求证：CD 平面PAC；（2）求证：/BF平面ACE；13（2022全国高三专题练习）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上不同于 A，B 的一点，点 V 是圆 O 所

25、在平面外一点.（1）若点 E 是 AC 的中点，求证：/OE平面VBC；（2）若VAVBVC，求证：VO 平面ABC.14（2021全国高三专题练习）如图，在四棱台1111ABCDA BC D中，底面ABCD是平行四边形，1DD 平面ABCD，2ABAD，112ADAB，45BAD.（1）证明：1BDAA；（2）证明：1/AA平面1BC D.2515（2021黑龙江模拟预测（文）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形，120ABC，AB=1，BC=PA=4，M、N 分别是 BC、PC 的中点，,PDDC PMMD.（1）证明：MN/平面 PAB;（2）证明：AB 平面 PDM;（3）求

26、四棱锥 P-ABCD 的体积.16（2021 福建省龙岩第一中学）如图，三棱柱ABCDEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，面BEFC 面ADEB，4AB，60DEB，G是DE的中点.（1）求证：/CE平面AGF；（2）求证：BG 平面BEFC；考点考点 23空间几何中的平行与垂直空间几何中的平行与垂直一直线与平面平行的判定定理和性质定理一直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l26性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线

27、面平行线线平行”)l，l，b，lb二平面与平面平行的判定定理和性质定理二平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面aa五五线线平行线线平行9.相似比（常用三角形的中位线）10.构造平行四边形（证明一组对边平行且相等）11.平行的传递性12.线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行13.线面平行的性质14.面面平行的性质15

28、.平面向量16.空间向量六六线面平行线面平行证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行五五直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言27判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行abab六六平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语

29、言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直ll性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lalal七证明线线垂直的思路证明线线垂直的思路平行四边形：正方形、菱形、矩形图形三角形：等腰（等边）三角形-取中点正余弦定理边关系或边长勾股逆定理线面垂直的定义面面垂直的性质1.直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3.注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交4.注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”考点一

30、考点一 线面平行线面平行28【例【例 1-1】（2021山东高三阶段练习）如图，四边形ABCD为梯形，ADBC，22ADBC，点M在边PC上，且2PMMC，证明：PA平面BDM；【答案】证明见解析；【解析】连接AC交BD于N，再连接MN,由BNCDNA知12BCCNADNA，又12PMMC，所以ANPMNCMC，所以/,APMN又PA平面BDM，MN 平面BDM,所以/PA平面BDM.【例 1-2】（2021河南模拟预测（理）如图所示的四棱锥PABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，/AD BC，且224ADABBC，PO是PAD的中线，点E是棱PD的中点，证明：/CE平面PAB【答案】证明见解

31、析；【解析】证明：连接OC、OE，因为O、E分别是棱AD、PD的中点，所以/OE PA，OE 平面PAB，PA平面PAB，所以，/OE平面PAB又/AD BC，且224ADABBC，所以/AO BC，且AOBC，所以四边形ABCO是平行四边形，所以/CO AB，CO 平面PAB，AB平面PAB，则/CO平面PAB又COOEO，所以平面/OCE平面PAB又CE 平面OCE所以/CE平面PAB【变式训练】【变式训练】1（2021云南红河模拟预测（理）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（）A

32、B29CD【答案】D【解析】A 选项中ABNQ，所以直线 AB 与平面 MNQ 平行，AB 平面 MNQ，NQ 平面 MNQ，所以选项 A 正确；BC 选项中ABMQ，所以直线 AB 与平面 MNQ 平行，AB 平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以选项 BC 正确；D 选项中 AB 与平面 MNQ 中的任意一条直线都不平行，所以真线 AB 与平面 MNQ 不平行，所以选项 D 错误.故选：D2（2021江西高三阶段练习）如图，在圆柱1OO中，AC，11AC分别为圆 O，圆1O的直径，1AA，1BB，1CC为圆柱的母线，证明：1/AB平面11O BC；【答案】证明见解析【解析】证明：连接1BC交

33、1BC于点D，连接1O D，由题意得四边形11BCC B为平行四边形，所以D为1BC的中点.又1O为11AC的中点，所以11O DA B.因为1O D 平面11O BC，1A B 平面11O BC，所以1A B平面11O BC.3（2021江苏高三期中）如图，在正三棱柱111ABCABC中，1=3AA，AB=2，D，E 分别是 AC，1BB的中点，证明：BD/平面1ACE；30【答案】具体见解析；【解析】连接1AC交1AC于F，则F为1AC的中点，连接,DF EF，而D为AC的中点，所以111/,2DFCC DFCC，又因为E为1BB的中点，所以111/,2BECC BECC，所以/,DFBE

34、 DFBE，则四边形DBEF是平行四边形，所以/BDEF，而BD 平面1ACE，EF 平面1ACE，于是/BD平面1ACE.4（2022全国高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，AB CD，且2CD，1AB，2 2BC，1PA，N为PD的中点，）求证：AN平面PBC；【答案】证明见解析；【解析】取CD中点E，连接NE、AE，ABCD，2CD，1AB，2 2BC，1PA，ABBC，N为PD的中点，四边形ABCE是矩形，NEPC，AEBC，由NE 平面 ANE，NE 平面 PBC，PC平面 PBC 知 NE平面 PBC，由AE 平面 ANE，AE 平面 PBC，BC平面 PBC 知 AE平面

35、PBC，又NEAEE，平面ANE平面PBC，AN 平面ANE，AN平面PBC5（2021广东模拟预测）如图，直三棱柱111ABCABC中，,2ACBC ACBC，点,D E分别边1,AA BC的中点，求证：DE 平面11A B C；31【答案】证明见解析；【解析】取1BC的中点为F，连接1,EF AF，则 EF1BB1AA，且1112EFAAAD，四边形1A DEF是平行四边形，DE1A F，DE 平面111,ABC AF 平面11,A BCDE平面11A B C.6（2021辽宁大连高三学业考试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，2PAAC，E、F分别为PD、BC的中

36、点，证明：/EF平面PAB.【答案】证明见解析.【解析】取PA的中点G，连接GE、GB，因为E为PD的中点，所以/GE AD且12GEAD，又因为F为BC的中点，四边形ABCD为菱形，所以/BF AD且12BFAD.所以/BF GE且BFGE.故四边形BFEG为平行四边形，所以/BG EF.因为BG 平面PAB，EF 平面PAB，所以/EF平面PAB.32考点二考点二 面面平行面面平行【例【例 2】（2021河南温县第一高级中学）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为等腰梯形，/AB CD，CH为等腰梯形的高，33ABCD，AE平面CHE，AEHE，13EFEA.（1）证明：平面/BCE平

37、面HDF；（2）求将AHF以AH为旋转轴旋转一周得到的几何体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）827.【解析】（1）连接AC，交HD于点M，连接MF.因为/AB CD，所以:2:1AM MCAH CD.又13EFEA，所以:2:1FA EF，所以:2:1AMMCAF EF，所以MFCE.又MF 平面HDF，CE 平面HDF，所以/CE平面HDF.又因为:2:1AH HB，所以HFBE.又HF 平面HDF，BE 平面HDF，所以/BE平面HDF.又CEBEE，MFHFF，所以平面/BCE平面HDF.（2）因为AE平面CHE，EH 平面CHE，所以AEEH.取AH的中点O，连接EO，因为AE

38、EH，所以AEH是等腰直角三角形，所以EOAH，且1EO，所以F到AH的距离为23.将AHF以AH为旋转轴旋转一周得到的几何体为两个同底的圆锥，圆锥的底面圆半径就是F到AH的距离，即23，所以该几何体的体积为212823327.33【变式训练】【变式训练】1（2021黑龙江哈尔滨三中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，DC/AB，ABBC，12DCCBAB，E，Q分别为AB，AP的中点，求证：平面/QED平面PBC；【答案】证明见解析【解析】因为E，Q分别为AB，AP的中点，所以/EQPB，又EQ 平面PBC，PB 平面PBC，所以/EQ平面PBC；因为DC/EB且DC=EB

39、，所以四边形EBCD为平行四边形，即有/DEBC，又DE 平面PBC，BC 平面PBC，所以/DE平面PBC，由及DEEQE，,DE EQ 平面QED，所以平面/QED平面PBC2（2021陕西西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点 P 是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，Q 分别PA，PB，PC的中点，平面PBC平面APDl（1）证明平面/MNQ平面ABCD；（2）求证：/l BC【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：因为 M，N，Q 分别PA，PB，PC的中点，所以/,/MNAB NQBC，又,MN NQ 平面 ABCD,AB BC 平面 ABCD,所以/MN

40、平面 ABCD,/NQ平面 ABCD,因为MNNQN，,MN NQ 平面 MNQ,所以平面/MNQ平面ABCD，34（2）证明：因为/BCAD，AD平面PAD，BC 平面PAD，所以/BC平面PAD，又平面PAD平面PBCl，BC 平面PBC，所以/BCl.3（2021青海海南藏族）如图，四边形ABCD是矩形，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD（1）证明：平面/AED平面BCF（2）若平面ABE与平面CDE的交线为l，求证：/ABl【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：因为ED 平面ABCD，FB 平面ABCD，所以BFDE，又因为DE 平面ADE，BF 平面ADE，

41、所以BF平面ADE，在矩形ABCD中，BCAD，AD平面ADE，BC 平面ADE，所以BC 平面ADE，又BCBFB，所以平面AED 平面BCF；（2）证明：/ABCDABCDECDCDE平面平面，AB 平面CDE，又/ABCDEABABEABECDEl平面平面平面平面，ABl.考点三考点三 线面垂直线面垂直【例【例 3】（2022全国高三专题练习）如图所示，在三棱锥ABCD中，ADBC，2ADBD，4 2BC，2 6AC，45DBC，求证：AD 平面BCD；35【答案】证明见解析；【解析】2BD，4 2BC，45DBC，在BCD中，由余弦定理得22222cos45432224 2202CDB

42、DBCBDBC ，2 5CD，又2AD，2 6AC，222ADCDAC，即ADCD，又ADBC，CDBCC，AD 平面BCD；【变式训练】【变式训练】1（2021江苏高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC，PAB为正三角形，PD 10，E为AB的中点，M为线段PD（不含端点）上的一个动点，证明：PE 平面ABCD；【答案】证明见解析；【解析】证明：连接DE，PE，PAB是边长为2的正三角形，且E是AB中点，PEAB，又3PE，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC，120BAD，在ADE中，由余弦定理：22222cos120214cos12=207

43、AEADAEADED，又10PD，222PDPEDE，即PEDE，又PEAB，DEABE，DE,AB面ABCD，PE面ABCD2（2021全国全国模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，2AB，1PDDCCB，90DCBCBAPDC ，平面PBC 平面PDC，）求证：PD 平面 ABCD；36【答案】证明见解析【解析】取 PC 的中点 M，连接 DM，因为PDDC，所以DMPC，由平面PBC 平面PDC，平面PBC平面PDCPC，所以DM 平面PBC，又由BC 平面PBC，所以DMBC，又因为DCBC，DCDMD，所以BC 平面PDC，因为PD 平面PDC，所以BCPD.又DCPD，BCDCC，

44、所以PD 平面 ABCD.3（2021全国全国模拟预测）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，ABDC，ABAD，224CDABAD，四边形11ADD A为菱形，1A在平面 ABCD 内的射影 O 恰好为 AD 的中点，M 为 AB 的中点，求证：BC 平面1AOM；【答案】证明见解析【解析】因为 O 为1A在平面 ABCD 内的射影，所以1AO 平面 ABCD，因为BC 平面 ABCD，所以1AOBC.如图，连接 BD，在RtABD中，222 2BDABAD.设 CD 的中点为 P，连接 BP，因为/ABDC，ABAD，224CDABAD，所以BPCD，且2BPPC，则2 2BC.因为

45、22216BDBCCD，所以BCBD，易知/OMBD，所以BCOM.因为1AO 平面1AOM，OM 平面1AOM，1AOOMO，所以BC 平面1AOM.考点四考点四 面面垂直面面垂直【例【例 4】（2021山东省实验中学高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，,1,2PACD PAPD，E 为 PD 上一点，且 PE=2ED，求证：平面PAC 平面 ABCD；37【答案】证明见解析.【解析】证明：在APD中，1APAD，2PD，所以222PDPAAD，所以PAAD，又PACD，CDADD，CD，AD面ABCD，PA 面ABCD，PA面PAC，面PAC

46、面ABCD；【变式训练】【变式训练】1（2021江西）如图，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PAAB，E 为 PC 的中点，证明：平面ADE 平面 PBC；【答案】证明见解析【解析】证明：取 PB 的中点 F，连接 EF，AF，则/EF BC，又/AD BC，所以/EF AD，所以 A，D，E，F 四点共面.因为PA 平面 ABCD，PA平面 PAB，所以平面PAB 平面 ABCD，又平面PAB平面ABCDAB，DAAB，DA平面 ABCD，所以DA平面 PAB，又PB 平面 PAB，所以PBDA.因为PAAB，F 为 PB 的中点，所以PBAF.因为A

47、FDAA，,DA AF 平面 ADE，所以PB 平面 ADE.因为PB 平面 PBC，所以平面DE 平面 PBC.2（2021全国模拟预测）如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD 平面ABCD，4PD，点E为PD的中点，四棱锥QABCD是高为4的正四棱锥求证：平面EAC 平面QBC；38【答案】证明见解析；【解析】证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD连接OQ，因为四棱锥QABCD是正四棱锥，所以OQ 平面ABCD，AC 平面ABCD，则OQAC，因为OQBDO，所以AC 平面QBD因为BQ 平面QBD，所以ACBQ延长QO与PB

48、交于点F，PD 平面ABCD，则/PD QO，O为BD的中点，则F为PB的中点，则122OFPD，又4OQ，2 2OB，所以6QF，2222222 212BFOFOB，2222242 224QBOQOB，所以222BFQBQF，所以QBBF连接OE，因为点E为PD的中点，点O为BD的中点，所以/OE BF，所以QBOE，因为OEACO，所以QB 平面EAC因为QB 平面QBC，所以平面EAC 平面QBC3（2021全国全国模拟预测）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，ABC是正三角形，1ADCD，3AB，求证：平面PAC 平面 PBD；【答案】证明见解析；39【解析】在四棱

49、锥 P-ABCD 中，因为PA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，则PABD因ABC是正三角形，即BABC，又ADCD，则 BD 为 AC 的垂直平分线，因此，BDAC，而,PA AC 平面 PAC，且PAACA，于是得BD 平面 PAC，又BD 平面 PBD，所以平面PAC 平面 PBD.考点五考点五 线线垂直线线垂直【例【例 5】（2021内蒙古赤峰第四中学）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，122PAABCD，10BC，证明：BDPC【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接 AC，与 BD 相交于点 E，因为底面ABCD是等腰梯形，所以 ABC

50、D，10BCAD，故180ADCBAD，又因为ABCBAD，所以180ADCABC，因为122PAABCD，所以4CD，在ACD 中，由余弦定理得：2222cos10168 10cos268 10cosACADDCAD DCADCADCADC，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos4104 10cos144 10cosACABBCAB BCABCABCABC，其中coscosABCADC=-，故268 10 cos144 10 cos144 10 cosADCABCADC，解得：10cos10ADC，所以218AC，3 2AC，由 ABCD，且12ABCD，所以12AEBECEED，故12