河北省衡水市重点高中2023届高三上学期摸底联考数学试题含答案.pdf

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1、2023 届新高三摸底联考届新高三摸底联考 数学试题数学试题 本试卷共 4 页，22 题全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小

2、题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合(,23,)=+A，则()=ZRA（）A 2,1,0,1,2,3 B 2,1,0,1,2 C 1,0,1,2,3 D 1,0,1,2 2已知命题()2:0,),ln10+pxx，则p为（）A()2(,0),ln10 +xx B()20,),ln10+xx C()2(,0),ln10 +xx D()20,),ln10+xx 3已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点(4,0)A，沿以 O 为圆心，4 为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到 B 点，设

3、B 在 x 轴上的射影为 C，则 C 点的坐标为（）A(4sin,0)AOB B(4|sin|,0)AOB C(4cos,0)AOB D(4|cos|,0)AOB 4 周髀算经中有这么一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为 31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为 28.5 尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A25.5 尺 B34.5 尺 C37.5 尺 D96 尺 5已知椭圆2222:1(0)+=xyCabab的左右焦点分别为12、FF，若 C 上存在无数个点 P，满

4、足：122FPF，则ba的取值范围为（）A30,2 B3,12 C2,12 D20,2 6在ABG中，已知31,83=BEBG AFAG，AE与BF交于 O，则=AO（）A2173+ABBG B43510+ABBG C43714+ABBG D34147+ABBG 7若51sin4,log 3,lg6,lg15=abcd，则（）Abcda Badbc Cabcd Dabdc 8一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F，G 为 7 个开关，其闭合的概率均为23，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A75513 B71113 C7233 D553 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题

5、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9若复数 z 满足之(2i)86i+=+z z，则（）Az 的实部为 3 Bz 的虚部为 1 C10=zz Dz 在复平面上的点位于第一象限 10若直线0+=xym与圆22:(1)(2)9+=Cxy交于 A，B 两个不同的点，且2=ACB，则 m的值为（）A0 B5 C6 D6 11已知0,1=aab，则（）A2+ab Blg lg0ab C22114+abab D3

6、32+ab 12 在四棱锥PABCD中，已知1=ABBDAD，33=BCCD，216=PAPBPCPD，则（）A四边形ABCD内接于一个圆 B四棱锥PABCD的体积为336 C四棱锥PABCD外接球的球心在四棱锥PABCD的内部 D四棱锥PABCD外接球的半径为712 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13223sinsin88的值为_ 14已知函数()f x是奇函数，且最小正周期为2，则()=f x_（写出符合的一个答案即可）15“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家现某处需要三组全民核酸检测人员，其

7、中有 3 名医生和 6 名社会志愿者组成，每组人员由 1 名医生和 2 名志愿者组成根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这 9 名检测人员分组方法种数为_ 16已知函数()g x的图象与函数2()(0,)=+f xxx的图象关于直线=yx对称，将函数()g x图象右移 2 个单位，下移 2 个单位得到函数()h x的图象，若 P，Q 分别为函数(),()f x h x图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 1

8、0 分）已知数列 na满足1221,3,2,3,+=为奇数为偶数nnnanaaaa n（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 na的前2n项的和2nS 18（本小题满分 12 分）随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取 100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到 35 及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图其中质量指数值分组区间是：20,25),25,30),30,35),35,40),40,45 （1）请根据题中信息完成

9、下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料 乙有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计 （2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取 2 个，记区间40,45中含有的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望，附：22()()()()()=+n adbcab cdac bd()20Px 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 0 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19（本小题满分 12 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(3sin2cos)sin(2si

10、nsin)cos=CABACB（1）求B的大小；（2）若2243+=+ac，ABC的面积为334+，求ABC的周长 20（本小题满分 12 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，15,4=ABBCCC若平面APSB与棱1DD，1CC分别交于P，S，且(04)=DPaa，Q，R 分别为棱1,BB BC上的点，且11=BQBR （1）求证：平面1PB R平面11C DQ；（2）求平面APSB与平面11C DQ所成的夹角的余弦的最小值 21（本小题满分 12 分）设函数()cossin,0,22=f xaxxx x（1）当1=a时，求函数()f x的导函数()fx的值域；（2）如果()0f

11、 x恒成立，求实数 a 的最大值 22（本小题满分 12 分）设直线=xm与双曲线22:(0)3=yC xm m的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且三角形OAB的面积为3（1）求 m 的值；（2）已知直线 l 与 x 轴不垂直且斜率不为 0，l 与 C 交于两个不同的点 M，N，M 关于 x 轴的对称点为M，F 为 C 的右焦点，若M，F，N 三点共线，证明：直线 L 经过 x 轴上的一个定点 2023 届新高三摸底联考届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 一、单选题一、单选题 1D 【解析】()(2,3)1,0,1,2=ZZRA故选 D 2B 【解析】()2:0,

12、),ln10+pxx故选 B 3C 【解析】由三角函数的定义得，C 点的坐标为(4cos,0)AOB故选 C 4A 【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列 na，公差为 d，由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为14731.5+=aaa，小寒、雨水、清明日影长之和为25828.5+=aaa，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为369+aaa，所以()()369258147225.5+=+=aaaaaaaaa故选 A 5 D 【解析】设椭圆的半焦距为 c，因为 C 上存在无数个点 P 满足：122FPF，所以cb，所以22ab222abb，所以202ba故选 D 6C 【解析】如图，过 E 作直线

13、EHBF交AG于 H，因为38=BEBG，所以35=FHBEHGEG，因为13=AFAG，所以设1=AF，则2=FG，所以33284=FH，因为EHBF，所以143714=+AOAFAEAH，所以4443()7778=+=+AOAEABBEABBG43714=+ABBG 故选 C 7C 【解析】因为342，所以sin40，即0a，令5log(3)(1)=xyxx，所以2ln(3)ln(5)ln(3)0ln(5)ln(5)=xxxyxxx，所以5log(3)=xyx在1,)+上单调递增，所以5100log 3log 615log 9，所以5151510log 3lg6log 9log 10lg1

14、5=，所以0abcd 故选 C 8 A 【解析】电路由上到下有 3 个分支并联，开关 A，B 所在的分支不道的概率为2251339=，开关 C，D 所在的分支不通的概率为111339=，开关 E，F，G 所在的分支不通的概率为211111133327=，所以灯亮的概率是75111551199273=故选 A 二、多选题二、多选题 9ABD 【解析】设i(,)=+Rzab a b，因为(2i)86i+=+z z，所以2i86i+=+zzz，所以()2222 i86i+=+abba，所以2228,26+=abba，所以3,1=ab，所以3i=+z，所以 z 的实为 3，虚部为 1，所以 A，B 正

15、确；2|10=zzz，所以 C 不正确；z 在复平面上的点(3,1)位于第一象限，故 D 正确故选 ABD 10 AD 【解析】圆C的半径为3，设圆心C到直线0+=xym的距离为d，则|1(2)|3|22+=mmd，因为2=ACB，所以232=d，所以|3|3 222+=m，0=m或6=m故选 AD 11AD 【解析】因为0,1=aab，所以0b，选项 A：因为1=ab，所以22+=abab，当且仅当1=ab时等号成立，故正确；选项 B：因为22lglglg()lg lg022+=ababab，当且仅当1=ab时等号成立，故不正确；选项 C：因为22221111()+=+baabababab1

16、 12+a b2224=baab，所以22114+abab，当且仅当1=ab时等号成立，故不正确；选项 D：332()()3+=+ababab，令+=abt，则2t，令()2333=yt ttt，所以2330=yt，所以()2333=yt ttt在2t时单调递增，所以323 22=y，所以332+ab，故 D 正确故选 AD 12 AD 【解析】选项 A：由已知=ABBDAD得三角形ABD为正三角形，又1=BD，33=BCCD，所以23=BCD，且2=ABCADC，所以 A，B、C、D 四点共圆，故正确；选项 B：由上得 A、B、C、D 四点共圆，设圆心为1O，2 33=AC，所以1323=A

17、CO A，设点 P 在平面ABCD的投影为2O，因为216=PAPBPCPD，所以2222=O AO BO CO D，即2O为四边形ABCD的外接圆的圆心，所以12,O O重合，所以1PO平面ABCD，2212131632=PO，所以四棱锥PABCD的体积为1113131333218=ABCDSPO，故不正确；选项 C：设四棱锥PABCD外接球的球心为O，因为1PO平面ABCD，且1111=O AO BOCO D，所以球心 O 在1PO上，设1=OOh，所以()22211+=O AhPOh，所以2223132+=hh，解得112=h，所以球心 O 在1PO的延长线上，所以四棱锥PABCD外接球

18、的球心在四棱锥PABCD的外部，故不正确；选项 D：四棱锥PABCD外接球的半径为1171212=+=POPO，所以 D 正确故选 AD 三、填空题三、填空题 1322 【解析】由题意，222232sinsincossincos888842=故答案为22 14()sin4=f xx或()tan2=f xx（答案不唯一）1518 【解析】志愿者分组情况有24223=CA种，搭配 3 名医生，33318=A种故答案为 18 167 24 【解析】由已知得，将(),()f x g x图象的对称轴=yx右移 1 个单位再下移 1 个单位，即得到函数(),()f x h x图象的对称轴为直线(1)1=y

19、x即2=yx，所以 P，Q 两点之间距离的最小值等于 P到直线2=yx距离最小值的2倍，函数2=yx的图象在()00,P xy点处的切线斜率为02=kx，令021=x，得0011,24=xy，所以 P 到直线2=yx距离的最小值为1127 22482=d，所以这两点之间距离的最小值为7 224=d故答案为7 24 四、解答题四、解答题 17解：（1）当 n 为奇数时，21+=nnaa，所以所有奇数项构成以13=a为首项，公差为1的等差数列，所以173(1)22=+=nnan，当 n 为偶数时，23+=nnaa，所以所有偶数项构成以22=a为首项，公比为 3 的等比数列，所以2222(3)23=

20、nnna，所以227,223,=为奇数为偶数nnnnan，（2）()()212213521242=+=+=nnnnSaaaaaaaaaa(1)(1)32+n nn()22 13(7)17313113222=+=+nnnn nnn 18解：（1）由题意可得2 2列联表为：甲有机肥料 乙有机肥料 合计 质量优等 60 30 90 质量非优等 40 70 110 合计 100 100 200 则22()()()()()=+n adbcab cdac bd2200(42001200)20018.18210.828100 100 1109011=所以有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有

21、关（2）由频率分布直方图可得“质量优等”有 30 个，区间40,45中含有 10 个，随机变量 X 的可能取值有 0，1，2，02102023019038(0)43587=C CP XC，11102023020040(1)43587=C CP XC，210230459(2)43587=CP XC，随机变量 X 的分布列如下：X 0 1 2 P 3887 4087 987 由题意可知随机变量 X 满足超几何分布(2,10,30)XH，所以2 102303=nMEXN（或384092()0128787873=+=E X）19解：（1）因为(3sin2cos)sin(2sinsin)cos=CABA

22、CB，所以3sinsin2cossin2sincossincos=CBABABCB，所以sin(3sincos)2sincos2cossin+=+CBBABAB，所以sin(3sincos)2sin()+=+CBBAB，因为sin(3sincos)2sin+=CBBC，因为sin0C，所以3sincos2+=BB，所以2sin26+=B，所以sin16+=B，因为0B，所以3=B（2）因为ABC的面积为334+，所以133sin24+=acB，因为3=B，所以31=+ac，因为2243+=+ac，所以63 22+=ac，在ABC中，由余弦定理得，222cos=+bacacB(43)2(31)c

23、os33=+=，所以ABC的周长为62 33 22+=abc 20解：（1）在长方体1111ABCDABC D中，因为11DC平面11BBC C，1B R平面11BBC C，所以111B RDC，因为1111,=BQBR BCBB，所以111tantan=BB RBCQ，111=BB RBCQ，所以11B RCQ，因为1111=CQDCC，所以1B R平面11C DQ；因为1B R平面1PB R，所以平面1PB R平面11C DQ（2）以 D 为坐标原点，射线1,DA DC DD分别为 x，y，z 轴建立坐标系，因为ABCD，所以AB平面11CDDC，又平面11CDDC平面=ABSPSP，所以

24、ABSP，所以CDSP，所以=SCDPa，因为5=AB，14=BCCC，1=BR，所以(0,0,)Pa，(4,0,0)A，(0,5,)Sa，1(4,5,4)B，(3,5,0)R，所以(4,0,),(0,5,0)=PAa PS，设平面APSB的法向量为(,)=nx y z，所以40,50=xazy，不妨设(,0,4)=na，其中0,4a，由（1）得，平面11C DQ的法向量为1(1,0,4)=B R，设平面APSB与平面11C DQ所成的夹角为，则121|16|cos|1617=+n B Ran B Ra2161617+aa，令16+=at，则111160,4,16,20,20 16=attt，

25、所以2|cos|1732272=+ttt2127232171=+tt21111172721717=+t，所以当且仅当20,4=ta时，|cos|取得最小值为5 3434 21解：()sinsincos2=+=fxaxxxx(1)sincos2+axxx，（1）当1=a时，()cos2=fxxx，令()cos2=g xxx，所以()cossin02=g xxxx，所以()g x在0,2单调递减，所以0()(0)22=gg xg，所以()fx的值域为0,2（2）方法一：若()0,0,2f xx恒成立，首先(0)0,002=faf，所以0a，当1 a时，因为0,2x，所以()(1)sincos02=

26、+fxaxxx，所以函数()cossin2=f xaxxx在0,2时单调递增，所以()02=f xf，当10 a时，令()()(1)sincos2=+h xfxaxxx，所以()(2)cossin02=+h xaxxx，所()(1)sincos2=+h xaxxx在0,2上单调递减 所以(1)()(0)22+=ahh xh，因为10 a，所以1(1)0 +a，所以()()(1)sincos2=+h xfxaxxx在0,2存在一个零点0 x，当0,2xx时，()0fx，所以()f x单调递减，所以()02=f xf，即()0f x不恒成立 综上：所以1 a则实数 a 的最大值为1 方法二：()c

27、ossin2=+f xaxxx，()cos(1)sin2=+fxxxax，02=f，且()0f x恒成立，则02f(1)02=+fa，1 a，现证明当1 a，原式恒成立，()cossincossin()22=+=f xaxxxxxxt x，()sincos2=t xxxx，()cos02=t xxx，即()t x在0,2x单调递增，()02=t xt成立，()()0f xt x，原式成立 1 a，max1=a 22解：（1）双曲线22:(0)3=yC xm m的渐近线方程为3=yx，因为三角形OAB的面积为3，所以12|sin323=OA OB，所以233=m，又0m，所以1=m（2）双曲线

28、C 的方程为22:13=yC x，所以右焦点 F 的坐标为(2,0)，若直线 l 与 x 轴交于点(,0)p，故可设直线 l 的方程为()(0)=yk xp k，设()()1122,M x yN xy，则()11,Mxy，联立22()13=yk xpyx，得()()222223230+=kxpk xk p，230k且()()()2222224 330=+pkkk p，化简得23k且()22130+pk，所以22212122223,33+=pkk pxxx xkk，因为直线MN的斜率存在，所以直线M N的斜率也存在，因为M，F，N 三点共线，所以=M FFNkk，即121222=yyxx，即()()122122=yxyx，所以()()()()122122=k xpxk xpx，因为0k，所以()()()()1221220+=xpxxpx，所以()12122(2)40+=x xpxxp，所以22222322(2)4033+=k ppkppkk，化简得12=p，所以MN经过 x 轴上的定点1,02