辽宁省沈阳市2022届高三下学期二模数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 4页辽宁省沈阳市辽宁省沈阳市 20222022 届高三下学期二模数学试题届高三下学期二模数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1复数 z 满足32i13z，则 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集U R，集合1,2,3,4,5A，04Bxx，则图中阴影部分表示的集合为（）A1,2,3,4B1,2,3C4,5D 53设等差数列 na的公差为 d，10a，则“50a”是“0d”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件42021 年 10 月 12 日，习近平总书记在生物多样性公约第十五

2、次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间 t（单位：小时）之间的函数关系为0e0ktPPt，其中 k 为常数，0k，0P为原污染物数量该工厂某次过滤废气时，若前 4 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 90%，那么再继续过滤 2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）A5%B3%C2%D1%5 已知数列 na是递增的等比数列，且1418aa，3232a a，若 na的前 n 项和nS满足1661022kkSS

3、，则正整数 k 等于（）A5B6C7D86现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，试卷第 2页，共 4页该圆锥与小球的体积之比是（）A9:4B9:5C3:2D3:17已知双曲线2222:10,0 xyCabab的两个焦点为1F、2F，点 M，N 在 C 上，且123FFMN ，12FMF N，则双曲线 C 的离心率为（）A622B32C22D528若直线11yk xb与直线2212yk xbkk是曲线lnyx的两条切线，也是曲线exy 的两条切线，则1212k kbb的值为（）Ae 1B0C-1D11e二、多选题二、多选题9 如图，在4 4方格中，向量a，b，c

4、的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）AabBabcCabDa cb c 10甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的 10 次成绩分别为 8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的 10 次成绩的平均数为 8，方差为 0.4，则（）A甲的 10 次成绩的极差为 4B甲的 10 次成绩的 75%分位数为 8C甲和乙的 20 次成绩的平均数为 8D甲和乙的 20 次成绩的方差为 111在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为梯形，ABCD，则（）A平面 PAD 内任意一条直线都不与 BC 平行B平面 PBC 内存在无数条直线与平面 PAD 平行C平面 PAB 和平面 PCD 的交线不与底面 ABCD

5、平行D平面 PAD 和平面 PBC 的交线不与底面 ABCD 平行12已知奇函数 fx在 R 上可导，其导函数为 fx，且1120fxfxx恒试卷第 3页，共 4页成立，若 fx在0,1单调递增，则（）A fx在1,2上单调递减B 00fC20222022fD20231f 三、填空题三、填空题13已知抛物线2:8Cyx的焦点为 F，在 C 上有一点 P，8PF，则点 P 到 x 轴的距离为_14已知随机变量21,N，且13PPa，则190 xaxax的最小值为_15将A，B，C，D，E这 5 名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有 1 名同学的排法有_种.16以俄国著名数学家切

6、比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式 nTx和第二类切比雪夫多项式 nUx，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数 nTx有许多良好的结论，例如：1T xx，2221Txx，对于正整数3n 时，有 122nnnTxx TxTx成立，R，coscosnTn成立由上述结论可得4cos18T的数值为_四、解答题四、解答题17已知数列 na满足1222naanan，数列 nb满足对任意正整数2m 均有111mmmmbbba成立(1)求 na的通项公式；(2)求 nb的前 99

7、项和18已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且coscosabcBA(1)判断ABC的形状并给出证明；(2)若ab，求sinsinsinABC的取值范围19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，/,ADBC ADCD，且1AD，2CD，5BC，2PA 试卷第 4页，共 4页(1)求证：ABPC；(2)在线段 PD 上是否存在一点 M，使二面角MACD的余弦值为66？若存在，求三棱锥MABC体积；若不存在，请说明理由20甲、乙是北京 2022 冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战 3 次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种(1)甲在

8、每次挑战中，成功的概率都为12设 X 为甲在 3 次挑战中成功的次数，求 X 的分布列和数学期望；(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为 0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加 0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少 0.1（）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；（）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率21已知椭圆2222:10 xyCabab的焦距为 2，且经过点31,2P(1)求椭圆 C 的方程；(2)经过椭圆右焦点 F 且斜率为0k k 的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两

9、点，试问 x 轴上是否存在异于点 F 的定点 T，使AFBTBFAT恒成立？若存在，求出 T 点坐标，若不存在，说明理由22已知函数 exf xaxa(1)若 0f x，求 a 的值；(2)当1a 时，从下面和两个结论中任选其一进行证明 lnsinxxxf x；(ln1)cosxxfxx 答案第 1页，共 17页参考答案：参考答案：1A【解析】【分析】根据复数的除法运算，求得复数 z，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由32i13z得1313(32i)32i32i13z，故 z 在复平面内所对应的点为3,2，在第一象限,故选：A2C【解析】【分析】根据韦恩图中阴影部分所表示的含义，由集合的补

10、集和交集定义可得.【详解】集合1,2,3,4,5A，04Bxx，图中阴影部分表示UAB，又|4,UBx x或0 x，所以4,5UAB I 故选：C3B【解析】【分析】结合等差数列的通项公式判断条件与结论的关系即可.【详解】必要性成立，由等差数列 na的0d 可知，5140aad；充分性不成立，例如：15a，51a 得1d 所以“50a”是“0d”的必要不充分条件，故选：B.4B【解析】答案第 2页，共 17页【分析】根据前 4 小时废气中的污染物恰好被过滤掉 90%，求出1ln104k，再计算经过 6 小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.【详解】由题可得，前 4 小时，废气中的污染物恰好

11、被过滤掉 90%，故由0ektPP得400190%ekPP，所以40.1ek，即1ln104k，由再过滤 2 小时，即共 6 小时，空气中剩余污染物为321336ln10ln106ln1042200000010eeee10100kPPPPPPP，103,3.5，故污染物所剩比率约为03%P,故选：B5A【解析】【分析】利用等比数列的角标和性质，列方程求出na，即可求解【详解】由1418aa，3232a a，知1418aa，1432a a，解得12a，416a，所以2q=，2nna，则1011110212212221212kkkkkkSS，所以111616kk，解得5k 故选：A6A【解析】【分

12、析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，求得小球的半径，可得答案.【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为 l，底面半径为 R，则2 Rl，所以2lR，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为3R,答案第 3页，共 17页又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设此时小球半径为 r，则有(3)sin30Rrr，即33rR，故3334434 333327VrRR球，2313333VRRR锥，所以3334 3:9:4327VVRR 锥球，故选：A7D【解析】【分析】根据123FFMN ，12FMF N，由双曲线对称性可知，直线

13、1FM与2F N交于 y 轴上一点 P，且12PFF为等腰直角三角形，可得N的坐标，分别求出12,NFNF，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为123FFMN ，12FMF N，由双曲线对称性可知，直线1FM与2F N交于 y 轴上一点 P，且12PFF为等腰直角三角形，所有1OPOFc，如图，则2,33ccN，1,0Fc，2,0Fc，所以221422 5333NFccc，222222 2333NFccc，则122 52 2233NFNFcca，即523ac，答案第 4页，共 17页则35252cea故选：D.8C【解析】【分析】利用exy 和lnyx互为反函数推得两条公切线11y

14、k xb和22yk xb也互为反函数，结合导数的几何意义表示出121kx，121 lnbx ，进而化简可得12111xxx，代入1212k kbb化简可得答案.【详解】由exy 和lnyx互为反函数可知，两条公切线11yk xb和22yk xb也互为反函数，即1111bxykk满足211kk，121bbk，即1 21k k，121bbk，设直线11yk xb与exy 和lnyx分别切于点11,exx和22,lnxx，可得切线方程为111eexxyxx和2221lnyxxxx，整理得：111eeexxxyxx和2211lnyxxx，则1121exkx，1112e11lnxbxx ，由121exx

15、，得1221lnlnxxx，且1122111lnbxxx ，则1112111bxxx ，所以12111xxx，答案第 5页，共 17页所以111 2121112111111111111111bxk kbbbbbxxkkx 111111xx ,故选：C【点睛】本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写出切线方程并进行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.9BC【解析】【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】如图所示，向量a与向量b方向不同，所以ab，故 A 不正确，作向量a与向量b，可得abc，且ab，故 B 与 C

16、 正确，连接 BD，则 AC 与 BD 互相垂直，所以向量a与向量b在向量c上的射影的数量是相同的，所以acbc，故 D 不正确故选：BC.10ACD【解析】【分析】根据极差，百分位数，平均数和方差的定义计算求解即可【详解】甲的 10 次成绩中，最大值为 10，最小值为 6，极差等于 4，故 A 正确，答案第 6页，共 17页因为1075%7.5，所以将甲的 10 次成绩从小到大排列后，第 8 个数为 75%分位数，即 75%分位数等于 9，故 B 不正确，经计算，甲的 10 次成绩的平均数等于 8，又已知乙的 10 次成绩的平均数等于 8，则甲和乙的 20 次成绩的平均数为 8，故 C 正确

17、，222221683789821081.610s甲，2101.60100.40110 1010 1.6100.4011010201010s，故 D 正确，方差也可以用22222111111nnniiiiiisxxxnxxxnnn进行求解，即：1010222111181.61010iiiisxxx甲，202022211111180.41010iiiisxxx乙，所以2021116210iix，即202118120iix，故 D 正确故选：ACD11ABD【解析】【分析】用反证的方法来推出与已知相矛盾的结论，可以判断 A,D;用线面平行的判定定理，可判断 B;用线面平行的判定以及性质定理可判定 C

18、.【详解】若平面 PAD 内存在直线与 BC 平行，则BC平面 PAD，由BC 平面 ABCD,平面 ABCD平面 PADAD,可得BCAD，则四边形 ABCD 为平行四边形，与已知矛盾，故 A 正确；平面 PAD 和平面 PBC 的一个交点为 P，故二者存在过点 P 的一条交线，在平面 PBC 内，与平面 PAD 和平面 PBC 的交线平行的所有直线均与平面 PAD 平行，故 B正确；答案第 7页，共 17页由ABCD得AB平面 PCD，进而 AB 平行于平面 PAB 与平面 PCD 的交线，所以平面 PAB 与平面 PCD 的交线与底面 ABCD 平行，故 C 错误；若平面 PAD 与平面

19、 PBC 的交线与底面 ABCD 平行，则平面 PAD 与平面 PBC 的交线与 BC 平行，与 AD 也平行，与已知底面 ABCD 为梯形矛盾，故 D 正确故选：ABD12BCD【解析】【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.【详解】方法一：对于 A，若 f xx，符合题意，故错误，对于 B，因已知奇函数 fx在 R 上可导，所以 00f，故正确，对于 C 和 D，设 g xf xx，则 g x为 R 上可导的奇函数，00g，由题意1111fxxfxx ，得11gxgx，g x关于直线1x 对称，易得奇函数 g x的一个周期为 4，2022200g

20、gg，故 C 正确，由对称性可知，g x关于直线1x 对称，进而可得10g，（其证明过程见备注）且 gx的一个周期为 4，所以202310gg，故 D 正确备注：11gxgx，即11gxgx，所以11gxgx ，等式两边对 x 求导得，11gxgx ，令0 x，得11gg ，所以10g 方法二：对于 A，若 f xx，符合题意，故错误，对于 B，因已知奇函数 fx在 R 上可导，所以 00f，故正确，答案第 8页，共 17页对于 C，将1120fxfxx中的 x 代换为1x，得2220fxfxx，所以 222f xf xx，可得4226f xf xx，两式相减得，44f xf x，则 624f

21、f，1064ff，202220184ff，叠加得 202222020ff，又由 222f xf xx，得 2022ff，所以 2022220202022ff，故正确，对于 D，将1120fxfxx的两边对 x 求导，得1120fxfx，令0 x 得，11f，将 fxf x的两边对 x 求导，得 fxfx，所以11f ，将 44f xf x的两边对 x 求导，得 4fxfx，所以2023201911fff，故正确故选：BCD134 3【解析】【分析】根据抛物线的定义，列出相应方程求解即可.【详解】由抛物线的定义可知：28pPFx，所以6px，代入28yx中，得248py，所以4 3py，故点 P

22、 到 x 轴的距离为为4 3故答案为：4 3144【解析】【分析】答案第 9页，共 17页由正态曲线的对称性得出4a，再由基本不等式得出最小值.【详解】由随机变量21,N，则正态分布的曲线的对称轴为1，又因为13PPa，所以132a，所以4a 当04x时，有41919491102 9104444444xxxxxxxxxx，当且仅当494xxxx，即1x 时等号成立，故最小值为 4故答案为：41520【解析】【分析】由A与B相邻且A与C之间恰好有 1 名同学，分类讨论 B 在 A 与 C 之间，与 B 在 A 的另一侧，A 与 C 之间为 D，E 中任意 1 人两种情况，分类计数之后再相加得答案

23、.【详解】根据题意，分两种情况若 A 与 C 之间为 B，即 B 在 A,C 中间且三人相邻，共有222A 种情况，将三人看成一个整体，与 D,E 两人全排列，共有336A 种情况，则此时有2 6 12=种排法若 A 与 C 之间不是 B，先从 D，E 中选取 1 人，安排在 A，C 之间，有122C 种选法，此时 B 在 A 的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有222A 种情况，将这个整体与剩下的 1 人全排列，有222A 种情况，此时有222=8 种排法所以总共有128 20=种情况符合题意故答案为：20【点睛】本题考查排列组合中排序问题，注意特殊位置优先考虑，属于较难题.答案

24、第 10页，共 17页16514【解析】【分析】根据已知条件和余弦的三倍角公和二倍角公式，再利用两角互余及诱导公式，再结合同角三角函数的平方关系及一元二次方程的解法即可求解.【详解】由题意4cos18cos72sin18T，33cos18cos544cos 183cos18T，又cos54sin362sin18 cos18，故32sin18 cos184cos 183cos18，因为cos180，所以222sin184cos 18314sin 18，即24sin 182sin1810，解得51sin184 或15sin184 51sin180,sin184 Q，所以4cos18cos72sin

25、15814T .故答案为：514.17(1)2nan(2)825【解析】【分析】(1)利用递推式的性质，可求出2nan.(2)根据1112mmmmmbbba，可得123456979899bbbbbbbbb 123456979899bbbbbbbbb2598111aaa，利用等差数列求和公式求解即可.(1)因为1222naanan，答案第 11页，共 17页所以当2n时，1212121naanan，两式相减得2nna，2nan，又1n 时，12a，也符合所以2nan(2)由（1）知，12nna，因为对任意的正整数2m，均有1112mmmmmbbba，故数列 nb的前 99 项和123456979

26、899bbbbbbbbb 123456979899bbbbbbbbb2598111aaa2983322825218(1)ABC为等腰三角形或直角三角形，证明见解析(2)2,21【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cossinsin0CBA，可得出sinsinAB或cos0C，可得出ab或2C，即可得出结论；（2）分析可得2BA，且0,44 2A，利用诱导公式以及辅助角公式可得出sinsinsin2sin14ABCA，利用正弦型函数的基本性质可求得sinsinsinABC的取值范围.(1)解：ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由coscosabcBA及正弦定理

27、得，sinsinsincoscosABCBA，答案第 12页，共 17页即sinsinsincoscosBCACCBA，即sincoscossinsincoscossinsincossincosBCBCACACCBCA，整理得sincossincos0BCAC，所以cossinsin0CBA，故sinsinAB或cos0C，又A、B、C为ABC的内角，所以ab或2C，因此ABC为等腰三角形或直角三角形(2)解：由（1）及ab知ABC为直角三角形且不是等腰三角形，且2AB，2C故2BA，且4A，所以sinsinsinsinsin1sincos12sin14ABCABAAA ，因为0,44 2A，

28、故3,44 224A U，得2sin,142A，所以2sin12,214A，因此sinsinsinABC的取值范围为2,2119(1)证明见解析(2)存在，53【解析】【分析】（1）证明ACAB，结合PAAB，证明AB 平面 PAC，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设PMPD ，求出平面 MAC 的一个法向量，结合平面 ACD 法向量以及条件可推出12即 M 为 PD 中点，即可求得答案.(1)因为ADCD，1AD，2CD，所以5AC，又因为5BC，且ADBC，22(5 1)22 5AB，所以222ABACBC，所以ACAB，答案第 13页，共

29、17页又因为PA平面 ABCD，且AB平面 ABCD，所以PAAB，又因为PAACA，PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，所以AB 平面 PAC，又因为PC 平面 PAC，所以ABPC(2)在 BC 上取点 E，使1CEAD，则ADAE，故以 A 为原点，以AE，AD，AP 分别为 x轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则0,0,0A，0 0 2P,，0,1,0D，2,1,0C，设0,1,20,2PMPD ，01，在平面 MAC 中，2,1,0AC，0,0,20,20,22AMAPPM ，设平面 MAC 的一个法向量为,mx y z，则20220AC mxyAM myz，令z，则2

30、2y，1x，所以1,22,m，可取平面 ACD 法向量为0,0,1n，所以26cos,66105m nm nm n ，即2261056，解得12，所以 M 为 PD 中点，所以三棱锥MACB的高 h 为 1，11152 5513323MACBACBVSh 20(1)分布列见解析，32(2)（）0.4；（）0.62【解析】答案第 14页，共 17页【分析】(1)由已知得13,2XB，然后列出相应分布列即可.(2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可.(1)由题意得，13,2XB，则3311C122kkkP Xk ，其中0,1,2,3k，则 X 的分布列为：X0123P18

31、383818则13322E X .(2)设事件iA为“乙在第 i 次挑战中成功”，其中1,2,3i（）设事件 B 为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则1212BA AA A，则 1212121121P BP A AP A AP A P A AP A P A A 0.510.610.50.40.4即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为 0.4（）因为 21212121121P AP A AA AP A P A AP A P A A0.5 0.60.5 0.40.5，且23123123123123P A AP A A AA A AP A A AP A A A0.5 0.60.70.5 0.40

32、.50.31，所以233220.310.620.5P A AP A AP A即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为 0.6221(1)22143xy；答案第 15页，共 17页(2)存在，4,0T.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距以及经过点P，求得,a b c，即可求得椭圆方程；（2）转化AFBTBFAT为0ATBTkk，设出直线AB方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，即可求得结果.(1)由椭圆 C 的焦距为 2，故1c，则221ba，又由椭圆 C 经过点31,2P，代入 C 得221914ab，得24a，23b，所以椭圆C的方程为：22143xy(2)根据题意，直线l的斜率显然不为零

33、，令1mk由椭圆右焦点1,0F，故可设直线 l 的方程为1xmy，与22:143xyC联立得，2234690mymy，则22236493414410mmm，设11,A x y，22,B xy，122634myym，122934y ym，设存在点 T，设 T 点坐标为,0t，由AFBTBFAT，得AFATBFBT，又因为1sinsin21sinsin2TFATFBFTATATFAFATATFSBFSBTBTFFTBTBTF，所以sinsinATFBTF，ATFBTF，所以直线 TA 和 TB 关于 x 轴对称，其倾斜角互补，即有0ATBTkk，则：12120ATBTyykkxtxt，所以1221

34、0yxtyxt，所以1221110y mytymyt ，1212210my ytyy，答案第 16页，共 17页即22962103434mmtmm，即223103434mmtmm，解得4t，符合题意，即存在点 T4,0满足题意.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中存在性问题，解决第二问的关键是合理转化AFBTBFAT为0ATBTkk，再利用韦达定理求解，属综合中档题.22(1)1a(2)答案见解析【解析】【分析】（1）讨论a的值，由导数得出其单调性，结合 0f x 得出a的值；（2）选当1a 时，e1xfxx，构造函数 elnsin1xg xxxxx，利用导数证明 0g x 得出 lns

35、inxxxf x；选当1a 时，e1xfxx，构造函数 elncos1xg xxxx，利用导数证明 0g x 得出(ln1)cosxxfxx；(1)由 exf xaxa，得 00f，又 e1xfxa，当0a 时，有 0fx恒成立，所以 fx在 R 上单调递减，又由 00f，则 0f x 不成立，当0a 时，令 0fx，得1lnxa，则1lnxa时，有 0fx，1lnxa时，有 0fx即 fx在1,lna单调递减，在1ln,a单调递增所以1lnfa是 fx的极小值，又因为 0f x，且 00f，故1ln0a，即1a，经验证成立(2)选择作答：答案第 17页，共 17页当1a，0 x 时，ee1e

36、1xxxf xaxaaxx，设 elnsin1xg xxxxx，当01x时，ln0 xx，sin0 x，又由（1）知e10 xx，故 0g x，当1x 时，e2lncosxgxxx，设 e2lncosxh xxx，则 1esinxh xxx，e 1 10h x ，则 h x在1,单调递增，1e 2cos10h xh，所以 0gx，则 g x在1,单调递增，1e 2sin10g xg，综上，0g x，即当1a 时，lnsinxxxf x 选择作答：当1a，0 x 时，ee1e1xxxf xaxaaxx，设 elncos1xg xxxx，当01x时，ln0 xx，cos0 x，e10 x，故 0g x，当1x 时，e1lnsinxg xxx，设 e1lnsinxh xxx，则 1ecosxh xxx，e 1 10h x ，则 h x在1,单调递增，1e 1sin10h xh ，所以 0gx，则 g x在1,单调递增，1e 1cos10g xg ，综上，0g x，即当1a 时，ln1cosf xxxx【点睛】关键点睛：在证明不等式时，关键是构造函数，利用导数得出其单调性，进而由最值证明不等式.