2023届高中数学题型全面归纳9.4直线与圆、圆与圆的位置关系含答案.pdf

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1、120232023 届高中数学题型全面归纳届高中数学题型全面归纳第四节第四节直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读考纲解读1.1.能根据给定直线能根据给定直线、圆的方程圆的方程，判定直线与圆的位置关系判定直线与圆的位置关系，能根据给定的两个圆的方程判能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系定两圆的位置关系.2.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.3.初步了解用代数法处理几何问题的思想初步了解用代数法处理几何问题的思想命题趋势探究命题趋势探究直线与圆的位置关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系判定、圆的切线、直直线与圆的位置

2、关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系判定、圆的切线、直线与圆相交的弦长、公共弦、弦中点的问题等线与圆相交的弦长、公共弦、弦中点的问题等.圆的切线和弦的问题时本节中点，也是历届高考的热点之一，从试题层次上来看，大圆的切线和弦的问题时本节中点，也是历届高考的热点之一，从试题层次上来看，大多为选择题，填空题，解题时应充分利用圆的性质，并注意数形结合思想的应用多为选择题，填空题，解题时应充分利用圆的性质，并注意数形结合思想的应用.作为平面解析几何的主要内容，预测作为平面解析几何的主要内容，预测 20192019 年高考中直线圆的位置关系仍将是考查的重点年高考中直线圆的位置关系仍将是考查的重点.知

3、识点精讲知识点精讲一、一、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有直线与圆的位置关系有 3 3 种，相离，相切和相交种，相离，相切和相交二、二、直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系判断1.1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心圆心(,)a b到直线到直线0AxByC的距离，则的距离，则22|AaBbCdAB：则则dr直线与圆相交，交于两点直线与圆相交，交于两点,P Q，22|2PQrd；dr直线与圆相切；直线与圆相切；dr直线与圆相离直线与圆相离2.2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）代数方法（几何问

4、题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由由2220()()AxByCxaybr，消元得到一元二次方程消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt 判判别式为别式为，则：，则：则则0 直线与圆相交；直线与圆相交；0 直线与圆相切；直线与圆相切；0 直线与圆相离直线与圆相离.三、三、两圆位置关系的判断两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆设两圆12,O O的半径分别是的半径分别是,R r，（不妨设（不妨设Rr），且两圆的圆心距为，且两圆的圆心距为d，则：，则：2dRr两圆相交；两圆相交；d

5、Rr两圆外切；两圆外切；RrdRr两圆相离两圆相离dRr两圆内切；两圆内切；0dRr两圆内含（两圆内含（0d 时两圆为同心圆）时两圆为同心圆）四、四、关于圆的切线的几个重要结论关于圆的切线的几个重要结论（1 1）过圆过圆222xyr上一点上一点00(,)P xy的圆的切线方程为的圆的切线方程为200 x xy yr.（2 2）过 圆过 圆222()()xaybr上 一 点上 一 点00(,)P xy的 圆 的 切 线 方 程 为的 圆 的 切 线 方 程 为200()()()()xa xayb ybr（3 3）过 圆过 圆220 xyDxEyF上 一 点上 一 点00(,)P xy的 圆 的

6、切 线 方 程 为的 圆 的 切 线 方 程 为0000022xxyyx xy yDEF（4 4）求过圆求过圆222xyr外一点外一点00(,)P xy的圆的切线方程时，应注意理解：的圆的切线方程时，应注意理解：所求切线一定有两条；所求切线一定有两条；设 直 线 方 程 之 前，应 对 所 求 直 线 的 斜 率 是 否 存 在 加 以 讨 论设 直 线 方 程 之 前，应 对 所 求 直 线 的 斜 率 是 否 存 在 加 以 讨 论.设 切 线 方 程 为设 切 线 方 程 为00()yyk xx，利用圆心到切线的距离等于半径利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于列出关于k的方程的方程，求

7、出求出k值值.若求若求出的出的k值有两个值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的若求出的k值只有一个值只有一个，则说明斜则说明斜率不存在的情形符合题意率不存在的情形符合题意.题型题型 132132直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系思路提示思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距、弦心距d和半径和半径r之之间形成的数量关系间形成的数量关系222()2ldr.例例 9.289.28 已知圆已知圆O：225xy，直线直线l：cossin1(0)2xy，设圆设圆O上到直上到

8、直线线l的距离等于的距离等于 1 1 的点的个数为的点的个数为k，则，则k=_.=_.分析分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析解析 因为圆心因为圆心(0,0)到直线到直线l的距离为的距离为 1 1，又因为圆又因为圆O的半径为的半径为5，故圆上有故圆上有 4 4 个点符合个点符合条件条件.评注评注 若圆若圆O上到直线上到直线l的距离等于的距离等于 2 2 的点的个数为的点的个数为k，则则2k；若若3k，则圆则圆O上到直上到直线线l的距离等于的距离等于51变式变式 1 1 已知圆已知圆O：224xy，直线，直线l：1xyab，设圆，设圆O上到直线上到直线l

9、的距离等于的距离等于 1 1 的点的点3的个数有两个，则的个数有两个，则2211ab的取值范围的取值范围_._.解析解析由已知圆由已知圆O的半径为的半径为 2 2，若圆若圆O上到直线上到直线l的距离等于的距离等于 1 的点的个数有两个的点的个数有两个，则圆心则圆心到直线的距离的取值范围是到直线的距离的取值范围是(1,3),即即22113,11ab故故2211ab的取值范围是的取值范围是1(,1).9例例 9.299.29 已知圆已知圆C：228120 xyy，直线，直线l：20axya，（1 1）当直线当直线l与圆与圆C相交时，求实数相交时，求实数a的取值范围的取值范围;（2 2）当直线当直线

10、l与圆与圆C相交于相交于,A B两点，且两点，且3 2AB，求直线，求直线l的方程的方程.分析分析根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题相交问题.解析解析（1 1）圆圆C：22(4)4xy，故圆心为故圆心为(0,4)C，因为直线因为直线l与圆与圆C相交相交，所以圆所以圆心为心为(0,4)C到直线到直线l的距离的距离2|42|21ada，解得，解得34a ，故实数故实数a的取值范围是的取值范围是3(,)4（2 2）由题意由题意，直线直线l与圆与圆C相交于相交于,A B两点两点，且且3

11、 2AB，故有故有222|42|(2)()41aa，化简可得化简可得2870aa，即，即1a 或或7a ，故所求直线的方程为，故所求直线的方程为20 xy或或7140 xy.评注评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长即半弦长，弦心距弦心距，半径长构成直半径长构成直角三角形的三边角三角形的三边.变式变式 1 1 对任意的实数对任意的实数k，直线，直线1ykx与圆与圆222xy的位置关系一定是（的位置关系一定是（）A A相离相离B.B.相切相切C.C.相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心D.D.相交且直线过圆心相交且直线过圆心解析解析解

12、法一：解法一：因为圆心(0,0)到直线1ykx的距离211,1dk半径2,r 所0,dr故位置关系是相交但直线不过圆心.故选.C解法二：解法二：直线1ykx恒过点(0,1),其在圆222xy的内部，直线的斜率又一定存在.故选.C变式变式 2 2(2016新课标全国新课标全国，15)已知直线已知直线 l：x 3y60 与圆与圆 x2y212 交于交于 A、B 两两点点，过过 A、B 分别作分别作 l 的垂线与的垂线与 x 轴交于轴交于 C、D 两点两点，则则|CD|_.4解析解析设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，由x 3y60，x2y212，得得 y23 3y60，则，则 y1y23

13、 3，又又 y22 3，y1 3，A(3，3)，B(0，2 3).过过 A，B 作作 l 的垂线方程分别为的垂线方程分别为 y-3-3(x3)，y2 3-3x，令，令 y0，则，则 xC-2，xD2，|CD|2-(-2)4.变式变式 3 3 已知直线已知直线l经过点经过点(1,3)P 且与圆且与圆224xy相交，截得弦长为相交，截得弦长为2 3，求直线，求直线l的的方程方程.解析解析当直线当直线l的斜率存在时，设的斜率存在时，设:3(1),l yk x 即即:30,l kxyk 则圆心到直线则圆心到直线l的距离的距离2|3|.1kdk又弦长又弦长2222 322 4,rdd故故1.d 所以所以

14、2|3|1,1kdk解得解得4.3k 故故:4350.lxy 当当l的斜率不存在时，由的斜率不存在时，由1d 知知:1.l x 综上所述，所求直线为综上所述，所求直线为:4350lxy 或或1.x 评注评注当直线与圆相交所得弦长不为最长或最短弦时当直线与圆相交所得弦长不为最长或最短弦时，必有两条符合必有两条符合，不可忽视斜率不存不可忽视斜率不存在的情形在的情形(若只求得一个若只求得一个,k则另一条直线斜率不存在则另一条直线斜率不存在).例例 9.309.30 过点过点(1,1)P的直线的直线l与圆与圆22:(2)(3)9Cxy相交于相交于,A B两点两点，则则|AB的最的最小值为（小值为（）A

15、.A.2 3B.B.4 4C.C.2 5D.D.5 5解析解析设圆心设圆心(2,3)C到直线到直线l的距离的距离d，由弦长公式由弦长公式222|22 9ABrdd可知当可知当距离最大距离最大d时，弦长时，弦长|AB最小最小.又又22|(2 1)(3 1)5dCP，当直线，当直线lCP时时取等号，故取等号，故max5d.所以所以22max|22 954ABrd.故选故选 B B评注评注过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦最短弦.变式变式 1 1 在圆在圆422 yx上上,与直线与直线

16、01234:yxl的距离最小值是的距离最小值是_._.解析解析圆的半径是圆的半径是 2,2,圆心圆心0,0O到到01234:yxl的距离是的距离是512341222d,所所以圆以圆422 yx上上,与直线与直线01234:yxl的距离最小值是的距离最小值是522512d,所以应该所以应该5填填52.例例 9.319.31 已知圆的方程为已知圆的方程为22680 xyxy.设该圆过点设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是的最长弦和最短弦分别是AC和和BD，则四边形，则四边形ABCD的面积为（的面积为（）A.A.10 6B.B.20 6C.C.30 6D.D.40 6解析解析22680 xyx

17、y可化为可化为22(3)(4)25xy，故圆心坐标故圆心坐标(3,4)，半径为半径为 5 5，点点(3,5)在圆内，因为在圆内，因为AC最长，所以最长，所以AC为直径，即为直径，即|10AC，BD最短，且最短，且BD过点过点(3,5)，所以，所以22|2 25(33)(54)4 6BD，所以，所以1|20 62SACBD，故选故选 B B变式变式 1 1 如图所示，已知如图所示，已知AC,BD为圆为圆 O O：224xy的两条相互垂直的弦，垂足为的两条相互垂直的弦，垂足为(1,2)M，则四边形，则四边形ABCD的面积的最大值为的面积的最大值为_._.解析解析设圆心设圆心O到到,AC BD的距离

18、为的距离为12,d d垂足分别为垂足分别为,E F则四边形则四边形OEMF为矩形为矩形，有有22123.dd由平面几何知识知由平面几何知识知2212|2 4,|2 4.ACdBDd所以所以S四边形四边形2222121211|2 42 42 4422ABCDACBDdddd22221212448()835.dddd当且仅当当且仅当1262dd时等号成立时等号成立.即四边形即四边形ABCD面积的最大值为面积的最大值为 5.评注评注一般地，一般地，S四边形四边形1|sinAC,BD.2ABCDACBD 例例 9.329.32已知圆已知圆22:(1)2Cxy，过点，过点(1,0)M 的直线的直线l交圆

19、交圆C于于,A B两点，若两点，若0CA CB （C为圆心为圆心），则直线，则直线l的方程为的方程为_._.解析解析 设直线设直线:(1)l yk x，即，即:l0kxyk则圆心到直线则圆心到直线l的距离为的距离为2|2|1kdk.又又0CA CB ，故故CACB ，即即ABC是等腰三是等腰三角形，角形，2C.所以所以22|2|sin21421kdrk 6即即33k ，故直线，故直线l：310 xy 或或310 xy 变式变式 1 1 已知已知 O O 为平面直角坐标系的原点为平面直角坐标系的原点，过点过点(2,0)M 的直线的直线l与圆与圆221xy交于交于,P Q两点两点.若若12OP O

20、Q ，求直线，求直线l的方程的方程.解析解析解法一解法一：依题意直线依题意直线l的斜率存在的斜率存在，且过点且过点(2,0),M 故设故设:(2).l yk x因为因为,P Q两点在圆两点在圆221xy上，所以上，所以|1,OPOQ 又又1,2OP OQ 所以所以1|cos,2OP OQOP OQPOQ 所以所以2,3POQ故圆心故圆心O到直线到直线l的的距离距离1sin.62dr故故2|2|1,21kdk解得解得15.15k 所以直线所以直线l的方程为的方程为1520 xy或或1520.xy解法二：设直线解法二：设直线l的方程为的方程为(2),yk x联立联立22(2),1yk xxy消消y

21、得得2222(1)4410,kxk xk 设设1122(,y),(,y),P xQ x则则2122222221224331,(4)4(1)(41)0.33411kxxkkkkkkx xk 由由2222121212121212(2)(2)(1)2()4OP OQx xy yx xkxxkx xkxxk 22711,12kk 解得解得15.15k 所以直线所以直线l的方程为的方程为1520 xy或或1520.xy变式变式 2 2 已知圆已知圆C：22(1)(6)25xy上的两点上的两点,P Q关于直线关于直线l:8ykx对称，且对称，且0OP OQ （O为坐标原点为坐标原点），求直线，求直线PQ的

22、方程的方程解析解析设设1122(,y),(,y).P xQ x因因,P Q关于直线关于直线:8l ykx对称，所以直线对称，所以直线:8l ykx过圆心过圆心(1,6)C，即，即68,2,kk 所以直线所以直线PQ的斜率为的斜率为1.27故设直线故设直线PQ的方程为的方程为0.xyc有有22(1)(6)2520 xyxyc消消x得得225(416)2120.ycycc故故22(416)20(212)0,ccc 即即22240,cc122124165.2125cyyccyy 因为因为0,OP OQ 所以所以12120,x xy y即即1212(2)(2)0,ycycy y即即2121252()0

23、y yc yyc把把代入代入得，得，2241621220,5ccccc解得解得5c 或或6,符合符合.故直线故直线PQ的方程为的方程为250 xy或或260.xy题型题型 133133 直线与圆的相切关系直线与圆的相切关系思路提示思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线连线垂直于切线.例例 9.339.33 求经过点求经过点(1,7)与圆与圆2225xy相切的直线方程相切的直线方程.分析分析 将点将点(1,7)代入圆方程得代入圆方程得221(7)5025，知点，知点

24、(1,7)是圆外一点，故只需求是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k，则所求直线方程为，则所求直线方程为7(1)yk x，整 理 成 一 般 式 为，整 理 成 一 般 式 为70kxyk.由 圆 的 切 线 的 性 质，可 得由 圆 的 切 线 的 性 质，可 得2|007|51+kk，化简得，化简得3127120kk，解得，解得43k 或或34k .故所求切线方程为：故所求切线方程为：43250 xy或或34250 xy.解法二解法二：

25、依题意依题意，直线的斜率存在直线的斜率存在，设所求切线方程为设所求切线方程为0025x xy y（00(,)xy是切点是切点），将坐标将坐标(1,7)代入后得代入后得00725xy，由，由00002272525xyxy，解得，解得0043xy 或或0034xy .故所求切线方程为：故所求切线方程为：43250 xy或或34250 xy.8评注评注已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：设切点，用切线公式法；设切点，用切线公式法；设设切线斜率切线斜率，用判别式法用判别式法：设切线斜率设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径用圆心到切线距离等于圆半径.

26、一般地一般地，过圆外一过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式变式 1(131(13江苏江苏 17)17)如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中，点点A A(0,3)(0,3)，直直线线l l：y y2 2x x4.4.设圆设圆C C的半径为的半径为 1 1，圆心在，圆心在l l上上(1)(1)若圆心若圆心C C也在直线也在直线y yx x1 1 上上，过点过点A A作圆作圆C C的切线的切线，求切线求切线的方程；的方程；分析分析求圆的切线方程可依据圆心到切线的距离等于半径长求圆的切线

27、方程可依据圆心到切线的距离等于半径长.解析解析(1)(1)由题设，圆心由题设，圆心C C是直线是直线y y2 2x x4 4 和和y yx x1 1 的交点，解得的交点，解得点点C C(3,2)(3,2)，于是切线的斜率必存在于是切线的斜率必存在 设过设过A A(0,3)(0,3)的圆的圆C C的切线方程的切线方程为为y ykxkx3 3，由题意，得由题意，得|3|3k k1|1|k k2 21 11 1，解得，解得k k0 0 或或3 34 4，故所求切线方程为故所求切线方程为y y3 3 或或 3 3x x4 4y y12120.0.(2)(2)因为圆心在直线因为圆心在直线y y2 2x

28、x4 4 上，所以圆上，所以圆C C的方程为的方程为(x xa a)2 2 y y2(2(a a2)2)2 21.1.设点设点M M(x x，y y)，因为，因为MAMA2 2MOMO，所以所以22(3)xy2 2x x2 2y y2 2，化简得，化简得x x2 2y y2 22 2y y3 30 0，即，即x x2 2(y y1)1)2 24 4，所以，所以点点M M在以在以D D(0(0，1)1)为圆心，为圆心，2 2 为半径的圆上为半径的圆上由题意由题意，点点M M(x x，y y)在圆在圆C C上上，所以圆所以圆C C与圆与圆D D有公共点有公共点，则则|2|21|1|CDCD2 21

29、 1，即即 1 122(23)aa3.3.由由 5 5a a2 21212a a8 80 0，得，得a aR R；由由 5 5a a2 21212a a0 0，得，得 0 0a a12125 5.所以点所以点C C的横坐标的横坐标a a的取值范围为的取值范围为00，12125 5.评注评注求过一定点的圆的切线方程，首先判断点是否在圆上求过一定点的圆的切线方程，首先判断点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点；若若在圆上，则该点为切点；若在圆外在圆外，切线必有两条切线必有两条，一般用圆心到直线的距离等于半径长来解较为简单一般用圆心到直线的距离等于半径长来解较为简单.若求出的斜若求出的斜率只有一个，应

30、找出过这一点与率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线轴垂直的另一条切线.(2)(2)若圆若圆C C上存在点上存在点M M，使，使MAMA2 2MOMO，求圆心，求圆心C C的横坐标的横坐标a a的取值范围的取值范围变式变式 2 2 直线直线l(2)2yk x与圆与圆22:220C xyxy相切，则的一个方向向量为相切，则的一个方向向量为（）A.A.(2,2)B.B.(1,1)C.C.(3,2)D.D.1(1,)2解析解析因为直线因为直线l过定点过定点(2,2),而此定点在圆上，因此可以得出过此切点的切线方程为而此定点在圆上，因此可以得出过此切点的切线方程为2222220,22xyxy

31、 整理为整理为40.xy故选故选.A例例 9.349.34 自点自点(3,3)A 发出的光线发出的光线l射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆轴反射，其反射光线所在直线与圆224470 xyxy相切，求入射光线相切，求入射光线l所在直线的方程所在直线的方程.分析分析利用对称性解决此类反射问题利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称称，也可以使用圆的对称.9解 析解 析已 知 圆已 知 圆22(2)(2)1xy关 于关 于x轴 的 对 称 圆轴 的 对 称 圆C的 方 程 为的 方

32、程 为22(2)(2)1xy，可设光线所在直线方程为可设光线所在直线方程为3(3)yk x，所以直线所以直线l与圆与圆C相切相切，圆心圆心(2,2)C到直线到直线l的距离的距离2|55|11kdk，解得，解得43k 或或34k .所以光线所在的直线所以光线所在的直线l方程为方程为4330 xy或或3430 xy.变式变式 1 1自点自点(3,3)A 发出的光线发出的光线l射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，其反射光线轴反射，其反射光线l所在直线与所在直线与圆圆224470 xyxy相切，求反射光线相切，求反射光线l所在直线的方程所在直线的方程.解析解析点点(3,3)A 关于关于x轴的对称点为轴

33、的对称点为(3,3),A 则反射光线则反射光线l必过必过(3,3),A 如图如图 933 所示所示.设反射光线所在直线方程为设反射光线所在直线方程为3(3),yk x直线直线l与圆与圆C相切，圆心相切，圆心(2,2)C到直线到直线l的距离的距离2|55|1,1kdk解得解得34k 或或4,3所以光线所以光线l所在直线的方程为所在直线的方程为3430 xy或或4330.xy评注评注当然，例当然，例 9.34 中也可以使用对称点的求解方法，先求出反射光线所在的直线方程中也可以使用对称点的求解方法，先求出反射光线所在的直线方程，再利用入射光线与反射光线关于轴对称特征再利用入射光线与反射光线关于轴对称

34、特征，求出所求入射光线的直线方程求出所求入射光线的直线方程.通过例通过例 9.34和其变式题和其变式题，我们可以领会到入射光线与反射光线的求解是不同的我们可以领会到入射光线与反射光线的求解是不同的，其依据就是便于所其依据就是便于所求直线方程的求解求直线方程的求解.10变式变式 2 2(2016新课标全国新课标全国，6)圆圆 x2y22x8y130 的圆心到直线的圆心到直线 axy10 的距的距离为离为 1，则则 a()A.43B.34C.3D.2解析解析由圆的方程由圆的方程 x2y22x8y130 得圆心坐标为得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式得得d|1a41|

35、1a21，解之得，解之得 a43.答案答案 A题型题型 134134 直线与圆的相离关系直线与圆的相离关系思路提示思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题半径长的问题.例例 9.359.35（1 1）直线）直线:1l yx的点到圆的点到圆22:4240C xyxy上的点的距离最小值上的点的距离最小值是是_._.（2

36、 2）由直线由直线1yx上的点向圆上的点向圆22(3)(2)1xy引切线引切线，则切线长的最小值为则切线长的最小值为（）A.A.17B.B.3 2C.C.19D.D.2 5分析分析过直线过直线1yx上任意一点向圆上任意一点向圆22(3)(2)1xy引切线引切线PQ，即可得到，即可得到2221111|1PQOQ PQO POQO P，那么那么，当切线长当切线长PQ取最小值时取最小值时，即即1O P取最小值取最小值.解析解析（1 1）圆）圆C可化为可化为22(2)(1)1xy，故圆心，故圆心(2,1)C 到直线到直线1yx的距离的距离22|2 1 1|2 211d ，则所求距离最小值为，则所求距离

37、最小值为2 21dr（3 3）过过1O作作1O H垂直于直线垂直于直线1yx于点于点H，过过H作作HR相切圆相切圆1O与与R，连接连接1O R，则 切 线 长 的 最 小 值 为则 切 线 长 的 最 小 值 为|HR，圆 心，圆 心(3,2)到 直 线到 直 线10 xy 的 距 离的 距 离22|32 1|3 211d，|17HR，故选，故选 A.A.变式变式 1 1 已知点已知点P是直线是直线40(0)kxyk上一动点，上一动点，,PA PB是圆是圆22:20C xyy的两切线，的两切线，,A B是切点，若四边形是切点，若四边形PACB的最小面积是的最小面积是 2 2，则，则k的值为（的

38、值为（）11A.A.3 3B.B.212C.C.2 2D.D.2 2分析分析利用数形结合思想求解四边形利用数形结合思想求解四边形PACB面积的最小值面积的最小值.解析解析如图如图 9 93434 所示，连接所示，连接,PC则则122|.2PACAPBCSSACPAPA四边形四边形四边形PACB面积的最小值转化为切线长面积的最小值转化为切线长|PA的最小值的最小值.过过C作作CH垂直于直线垂直于直线40kxy于点于点,H过点过点H作作HR切圆于点切圆于点,R连接连接,CR那么那么切线长的最小值为切线长的最小值为|,HR且且222|1.HRCHCRCH因为因为222252524|,|1,111kC

39、HHRkkk 所以所以22242,1kk得得24,k 又因为又因为0,k 所以所以2.k 故选故选.D评注评注若将本题中四边形若将本题中四边形PACB的最小面积是的最小面积是 2 2 改为四边形改为四边形PACB的最小周长是的最小周长是 6 6，实际实际上情形一致上情形一致.因为四边形因为四边形PACB周长的最小值周长的最小值，可转化为切线长的最小值可转化为切线长的最小值，这与例这与例 9.39.35 5变式变式 1 1 在本质上是一致的在本质上是一致的.变式变式 2 2已知圆已知圆22:1O xy和定点和定点(2,1)A，由圆，由圆O外一点外一点(,)P a b向圆向圆O引切线引切线PQ，切

40、点为切点为Q，且满足，且满足|PQPA.（1 1）求实数）求实数,a b间满足的等量关系；间满足的等量关系；（2 2）求线段）求线段PQ长的最小值长的最小值.解析解析(1)(1)如图如图 9 93535 所示，连接所示，连接,OP因为点因为点Q为切点，为切点，,PQOQ由勾股定理有由勾股定理有2222|,PQPAOPOQ即即22222()2(2)(1),abab化简得化简得230.ab (2)解法一：如图解法一：如图 935 所示，由所示，由230ab 得，得，23.ba 22222642 5|1(23)15(555PQabaaa ），当当65a 时取等号，即时取等号，即min2 5|.5PQ

41、解法二解法二：依题意依题意，过过O点作点作OP 直线直线230ab 于点于点,P12过点过点P作作PQ切圆于点切圆于点,Q则此时则此时PQ的长度最小，的长度最小，2min|1,PQOP由由|3|,5OP得得min2 5|.5PQ题型题型 135135圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系思路提示思路提示已知两圆半径分别为已知两圆半径分别为12,r r，两圆的圆心距为，两圆的圆心距为d，则：，则：（1 1）两圆外离两圆外离12rrd；（2 2）两圆外切）两圆外切12rrd；（3 3）两圆相交）两圆相交1212|rrdrr；（4 4）两圆内切）两圆内切12|rrd；（5 5）两圆内含）两圆内含12|rr

42、d；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例例 9.369.36 圆圆221:20Oxy和圆和圆222:40Oxyy的位置关系是（的位置关系是（）A.A.外离外离B.B.相交相交C.C.外切外切D.D.内切内切分析分析判断圆心距与两圆半径的关系判断圆心距与两圆半径的关系解析解析由圆由圆221:20Oxy得得1(0,0)O，12r，圆圆222:40Oxyy得得2(0,2)O，22r，121212|2rrOOrr，两圆相交，故选，两圆相交，故选 B.B.变式变式 1 1(2016山东山东，7)已知圆

43、已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线截直线 xy0 所得线段的长度所得线段的长度是是2 2，则圆则圆 M 与圆与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是的位置关系是()A.内切内切B.相交相交C.外切外切D.相离相离解析解析 圆圆 M：x2(ya)2a2，圆心坐标为圆心坐标为 M(0，a)，半径，半径 r1为为 a，圆心圆心 M 到直线到直线 xy0 的距离的距离 d|a|2，由几何知识得，由几何知识得|a|22(2)2a2，解得，解得 a2.M(0，2)，r12.又圆又圆 N 的圆心坐标的圆心坐标 N(1，1)，半径，半径 r21，|MN|（10）2（12）2 2，r1r23，r1

44、r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选两圆相交，故选 B.13变式变式 2 2 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点(0,3)A，直线，直线l：24yx，设圆，设圆C的半径为的半径为 1 1，圆心在圆心在l上，上，（1 1）若圆心若圆心C也在直线也在直线1yx上，过点上，过点A作圆作圆C的切线，求切线方程；的切线，求切线方程；（2 2）若圆若圆C上上存在点存在点 M M，使，使2,MAMO求求圆心圆心 C C 的的横坐标横坐标a的取值范围。的取值范围。分析分析(1)(1)两直线交点即为圆心两直线交点即为圆心，从而可得圆从而可得圆C的方程的方程，然后求出切线方程然后求出切

45、线方程；(2)由题意建立由题意建立关于关于a的方程，通过方程有解求得的方程，通过方程有解求得a的取值范围的取值范围.解析解析(1)(1)由题设由题设，圆心圆心C是直线是直线24yx和和1yx的交点的交点，解得点解得点(3,2),C于是切线于是切线斜率必存在斜率必存在.设过点设过点(0,3)A的圆的圆C的切线方程为的切线方程为3.ykx由题意得由题意得2|31|1,1kk解得解得0k 或或3,4k 故所求切线方程为故所求切线方程为3y 或或34120.xy(2)因为圆心在直线因为圆心在直线24yx上，所以圆上，所以圆C的方程为的方程为22()2(2)1.xaya设点设点(,),M x y因为因为

46、2,MAMO所以所以2222(3)2,xyxy化简得化简得22230,xyy即即22(1)4,xy所以点所以点M在以在以(0,1)D为圆心，为圆心，2为半径的圆上为半径的圆上.由题意，点由题意，点(,)M x y在圆在圆C上，所以圆上，所以圆C与圆与圆D有公共点，则有公共点，则|2 1|CD2 1,即即221(233.aa）整理得整理得285120.aa 由由251280aa得得,aR由由25120,aa得得120.5a所以点所以点C的横坐标的横坐标a的取值范围是的取值范围是120,.5例例 9.379.37 已知两圆已知两圆222610 xyxy 和和2210120 xyxym（1 1）m取

47、何值时两圆外切取何值时两圆外切.（2 2）m取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？（3 3）求）求45m 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析分析 把两圆的一般方程化为标准方程把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距求两圆的圆心距d，判断判断d与与Rr，Rr的关系的关系，再用圆的几何性质分别解决（再用圆的几何性质分别解决（2 2）（3 3）问）问.解析解析两圆的标准方程分别为两圆的标准方程分别为22(1)(3)11xy，22(5)(6)61,(61)xym m，圆心分别为圆心分别为(1,3),(

48、5,6)MN，半径分别为，半径分别为11和和61m，14（1 1）当两圆外切时，当两圆外切时，22(5 1)(63)1161m，解得，解得25 10 11m（2 2）当两圆内切时，因定圆的半径当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距小于两圆圆心距 5 5，故只有，故只有61115m，解 得，两 圆 方 程解 得，两 圆 方 程222610 xyxy 与与2210120 xyxym，相 减 得，相 减 得861 25 10 110 xy 代入，得代入，得43135 110 xy.（3 3）两圆的公共弦所在直线方程为两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0 xyxyxyx

49、y，即即43230 xy，所以公共弦所以公共弦长为长为2222|43 323|2(11)()2 743 .评注评注应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式变式 1 1 已知圆已知圆M:22(1)1xy,圆圆N:22(1)9xy,动圆动圆P与与M外切并且与圆外切并且与圆N内切，圆心内切，圆心P的轨迹为曲线的轨迹为曲线 C.C.（）求）求 C C 的的方程；方程；（）l是与圆是与圆P,圆圆M都相切的一条直线，都相切的一条直线，l与曲线与曲线 C C 交于交于 A A，B B 两点，当圆两点，当圆 P P 的半径最

50、的半径最长长时时，求，求|AB|.|AB|.解析解析由已知得圆由已知得圆M的圆心为的圆心为M（-1-1，0 0）,半径半径1r=1=1，圆圆N的圆心为的圆心为N(1,0),(1,0),半径半径2r=3.=3.设动圆设动圆P的圆心为的圆心为(,)P x y，半径为，半径为R.R.（）圆圆P与圆与圆M外切且与圆外切且与圆N内切，内切，|PM|+|PN|=|PM|+|PN|=12()()RrrR=12rr=4=4，由椭圆的定义可知，曲线由椭圆的定义可知，曲线C C是以是以M M，N N为左右焦点，场半轴长为为左右焦点，场半轴长为2 2，短半轴长为，短半轴长为3的椭圆的椭圆(左左顶点除外顶点除外)，其