四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 4页四川省绵阳市四川省绵阳市 2021-20222021-2022 学年高三上学期第二次诊断性考试学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题理科数学试题一、单选题一、单选题1设集合(,)|Ax yyx,2(,)|Bx yyx，则集合AB的元素个数为（）A0B1C2D32二项式52xx的展开式中，3x的系数为（）A10B15C10D153如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续 9 个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（）A甲家庭用电量的中位数为 33B乙家庭用电量的极差为 46C甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平

2、均值4已知角的终边过点(1,3)A，则cos6（）A12B0C12D325已知双曲线2222:1xyEab（0a，0b）的焦距为 4，两条渐近线互相垂直，则E的方程为（）A221xyB22122xyC22144xyD22188xy6已知平面向量a，b不共线，46ABab，3BCab ，3CDab，则（）AA，B，D三点共线BA，B，C三点共线CB，C，D三点共线DA，C，D三点共线7函数()f x是定义域为R的偶函数，当 1,0 x 时，1()e1exf xa，若(1)1f，则(0)f（）试卷第 2页，共 4页AeBeC1eD1e8已知直线10 xy 与圆22:21Cxym相交于A，B两点，若

3、2 3AB，则m（）A5B5C3D49第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市 100 人进行调查统计，得到如下22列联表：关注冰雪运动不关注冰雪运动合计男451055女252045合计7030100下列说法正确的是（）参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 附表：20P Kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.828A有 99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B有 99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提

4、下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”10已知,m n为整数，且,1,5m n，设平面向量(,)am n与(2,1)b的夹角为，则,2的概率为（）A932B964C425D62511已知函数2()lnf xxa xx，若不等式()0f x 有且仅有 2 个整数解，则试卷第 3页，共 4页实数a的取值范围是（）Aln 2ln 3,66Bln 2ln 3,66Cln 2,6Dln 2ln 3,3312已知1F，2F分别为椭圆2222:10 xyEabab的左，右焦点，E上存在两点 A，B使得梯形12AFF B的高为2c（其中c为半

5、焦距），且123AFBF，则E的离心率为（）A63B32C12D22二、填空题二、填空题13设 i 是虚数单位，若复数z满足i6izz，则复数z的虚部为_14现从 4 名男志愿者和 3 名女志愿者中，选派 2 人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有_种.(用数字作答)15已知,A B为抛物线2:4C xy上的两点，2()1,M，若AMMB，则直线AB的方程为_.16 已知函数 sin3 cosf xxx，下列关于函数()f x的说法正确的序号有_.函数()f x在73,62上单调递增；2是函数()f x的周期；函数()f x的值域为 2,1；函数

6、()f x在 2,2 内有 4 个零点.三、解答题三、解答题17已知数列 na为公差大于 0 的等差数列，2315aa，且1a，4a，25a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设11nnnbaa，数列 nb的前n项和为nS，若2041mS，求m的值18某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁 4 种不同的配置型号.该商场对近期售出的 100 部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:配置甲乙丙丁频数25401520(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润 600 元、400 元、500 元、试卷第 4页，共 4页450 元，根据以上 100 名消费者的购机情况，

7、求该商场销售一部该款手机的平均利润；(2)该商场某天共销售了 4 部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为X，将样本频率视为概率，求X的概率分布列及期望.19在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，其中3b，且(sin)cossincosaCBBC.(1)求角B的大小；(2)求ABC周长的取值范围.20已知函数2()(2)exf xxaxx.(1)当12a 时，求函数()f x的极值；(2)若曲线()f x在2,1上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a的取值范围.21已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点为F，点 A，B分别为右顶点和

8、上顶点，点O为坐标原点，11eOFOAFA，OAB的面积为2，其中e为E的离心率(1)求椭圆E的方程；(2)过点O异于坐标轴的直线与E交于M，N两点，射线AM，AN分别与圆22:4C xy交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为1k，2k，问12kk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2sin2cos,1 cos2sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是cos13(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若点A的坐标为2,0，直线l与曲线C交于P，Q两点，求11APAQ的

9、值23已知函数 21f xxxmm(1)当2m 时，求函数 fx的定义域；(2)设函数 fx的定义域为M，当12m 时，1,2mM，求实数m的取值范围答案第 1页，共 17页参考答案：参考答案：1C【解析】【分析】集合为点集，交集的元素个数等与函数yx与2yx=图象交点个数，作图可解.【详解】如图，函数yx与2yx=图象有两个交点，故集合AB有两个元素.故选：C2A【解析】【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令523r求出r，再代入计算可得；【详解】解：二项式52xx展开式的通项为55 215522rrrrrrrTC xC xx，令523r，解得1r，所以113325210TC xx，故3x

10、的系数为10；故选：A3C【解析】【分析】答案第 2页，共 17页根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.【详解】对于 A，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为 32，A 不正确；对于 B，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差 56-11=45，B 不正确；对于 C，甲家庭用电量的平均数11223242532333741 5027799x，乙家庭用电量的平均数21123343839404251 5633499x，甲家庭用电量的方差2222211277277277277(12)(23)(24)(25)99999s 2222227727727727727781936(32)(33)(37)(41)(50

11、)99999729，乙家庭用电量的方差2222221334334334334(11)(23)(34)(38)99999s 22222334334334334334119628(39)(40)(42)(51)(56)99999729，显然81936119628729729，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C 正确；对于 D，由 C 选项的计算知27733499，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，D 不正确.故选：C4B【解析】【分析】根据三角函数定义求出 sin和 cos，利用余弦的和角公式即可求cos6.【详解】由题可知31sin,cos22，313113coscoss

12、in06222222.故选：B.5B【解析】【分析】答案第 3页，共 17页根据题意，得到 ab，再根据2c，由222abc即可求出答案【详解】双曲线2222:1xyEab的渐近线方程为byxa 由两条渐近线互相垂直，则221bbbaaa ，所以ab又双曲线E的焦距为 4，则22224242aba，解得2a 所以双曲线E的方程为：22122xy故选：B6D【解析】【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a，b不共线，46ABab，3BCab ，3CDab，对于 A，3(3)6BDBCCDababb ，与AB 不共线，A 不正确；对于 B，因46

13、ABab，3BCab ，则AB 与BC 不共线，B 不正确；对于 C，因3BCab ，3CDab，则BC 与CD 不共线，C 不正确；对于 D，46(3)393ACABBCabababCD ，即/ACCD，又线段AC与CD有公共点C，则A，C，D三点共线，D 正确.故选：D7C【解析】【分析】根据函数是偶函数知 f(1)f(1)1，由此求出 a 的的值即可计算.【详解】由题可知 f(1)f(1)1，则11e11ea，得 a1，答案第 4页，共 17页 1e1exfx ，f(0)1e.故选：C.8B【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距、半径和弦长的关系列方程可求出m的值【详解】圆

14、22:21Cxym的圆心(2,1)C，半径为m（0m），则圆心(2,1)C到直线10 xy 的距离为222 1 1211d，因为2 3AB，所以22223m，解得5m，故选：B9A【解析】【分析】根据给定数据及参考公式计算2K的观测值，再与临界值表比对判断作答.【详解】依题意，2K的观测值为22100(45 2025 10)8.1296.63570 30 55 45K，所以有 99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，A 正确，B 不正确；而犯错误的概率不超过 1%，不能确定犯错误的概率不超过 0.1%的情况，C，D 不正确.故选：A10D【解析】【分析】依题意可得1cos0，再根据向量

15、夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；答案第 5页，共 17页【详解】解：因为平面向量(,)am n与(2,1)b的夹角为，且,2，所以1cos0，即222105mnmn，所以22520mnmn，因为,m n为整数，且,1,5m n，(,)am n，所以a共有5 525 种可能，又因为20mn，51n,，所以1m 或2，当1m 时，由22520mnmn，即25520nn，所以2n 或3或4或5，满足题意；当2m 时，由22520mnmn，即220540nn，所以4n或5，满足题意；故1,2a r或1,3或1,4或1,5或2,4或2,5共6种情况

16、符合题意，所以,2的概率为625；故选：D11A【解析】【分析】转化()0f x 有且仅有 2 个整数解为2lnxa xx有两个整数解，画出2()ln,()g xx h xa xx两个函数的图像，数形结合列出不等关系控制即得解【详解】由题意，()0f x 有且仅有 2 个整数解即2ln0 xa xx有两个整数解，即2lnxa xx有两个整数解令2()ln,()g xx h xa xx（1）当0a 时，ln0 x 即1x，有无数个整数解，不成立；（2）当0a 时，如图所示，2lnxa xx有无数个整数解，不成立；答案第 6页，共 17页（3）当0a 时，要保证()()g xh x有两个整数解如图

17、所示，(3)(3)(4)(4)ghgh即ln3(93)ln4(164)aa，解得ln2ln366a故选：A12D【解析】【分析】根据123AFBF，可得12AFBF，则12,AF BF为梯形12AFF B的两条底边，作21F PAF垂足为P，则22PFc，从而可求得1245AFF再结合123AFBF 建立 a,b,c 的关系即可得出答案.答案第 7页，共 17页【详解】解：因为123AFBF，所以12AFBF，则12,AF BF为梯形12AFF B的两条底边，作21F PAF于点P，则21F PAF，因为梯形12AFF B的高为2c，所以22PFc，在12Rt FPF中，122F Fc，则21

18、12222PFFFPFcPF，即1245PFF，设1AFx，则22AFax，在12AF F中由余弦定理，得22AF221122AFFF112cos45AF F F，即222(2)42 2axxccx，解得2122bAFxac，同理2222bBFxac，又123AFBF，所以22322acac，即22 2ac，所以22cea.故选：D.13-3【解析】答案第 8页，共 17页【分析】根据给定等式结合复数的除法运算直接计算作答.【详解】因i6izz，则(1 i)6iz，于是得6i6i(1 i)66i3 3i1 i(1 i)(1 i)2z ，所以复数z的虚部为-3.故答案为：-31436【解析】【分

19、析】依题意分两种情况讨论，选一名男志愿者与一名女志愿者，选两名男志愿者，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况讨论，选一名男志愿者与一名女志愿者，则有1124 3 224C C A 种选派方法；选两名男志愿者，则有224212C A 种选派方法；综上可得一共有24 1236种选派方法；故答案为：3615230 xy【解析】【分析】由于AMMB 可得M为中点，则121224xxyy，根据点差法即可求得直线AB的斜率，从而得方程【详解】设1122,A x yB xy又1,2M，因为AMMB，所以121224xxyy，又2211224,4xy xy，则22121

20、244xxyy，得121212442yyxxxx 答案第 9页，共 17页则直线AB的斜率为12k ，故直线AB的方程为1212yx，化简为230 xy联立24230 xyxy，可得2260 xx280，直线与抛物线有两个交点，成立故答案为：230 xy16【解析】【分析】化简解析式，求出3x范围，根据正弦函数的单调性即可判断；根据奇偶性举特例验证 f(x2)与 f(x)关系即可；分类讨论求出 f(x)解析式，研究在 x0 时的周期性，再求出值域即可；根据值域和单调性讨论即可.【详解】函数 sin3 cosf xxx，定义域为 R，sin3 cossin3 cosfxxxxxfx，fx为偶函数

21、.当73,62x时，cos0 x，sin3cos2sin3fxxxx，311326x，此时正弦函数为增函数，故正确；sin3cos0333f，033ff，而523333fff，2不是函数 fx的周期，故错误；当022xk，或32222kk，kZ 时，coscosxx，此时 sin3cos2sin3f xxxx，答案第 10页，共 17页当32222xkk，kZ 时，coscosxx，此时 sin3cos2sin3fxxxx，故0 x时，2是函数的一个周期，故考虑0,2x时，函数的值域，当02，x时，2sin3fxx，,33 6x ，此时 fx单调递增，3,1;f x 当3,22x时，2sin3

22、f xx，53,362x，此时 fx单调递减，2,1f x ；当322x，时，2sin3fxx，75,363x，此时 2,3f x，综上可知，2,1f x ，故正确；由知，02，x时，002ff，且函数单调递增，故存在一个零点，当726x，时，7026ff，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当0,2x时，函数有 2 个零点，函数为偶函数，函数 fx在2,2内有 4 个零点.故正确；故答案为：.17(1)21nan(2)20m【解析】【分析】设数列 na的公差为d，0d，根据2315aa，且1a，4a，25a成等比数列求出1,a d，从而可求出数列 na的通项公式；（2）求出数列

23、 nb的通项公式，再利用裂项相消法可求出数列 nb的前n项和为nS，从而可得出答案.(1)答案第 11页，共 17页解：设数列 na的公差为d，0d，因为1a，4a，25a成等比数列，2315aa，所以241252315aa aaa，即211111324215ada adadad，解得112ad或?（舍去），所以21nan；(2)解：11111121 212 2121nnnbaannnn，所以1 1111111112 1335212122121nSnnnnn，又2041mS，即202141mm，所以20m.18(1)475(2)分布列见解析，1EX【解析】【分析】（1）根据给定频数表直接计算平

24、均数作答.（2）由题意，X服从二项分布，即1(4,)4XB，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解(1)依题意，25 60040 400 15 50020 450475100 x，所以该商场销售一部手机的平均利润为 475 元.(2)该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为2511004，由题意，甲配置型号手机售出的数量为X服从二项分布，即1(4,)4XB，则X所有可能取值为0,1,2,3,4，答案第 12页，共 17页4413()()()(0,1,2,3,4)44kkkP XkCk，故X的分布列为：X01234()P Xk812562764271283641256由二项分布的期望

25、公式：1414EXnp.19(1)3(2)2 3,3 3【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cossinaBA，再由正弦定理得到1sincosbBB，即可得到tan B，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到03ac，再根据222233acacacac求出ac的取值范围，即可得解；(1)解：因为sincossincosaCBBC，即cossincossincosaBCBBC，所以cossincossincossinaBCBBCCB，即cossinaBA，所以1sincosaAB，又sinsinabAB，3b，所以1sincosbBB，所以sintan3cosBBbB，

26、因为0,B，所以3B；(2)解：因为3B、3b，由余弦定理2222cosbacacB，即223acac，即2232acacac当且仅当3ac时取等号，所以03ac，所以222233acacacac，所以2312ac，所以32 3ac，所以2 33 3ABCC，即三角形的周长的取值范围为2 3,3 3答案第 13页，共 17页20(1)fx在1x 处取极小值且极小值为 11e2f.(2)213e124a【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极值.（1）曲线()f x在2,1上任意一点处切线的倾斜角均为钝角即为(1)e210 xxax 对任意的2,1x 恒成立，参变分离后可求

27、参数的取值范围.(1)当12a 时，21()(2)e2xf xxxx，故()(1)e11e1xxfxxxx，当1x 时，()0fx；1x 时，()0fx，故 fx在1x 处取极小值且极小值为 11e2f.(2)()(1)e21xfxxax，因为曲线()f x在2,1上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，故()0fx对任意的2,1x 恒成立，即(1)e210 xxax 对任意的2,1x 恒成立.当0 x 时，0(0 1)e20 120a ，此时aR，当01x时，即(1)e12xxax对任意01x恒成立，设(1)e1xxg xx，则 22222213e11 e124e(1)e10 xxxxxxxxxg

28、xxxx，故 g x在()0,1上为增函数，故 11g xg，故21a 即12a .答案第 14页，共 17页当20 x 时，即(1)e12xxax对任意21x 恒成立，同理有 g x在2,0上为增函数，故 23e122g xg，故23e122a即23e14a，综上，有213e124a.【点睛】思路点睛：含参数的不等式的恒成立问题，可以通过对原函数的分类讨论求出参数的取值范围，也可以通过参变分离后结合导数求出新函数的值域或范围，从而得到参数的取值范围.21(1)22142xy(2)12kk为定值23【解析】【分析】（1）根据11eOFOAFA，OAB的面积为2，求得,a b，即可得出答案；（2

29、）设点001122(,),(,),(,)M xyP x yQ xy，则点00(,)Nxy，根据,M N在椭圆E上，可得12AMANkk，设直线AM的方程为2xmy，则直线AN的方程为22xym，分别联立222,1,42xmyxy，222,4,xmyxy求得,M P Q三点的坐标，从而可得出结论.(1)解：因为11eOFOAFA，所以11ecaac，又22212,2OABcSabeabca，联立可得2,2ab，所以椭圆E的方程为22142xy；(2)解：设点001122(,),(,),(,)M xyP x yQ xy，则点00(,)Nxy，由题意得(2,0)A，因为,M N在椭圆E上，答案第 1

30、5页，共 17页所以2200142xy，则220042xy，所以220000220000122422yyyyxxxy，即12AMANkk，设直线AM的方程为2xmy，则直线AN的方程为22xym，联立222,1,42xmyxy消x得22(2)40mymy，由,A M在椭圆E上，所以0242mym，所以20024222mxmym，所以012022ymkxm，联立222,4,xmyxy消x得22(1)40mymy，由点,A P在圆C上，所以1241mym，所以21122221mxmym，同理：22222828,44mmyxmm，所以22124221(36)342yymmmkxxmm，所以21222

31、22233kmmkmm，即12kk为定值23.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.22(1)曲线C的普通方程为22215xy；直线l的直角坐标方程为320 xy(2)174【解析】【分析】答案第 16页，共 17页（1）直接消去参数，可得到曲线C的普通方程，先cos13化简，然后利用极坐标与直角坐标的关系可得到直线l的直角坐标方程；（2）由（1）可得直线l的倾斜角，设出直线l的参数方程，代入到曲线 C 的直角坐标方程，可得关于 t 的一元二次方程，设点 A，B 对应的参数分别为12,t t，

32、根据韦达定理，可得121 2,tt t t表达式，结合 t 的几何意义，即可得答案.(1)由2sin2cos1 cos2sinxy 可得?sin?cos?cos?sin?将上式分别平方，然后相加可得22215xy由cos13可得coscossinsin133即13cossin122，则320 xy(2)由（1）可知直线l的斜率为33，则其倾斜角为6，且点2,0A在直线l上，所以直线l的参数方程为：2cos6sin6xtyt，即32212xtyt（t为参数）将直线l的参数方程代入曲线 C 的普通方程，整理得240tt 设点 A，B 对应的参数分别为12,t t，则121 21,4ttt t 则2

33、121 212121212121241111ttt tttttAPAQttt tt tt t1 16174423(1)(,15,)；(2)1124m.【解析】【分析】(1)将2m 代入，列出不等式，再解含绝对值符号的不等式作答.答案第 17页，共 17页(2)利用给定条件去掉绝对值符号，转化成恒成立的不等式，分离参数构造函数推理作答.(1)当2m 时，2122fxxx，依题意，21220 xx，当2x时，不等式化为：1 2220 xx，解得1x，则有2x，当122x 时，不等式化为：1 2220 xx，解得1x ，则有21x ；当12x 时，不等式化为：21220 xx，解得5x，则有5x，综上得：1x 或5x，所以函数 fx的定义域为(,15,).(2)因当12m 时，1,2mM，则对1,2xm ，210 xxmm成立，此时，210 x ，0 xm，则2101 20 xxmmxxmm 231mx，于是得1,2xm ，231mx 成立，而函数31yx 在1,2m上单调递减，当12x 时，min12y，从而得122m ，解得14m ，又12m ，则1124m，所以实数m的取值范围是1124m.