广东省部分学校2023届高三上学期入学摸底联考数学试题含答案.pdf

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1、2023 届新高三摸底联考 数学试题 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(,23,)A=+,则()A=RZ A.2,1,0,1,2,3 B.2,1,0,1,2 C.1,0,1,2,3 D.1,0,1,2 2.已知命题()2:0,),ln10pxx+,则p为 A.()2(,0),ln10 xx +B.()20,),ln10 xx+C.()2(,0),ln10 xx +D.()20,),ln10 xx+3.已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点(4,0)A,沿以O为圆心,4 为半径的圆周按逆时针方向匀

2、速运动到B点,设B在x轴上的射影为C,则C点的坐标为 A.(4sin,0)AOB B.(4|sin|,0)AOB C.(4cos,0)AOB D.(4|cos|,0)AOB 4.周髀算经中有这么一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,小寒、雨水、清明日影长之和为 28.5 尺,则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为 A.25.5 尺 B.34.5 尺 C.37.5 尺 D.96 尺 5.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12FF、,若C上存

3、在无数个点P,满足:122FPF,则ba的取值范围为 A.30,2 B.3,12 C.2,12 D.20,2 6.在 ABG中,已知 31,83BEBG AFAG AE=与BF交于O,则 AO=A.2173ABBG+B.43510ABBG+C.43714ABBG+D.34147ABBG+7.若51sin4,log 3,lg6,lg15abcd=,则 A.bcda B.adbc C.abcd D.abdc 8.一个电路如图所示，,A B C D E F G7 个开关，其闭合的概率均为23，且是相互独立的，则灯亮的概率是 A.75513 B.71113 C.7233 D.553 二、多选题:本题共

4、 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.若复数z满足(2i)86iz z+=+,则 A.z的实部为 3 B.z的虚部为 1 C.10zz=D.z在复平面上的点位于第一象限 10.若直线0 xym+=与圆22:(1)(2)9Cxy+=交于,A B两个不同的点,且2ACB=,则m的值为 A.0 B.5 C.6 D.-6 11.已知 0,1aab=,则 A.2ab+B.lg lg0ab C.22114abab+D.332ab+12.在四棱锥PABCD中,已知3211,36ABBDADBCC

5、DPAPBPCPD=,则 A.四边形ABCD内接于一个圆 B.四棱锥PABCD的体积为 336 C.四棱锥PABCD外接球的球心在四棱锥PABCD的内部 D.四棱锥PABCD外接球的半径为712 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.223sinsin88的值为_.14.已知函数()f x是奇函数,且最小正周期为2,则()f x=_.(写出符合的一个答案即可).15.“全员检测,阻断清零”的新冠防疫政策,使得我国成为全球最安全的国家。现某处需要三组 全民核酸检测人员,其中有 3 名医生和 6 名社会志愿者组成,每组人员由 1 名医生和 2名志愿者组成。根据需要,志愿

6、者甲与乙要分配在同一组,则这 9 名检测人员分组方法种数为_.16.已知函数()g x的图象与函数2()(0,)f xxx=+的图象关于直线yx=对称,将函数()g x图象右移 2 个单位,下移 2 个单位得到函数()h x的图象,若,P Q分别为函数(),()f x h x图象上的两个动点,则这两点间距离的最小值为_.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知数列 na满足 1221,3,2,3,nnnanaaaa n+=为奇数为偶数.(1)求数列 na的通项公式;(2)求数列 na的前2n项的和2nS.18.

7、(本小题满分 12 分)随着人们生活水平的提高,国家倡导绿色安全消费,菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果,某科研单位用西红柿做了对比实验,分别在两片实验区各摘取 100 个,对其质量的某项指标值进行检测,质量指数值达到 35 及以上的为“质量优等”,由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是:20,25),25,30),30,35),35,40),40,45.(1)请根据题中信息完成下面的列联表,并判断是否有 99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关;甲有机肥料 乙有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计 (2)在摘取的

8、用乙种有机肥料的西红柿中,从“质量优等”中随机选取 2 个,记区间40,45中含有的个数为X,求X的分布列及数学期望.附：22().()()()()n adbcab cd ac bd=+()20Px 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 0 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.(本小题满分 12 分)在ABC中,角,A B C的对边分别为,(3sin2cos)sin(2sinsin)cosa b cCABACB=.(1)求B的大小;(2)若2243,acABC+=+的面积为334+,求ABC的周长.20.(本小题满分 12 分)如图,在

9、长方体1111ABCDABC D中,15,4ABBCCC=.若平面APSB与棱11,DD CC分别交于,P S,且(04),DPaaQ R=分别为棱 1,BB BC上的点,且11BQBR=.(1)求证:平面1PB R 平面11C DQ；(2)求平面APSB与平面11C DQ所成的夹角的余弦的最小值.21.(本小题满分 12 分)设函数()cossin,0,22f xaxxx x=.(1)当1a=时,求函数()f x的导函数()fx的值域;(2)如果()0f x恒成立,求实数a的最大值.22.(本小题满分 12 分)设直线xm=与双曲线22:(0)3yC xm m=的两条渐近线分别交于,A B两

10、点,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值;(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点,M N M关于x轴的对称点为,MF为C的右焦点,若,MF N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点.2023 届新高三摸底联考 数学参考答案 选择题部分：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A D C C A ABD AD AD AD 填空题：13.2214.()sin4f xx=或()tan2f xx=（答案不唯一）15.18 16.7 24解答题：17.解:(1)当n为奇数时,21nnaa+=,所以所有奇数项构成以13a=为首项,公差

11、为-1的等差数列,所以173(1)22nnan=+=,当n为偶数时,23nnaa+=,所以所有偶数项构成以22a=为首项,公比为 3 的等比数列,所以 2na=222(3)2 3nn=,所以 227,2.2 3,nnnnan=为奇数为偶数(2)(2122135nnSaaaaaa=+=+)()21242(1)(1)32nnn naaaan+=+()22 1 3(7)173131 3222nnnn nnn=+=+1 18.解:(1)由题意可得2 2列联表为:甲有机肥料乙有机肥料合计 质量优等 60 30 90 质量非优等 40 70 110 合计 100 100 200 则 222()200(42

12、00 1200)20018.18210.828.()()()()100 100 110 9011n adbcab cd ac bd=+所以有 99.9%的把握认为,“质量优等”与使用不同的肥料有关.(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有 30 个,区 间 40,45中含有 10 个,随机变量X的可能取值有 0,1,2,02111020102022303019038(0),(1)43587C CC CP XP XCC=2004043587=210230459(2),43587CP XC=随机变量X的分布列如下:X0 1 2 P38874087987由题意可知随机变量X满足超几何分布(2,10,

13、30)XH,所以2 102303nMEXN=或 384092()0128787873E X=+=19.解：（1）因为(3sin2cos)sin(2sinsin)cosCABACB=,所以3sinsin2cossin2sincossinCosCBABABB=,所以 sin(3sincos)2sincos2cossinCBBABAB+=+,所以sin(3sincos)2sin()CBBAB+=+因为sin(3sincos)2sinCBBC+=.因为sin0C,所以3sincos2BB+=所以2sin26B+=,所以 sin16B+=,因为 0B,所以3B=.(2)因为ABC的面积为334+,所以1

14、33sin24acB+=,因为3B=,所以 31ac=+,因为 2243ac+=+,所以 63 22ac+=,在ABC中,由余弦定理得,222cos(43)2(31)cos3,3bacacB=+=+=所以ABC的周长为 62 33 22abc+=20.解:(1)在长方体1111ABCDABC D中,因为11DC 平面 111,BBC C B R 平面11BBC C,所以 111B RDC因为1111,BQBR BCBB=所以 111111tantan,BB RBCQBB RBCQ=.所以11B RC Q.因为1111CQDCC=,所以1B R 平面 11C DQ因为1B R 平面1PB R,所

15、以平面1PB R 平面11C DQ(2)以D为坐标原点,射线 1,DA DC DD分别为,x y z轴建立坐标系,因为/ABCD,所以/AB平面11CDDC,又平面 11CDDC 平面ABSPSP=,所以/ABSP,所以/CDSP,所以 SCDPa=,因为 15,4,1ABBCCCBR=,所以 1(0,0,),(4,0,0),(0,5,),(4,5,4),(3,5,0)PaASa BR,所以(4,0,),(0,5,0)PAa PS=设平面APSB的法向量为(,)x y z=n,所以 40,50 xazy=不妨设(,0,4)a=n其中0,4a,由（1）得平面11C DQ的法向量为1(1,0,4)

16、B R=，设平面APSB与平面11C DQ所成的夹角为，则121116cos1617B RaB Ra+=+nn令16at+=,则111160,4,16,20,20 16attt=,所以 2|cos|1732272ttt=+2127232171tt=+21111172721717t=+所以当且仅当20,4ta=时,|cos|取得最小值为5 3434.21.解:()sinsincos(1)sincos22fxaxxxxaxxx=+=+,(1)当1a=时,()cos2fxxx=,令()cos2g xxx=,所以()cossin02g xxxx=,所以()g x在0,2单调递减,所以0()(0)22g

17、g xg=,所以()fx的值域为0,2(2)方法一:若()0,0,2f xx恒成立,首先(0)0,0 02faf=,所以 0a,当 1a时,因为0,2x,所以()(1)sincos02fxaxxx=+,所以函数()cossin2f xaxxx=在 0,2时单调递增,所以()02f xf=当 10a 时,令()()(1)sincos2h xfxaxxx=+所以()(2)cossin02h xaxxx=+,所以()(1)sincos2h xaxxx=+在0,2上单调递减，所以(1)()()(0)22ahh xh+=所以()()(1)sincos2h xfxaxxx=+在 0,2存在一个零点0 x,

18、当 0,2xx时,()0fx,所以()f x单调递减,所以()02f xf=即()0f x不恒成立.综上:所以 1a，则实数a的最大值为-1.(12 分)方法二:()cossin,()2f xaxxx fx=+=cos(1)sin2xxax+，02f=,且()0f x恒成立,则 02f(1)0,12faa=+现证明当1a,原式恒成立,()cossincos2f xaxxxx=+sin()2xxt x=,()sincos2t xxxx=,()cos02t xxx=,即()t x在0,2x单调递增,()02t xt=,()()0f xt x,原式成立.max1,1.aa=22.解:(1)双曲线 2

19、2:(0)3yC xm m=的渐近线方程为 3yx=,因为三角形OAB的面积为3,所以 12|sin323OA OB=,所以 233m=,又 0m,所以 1m=.(2)双曲线C的方程为 22:13yC x=,所以右焦点F的坐标为(2,0),若直线l与x轴交于点(,0)p,故可设直线l的方程为()(0)yk xp k=,设()()1122,M x yN xy,则()11,Mxy,联立 22()13yk xpyx=,得()()222223230kxpk xk p+=,230k且()()()2222224 330pkkk p=+,化简得23k 且()22130pk+,所以 22212122223,33pkk pxxx xkk+=因为直线MN的斜率存在,所以直线M N的斜率也存在,因为,MF N三点共线,所以 FNM Fkk=,即 121222yyxx=,即()()122122yxyx=,所以()()()()122122k xpxk xpx=因 为0k,所 以()()()()1221220,xpxxpx+=所以()1 2122(2)40 x xpxxp+=,所以 22222322(2)4033k ppkppkk+=化简得12p=,所以MN经过x轴上的定点1,0.2