黑龙江省哈工大附中2021-2022学年高二上学期期末考试文科数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，总 9页哈工大附中哈工大附中 2 2021021-2022-2022 上学期期末（文科数学）试卷上学期期末（文科数学）试卷时间：120 分钟分值：150 分一、单选题单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合?=?膠?1，?=?膠 1?，则?=()A.?膠?1B.?膠?1C.?膠 1?1D.?膠1?2.已知?=1+3?，则?=（）A.1B.1C.13?D.1+3?3.正方体的表面积为 96，则正方体外接球的表面积为（）A.48B.48?C.64?D.3?4.已知向量a=(1,1,?)，?=(1,0,1

2、)，?=(0,1)，且向量a?与?互相垂直，则?的值是()A.1B.C.3D.45.已知?，?为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若?，?，?，则?B.若?，?，?，则?C.若?=l，?，?，则?D.若?，?=?，?，?，则?6.过点?1,1 且垂直于?膠?+1=0 的直线方程为（）A.?+?+1=0B.?3=0C.?+?1=0D.?+3=07.过点?5,1 的直线?与圆?+3+?5=4 相切，则直线?的方程为（）A.?=1 或 4?+3?+3=0B.?=1 或 4?3?+17=0C.?=5 或 4?+3?+3=0D.?=5 或 4?3?+17=08.在?中，?

3、=?，?=?=，?为?所在平面上任意一点，则?(?+?)的最小值为()试卷第 2页，总 9页A.1B.1C.1D.二、多选题二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。错选不给分，漏选得 2 分。）9.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，则（）A.两人都中靶的概率为 0.7B.恰好有一人中靶的概率为 0.18C.两人都脱靶的概率为 0.14D.恰好有一人脱靶的概率为 0.610.已知函数?的导函数?的图像如图所示，则下列结论正确的是()A.当?=3 时，函数?取得极大值B.函数?在区间 1,1 上是单调递减的C.当?=1 时，函数

4、?取得极小值D.函数?在区间 5,6 上是单调递增的11.关于?，?的方程?+?4?=1（其中?4）表示的曲线可能是()A.圆心为坐标原点的圆B.焦点在?轴上的双曲线C.焦点在?轴上的双曲线D.长轴长为 6的椭圆12.函数?=?3 3a?+a?，下列对函数?的性质描述正确的是()A.函数?的图象关于点 0,对称B.若?0，则函数 f x 有极值点C.若?0，函数?在区间 ,a上单调递减D.若函数?有且只有 3 个零点，则 a 的取值范围是 1,+三、填空题三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13.有一组数据：?，1，3，4，其平均数是，则其方差是_.试卷第 3页，总

5、 9页14.双曲线?=1?0 的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为_.15.已知?为曲线 膠?=3?上一点，?0,94，?3,3，则膠?膠+膠?膠的最小值为_.16.已知曲线?=3?3a?在 x=1 处的切线方程为?=?+，则a=_四、解答题四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。）17.（本题（本题 10 分）分）在?ABC 中，已知 a，?，?分别是三内角?，?，所对应的边长，且?+?a=?(1)求角?的大小；()若?=1，且?的面积为3 34，求?18.（本题（本题 12 分）分）为深入学习贯彻习近平总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动

6、教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党 100 周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了 100 名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中 a 的值，并求该次知识竞赛成绩的第 50 百分位数（精确到 0.1）；()已知该样本分数在70,75)的学生中，男生占3，女生占13现从该样本分数在70,75)的学生中随机抽出 人，求至少有 1 人是女生的概率.试卷第 4页，总 9页19.（本题（本题 12 分）分

7、）如图，在四棱锥?中，?底面?，?，?，?=?=?=，?为?的中点(1)求证：?平面?；()若?=4，求平面?与平面?的夹角大小2 0.（本题（本题 12 分）分）已知函数?=?4?(1)当?=1 时，求?的极值；()讨论?的单调性。21.（本题（本题 12 分）分）已知?的内角?，?，的对边分别为 a，?，?，若向量?=(?,?),?=(a,?)，且?.(1)求角?的值；()已知?的外接圆半径为 33，求?周长的最大值.22.（本题（本题 12 分）分）设椭圆 C：?+?=1?0 的离心率为?=1，椭圆 上一点?到左右两个焦点?1,?的距离之和是 4.(1)求椭圆的方程；()已知过?的直线与

8、椭圆 交于?，?两点，且两点与左右顶点不重合，若?1?=?1?+?1?，求四边形?1面积的最大值试卷第 5页，总 9页参考答案与试题解析参考答案与试题解析哈工大附中哈工大附中 2 2021021-2022-2022 上学期期末上学期期末（文科数学）试卷（文科数学）试卷一、一、选择题选择题（本题共计（本题共计 8 小题小题，每题，每题 3 分分，共计，共计 24 分分）1.【答案】C【解答】解：?A=x膠x?1，B=x膠 1?x?，?A B=x膠 1?x?12.【答案】B【解答】解：z=1+3i，则 z?z=(1+3i)(13i)=14+34=1.3.【答案】B4.【答案】D【解答】解：根据题意

9、，易得a b=(1,1,k)(1,0,1)=(3,1,k+)，a b与c两向量互相垂直，0+k+=0，解得 k=4.5.【答案】D【解答】解：A，若?，l?，m?，则 l?m 或异面，故该选项错误；B，若 l?，m?，l?m，则?或相交，故该选项错误；C，若 =l，m?，m?l，则，不一定垂直，故该选项错误；D，若?，=n，l?，l?n，则利用面面垂直的性质可得 l?，故该选项正确.6.【答案】C7.【答案】D【解答】圆心为 3,5，半径为，斜率不存在时，直线 x=5 满足题意，斜率存在时，设直线方程为 y+1=k x+5，即 kx y+5k 1=0由膠3k5+5k1膠k+1=，得 k=43，

10、直线方程为 y+1=43x+5，即 4x 3y+17=08.【答案】C【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示；设 P x,y，则 A 0,0，B,0，C 0,，所以PA=x,y，PB=x,y，PC=x,y，PB+PC=x,y，所以PA?PB+PC=x x y y=x 1+y 试卷第 6页，总 9页1 1，所以当 x=y=1时取得最小值为 1.二、二、多选题多选题（本题共计（本题共计 4 小题小题，每题，每题 3 分分，共计，共计 12 分分）9.【答案】A,D10.【答案】B,C11.【答案】A,C12.【答案】A,D【解析】利用函数的对称性即可判断选项 A 是否正确对函数 f x

11、求导，分别就 a 0 和 a?0进行讨论，即可判断选项 BC 是否正确；函数 f x=x3 3x+a R 有三个不同的零点，根据函数的单调性，可知函数 f x 的极小值小于 0，极大值大于 0，列出不等式组，求出 a 的取值范围，由此即可判断选项 D 是否正确【解答】解：对于选项 A，因为 f x=x3 3ax+a?，所以 f x=x3+3ax+a?，所以 f x+f x=4，所以函数 f x 的图象关于点 0,对称，故选项 A 正确；对于选项 B，由fx=3x 3a=3 x a，当 a 0 时，fx 0，函数 f x 在定义域内为增函数，此时函数 f x 没有极值点，故选项 B 错误对于选项

12、 C，当 a?0 时，由fx=0，解得 x=a,又因为 x ,a 时，fx?0，所以函数 f x 在区间 ,a 上单调递增，故选项 C 错误；对于选项 D，由fx=3x 3a=3 x a,当 a 0 时，fx 0，函数 f x 在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当 a?0 时，由fx=0，解得 x=a,又因为 x ,a 时，fx?0；x a,a 时，fx?0；x a,+时，fx?0，所以函数 f x 单调递增区间为 ,a 和a,+，单调递减区间为 a,a，试卷第 7页，总 9页所以函数的极小值是 fa=a a+，极大值是 f a=a a+.因为函数 f x=x3 3ax+a?有

13、且只有 3 个零点，所以 a a+?0,a a+?0,解得 a?1，故选项 D 正确故选 AD三、三、填空题填空题（本题共计（本题共计 4 小题小题，每题，每题 3 分分，共计，共计 12 分分）13.【答案】14.【答案】315.【答案】1416.【答案】103四、四、解答题解答题（本题共计（本题共计 6 小题小题，每题，每题 10 分分，共计，共计 60 分分）17.【答案】解：(1)已知b+c a=bc，由余弦定理，得cosA=b+cabc=bcbc=1.0?A?，A=3.()由(1)得 A=3，sinA=3.b=1，S?ABC=3 34，S?ABC=1bcsinA=34c=3 34，c

14、=318.【答案】解：(1)0.01+0.08+0.04+0.06+0.036=0.176，由 5 0.176+a=1，解得 a=0.04该次知识竞赛成绩的第 50 百分位数为 86.7()分数在70,75）的人数有 0.01 5 100=6 人，所以这 6 人中，女生有 人，记为A、B，男生有 4 人，记为 c、d、e、f从这 6 人中随机选取 人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef，共 15 种不同取法；则至少有 1 人是女生的基本事件为 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf，共 9 种不同取法，则所求的概率

15、为 P=915=3519.【答案】解：1 取 PA 的中点 M，连接 EM，DM试卷第 8页，总 9页因为 EM?CD，EM=CD，所以 CE?DM，又 DM?平面 PAD，CE 平面 PAD，所以 CE?平面 PAD 以 A 为原点，以 AD 方向为 x 轴，以 AB 方向为 y 轴，以 AP 方向为 z 轴，建立空间直角坐标系可得 D,0,0，C,1,0，P 0,0,4，B 0,0，E 0,1,，所以CD=0,1,0，CE=,0,，设平面 CDE 的法向量为n1=x,y,z 则n1?CD=0,n1?CE=0,可得y=0,x+z=0,令 z=1，则 x=1，所以平面 CDE 的法向量为n1=

16、1,0,1，平面 ABCD 的法向量为n1=0,0,1，因此 cos=膠n1?n膠膠n1膠?膠n膠=即平面 CDE 与平面 ABCD 所成的夹角为420.【答案】解：(1)当 m=1 时，f x=x 4lnx，(x0)则f(x)=4x=(x)x令f(x)=0，得 x=，f(x)?0，得 x?;f(x)?0，得 0?x?所以 f x 的单调递减区间为（1,）；单调递增区间为（,+).所以 f x 的极小值为 f(2)=4-4ln2.无极大值。(2)令 f x=mx 4lnx则fx=m 4x=mx4x=mxx当 m 0 时，fx?0 在（0，+）上恒成立,f x 在(0,+)上单调递减.当 m?0

17、 时，f(x)=0，得 x=m.f(x)?0，得 x?m;f(x)?0，得 0?x?mf x 在(0,m)上单调递减，在(m,+)上单调递增，综上所述，当 m 0 时，f x 在(0,+)上单调递减.当 m?0 时，f x 在(0,m)上单调递减，在(m,+)上单调递增，21.【答案】解：(1)由m?n，得(b c)cosA+acosB=0，试卷第 9页，总 9页由正弦定理，得 sinBcosA sinCcosA+sinAcosB=0，即 sinCcosA=sin(A+B)=sinC.在?ABC 中，由 sinC?0，得 cosA=1.又 A (0,)，所以 A=3.()根据题意，得 a=Rs

18、inA=4 333=，由余弦定理，得a=b+c bccosA=(b+c)3bc，即 3bc=(b+c)4 3(b+c)，整理得(b+c)16，当且仅当 b=c=时，取等号，所以 b+c 的最大值为 4.所以 a+b+c 6.所以?ABC 的周长的最大值为 6.22.【答案】解：(1)依题意，a=4,a=，因为 e=1，所以 c=1,b=a c=3，所以椭圆 C 方程为x4+y3=1；()设 A x1,y1,B x,y,AB膠x=my+1，则由x=my+1,x4+y3=1,可得 3 my+1+4y=1，即，3m+4 y+6my 9=0，=36m+36 3m+4=144 m+1?0.又因为F1M=F1A+F1B，所以四边形 AMBF1是平行四边形.设平面四边形 AMBF1的面积为 S，则 S=S?ABF1=1 膠F1F膠 膠y1 y膠=3m+4=4 m+13m+4.设 t=m+1，则m=t 1 t 1，所以 S=4 t3t+1=4 13t+1t.因为 t 1，所以 3t+1t 4，所以 S (0,6，所以四边形 AMBF1面积的最大值为 6