湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高二上学期9月考试数学试题含答案.pdf

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1、2022 年湖北云学新高考联盟学校高二年级 9 月联2022 年湖北云学新高考联盟学校高二年级 9 月联数学试卷 第 1页，共4页考考数学试卷数学试卷1一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）.如图，在复平面内，复数1，2对应的向量分别是?，?，则复数12对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知样本 9，10，11，的平均数是 9，方差是 2，则+=()A.41B.71C.55D.453.如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形

2、的直观图，其中=5，=2=30，则原图形的面积是()A.4B.10 2C.4 2D.5 24.已知向量?，?，?在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，用基底?,?表示?，则()A.?=2?+3?B.?=2?3?C.?=3?+2?D.?=3?2?5.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则()A.甲与丁相互独立B.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独

3、立6.已知向量?=(sin,2)，?=(1,cos)，且?，则2+2的值为()A.1B.2C.12D.37.已知函数()是定义在上的增函数，且函数=(3)的图象关于点(3,0)对称若不等式(2+2)+(4)0 且 0+2B.不等式213+1 1211.已知正方体 ABCD 1111的棱长为 1，点、分别是11、11的中点，满足AP?=34AB?+12AD?+231?，则下列说法正确的是()A.点到直线 BE 的距离是2 55B.点到平面 AB11的距离为24C.平面1BD 与平面11间的距离为2 33D.点到直线 AB 的距离为253612.已知中，=1，=4，=13，在上，为的角平分线，为中

4、点.下列结论正确的是()A.=3B.=4 35C.的面积为 13D.在的外接圆上，则+2的最大值为 2 7三、填空题（本大题共4 小题，共2 0 分）三、填空题（本大题共4 小题，共2 0 分）13.若命题“存在 ”是假命题，则实数的取值范围是14.已知为锐角，数学试卷 第 3页，共4页 +15=35，则 cos(2 15)=15.已知圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为16.在棱长为 2 的正方体 1111中，是棱1的中点，点在侧面11(包含边界)上(1)若点与点重合，则点到平面11的距离是；(2)若1 ，则线段长度的取值范围

5、是120，设四、解答题（本大题共6 小题，共7 0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）四、解答题（本大题共6 小题，共7 0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题 10 分)已知平行六面体 1111中，各条棱长均为，底面是正方形，且1=1=?=?，?=?，1?=?(1)用?，?，?表示1?及求|1?|；(2)求异面直线与1所成的角的余弦值18(本小题 12 分)某校为了了解学生课外阅读情况，组建校“中华诗词比赛”代表队，随机抽取了 100 学生统计他们一周课外阅读时间(单位：小时)，整理得到数据分组及频数分布表(1)求,的值，并作出这些数据的频率分布直方图(请请

6、在在答答题题卡卡上上用用阴阴影影涂涂黑黑)；(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数(求中位数精确到 0.01)；(3)现从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 6 人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这 6 人中选拔 2 人组成该校代表队，求这 2 人来自不同组别的概率组号分组频数频率10,550.0525,100.35310,1530415,20200.20520,25100.10合计100119(本小题 12 分)已知 ABC 的内角,所对的边分别是,，cos=3数学试卷 第 4页，共4页sin (1)求角；(2)若+=4，求 外接圆半径的最小值，并求出此时 的面积20(

7、本小题 12 分)在四棱锥 中，底面为直角梯形，=，/，=1，=2，分别为，的中点，(1)证明：;(2)若与所成角为45，求二面角 的余弦值21(本小题 12 分)为改善小区环境，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为人工湖，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且=60 米，=60，设=(1)求人工湖面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；(2)当为何值时，人工湖面积最大，并求出最大值22(本小题 12 分)已知函数()=2 4+2，函数()=(13)()(1)若函数()有唯一零点，求；(2)若 0，不等式()9 在 (0,12上恒成立，求的取值范围；

8、(3)已知 1，若函数=()log28在区间1,2内有且只有一个零点，试确定实数的范围数学答案第 1页20222022 年湖北云学新高考联盟学校高二年级年湖北云学新高考联盟学校高二年级 9 9 月联考月联考数学数学评分细则评分细则【答案】【答案】1.B2.B3.B4.D5.A6.A7.D8.D9.ACD10.BD11.AB12.ABD13.14.15.416.17.解:（1）.-2 分，.-5 分（2），则.-7 分又，-8 分.数学答案第 2页所以异面直线与所成的角的余弦值是.-10 分18.解：（1）a=100-10-20-30-5=35,b=1-0.1-0.2-0.35-0.05=0.3

9、0,-2 分频率分布直方图如下：-4 分(2)该组数据众数的估计值为；-5 分由题图可知，中位数应在至之间，设中位数为，则，解得，故中位数的估计值为；-8 分(3)易得从第 3、4、5 组抽取的人数分别为 3、2、1，-9 分设第 3 组的三人为 A、B、C，第 4 组的两人为 D、E，第 5 组的 1 人为 F，则从该 6 人中选拔 2 人的基本事件有 AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF 共15 种，其中来自不同的组别的基本事件有 AD、AE、AF、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DF、EF 共 11 种，所以这 2 人来自不同组别的

10、概率为-12 分19.解：（1）由正弦定理得，数学答案第 3页，即，-3 分，.-6 分（2），即，=12，解得，当且仅当时取等号，-9 分，2R=-11 分外接圆半径 R 最小值为，此时的面积.-12 分20.(1)证明:因为 PA=PD,E 为 AD 的中点,所以 PEAD又 PECD，且 ADCD=D.所以 PE平面 ABCD,又因为 BD面 ABCD所以 PEBD;-4 分(2)易证 BEAE，则 AEBC，AE=BC,所以四边形 ABCE 是平行四边形,则 ABEC,所以PCE=,则 PE=EC=,-6 分以 E 为原点,以 EA 为 x 轴,EB 为 y 轴,以 EP 为 z 轴,

11、建立空间直角坐标系:数学答案第 4页则 B(0,1,0),C(-1,1,0),E(0,0,0),F(-,),所以=(0,1,0),=(-,),设平面 FBE 的一个法向量为=(x,y,z),则,即,令 z=1,则=(,0,1),-8 分平面 ABE 的一个法向量为=(0,0,1)则=,-11 分所以二面角 F-BE-C 的余弦值.-12 分注：第二注：第二问问用几何方法亦可用几何方法亦可.21.解：（）在OPN 中，ONP=120，OPN=60-，OP=60，由正弦定理得，即，所以，-4 分所以人工湖面积，其中 060-6 分（）由（）得=，=，-9 分因为 060，所以 302+30150，

12、所以，平方米-11 分故当=30时，人工湖最大面积为m2-12 分22.解：(1)当 a=0 时，函数 f(x)有唯一零点，-1 分当 a0 时，由,a=2,函数有唯一零点 1，综上：a=0 或 2-2 分数学答案第 5页(2)依题意得9=,即在 x(0,上恒成立,转化为-4x+2-2 在 x(0,上恒成立,即-4x+40 在 x(0,上恒成立,-4 分转化为 a=-在 x(0,上恒成立.令=t(t2),则问题可转化为 a4t-在 t2,+)上恒成立,即 a(t2,+),所以 a-8,所以 a 的取值范围为-8,0).-6 分(3)y=f(x)-=-4x+5-x,设 r(x)=-4x+5,s(

13、x)=x(x1,2),则由题意知函数 r(x)与 s(x)的图象在区间1,2内有唯一交点.当 a=0 时,r(x)=-4x+5 在1,2上单调递减,s(x)=x 在1,2上为增函数,且 r(1)=1s(1)=0,r(2)=-3s(2)=1,所以函数 r(x)与 s(x)的图象在区间1,2内有唯一的交点.当 a0 时,r(x)的图象开口向下,对称轴为直线 x=0,所以 r(x)在1,2上单调递减,又 s(x)=x 在1,2上为增函数,由题意知,需,得,得-1a1,数学答案第 6页所以-1a0.-9 分当 0a1 时,r(x)的图象开口向上,对称轴为直线 x=2,所以 r(x)在1,2上单调递减,

14、又 s(x)=x 在1,2上为增函数,由题意知,需,得,得-1a1,所以 0a1.综上,a 的取值范围为-1,1.-12 分【解析】【解析】1.【分析】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可【解答】解：由题意可知，复数 对应的点位于第二象限故选B2.【分析】本题考查了数据的平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的计算公式进行解答，是基础题根据平均数与方差的定义，求出与 的值，即可得出的值【解答】解：，的平均数是，即；又方差是，数学答案第 7页即；由联立，解得或；故选：3.【分析】本题

15、考查了平面图形的直观图与原图形的面积比为：的应用问题，是基础题求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为：，计算即可【解答】解：平行四边形中，所以平行四边形的面积为，所以原平面图形的面积是故选：4.【分析】本题考查平面向量基本定理，向量的坐标运算，属基础题建立如图直角坐标系，则，设，联立解方程组，求出，得出结论【解答】解：建立如图直角坐标系，则，设，则，得，数学答案第 8页故，故选D5.【分析】本题考查相互独立事件的判断，属于基础题分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可【解答】解：由题意可知，两点数和为 的所有可能为：，两点数和为 的所有可能为，甲，乙

16、，丙，丁，：甲丁甲丁，：甲丙甲丙，：乙丙乙丙，：丙丁丙丁，故选：6.【分析】本题考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题由题意可得，即解得，再由，运算求得结果【解答】解：由题意可得，即，故选：7.【分析】本题考查了函数对称性的应用，函数图象变换的应用以及函数奇偶性与单调性的应用，不等式恒成立的求解，属于中档题先利用图象变换以及奇函数的性质，判断得到为奇函数，利用奇函数的定义以及函数的单调性去掉“”，将问题转化为对任意恒成立，从而，求解最值，即可得到答案【解答】数学答案第 9页解：函数的图象关于点对称，又函数的图象可由的图象向左平移 个单位长度所

17、得，则的图象关于原点对称，所以为奇函数，则不等式，即为，因为是 上的增函数，则不等式可变形为对任意恒成立，即对任意恒成立，故，因为，则，即，即，所以，则实数的取值范围是故选：8.【分析】本题考查向量的数量积，三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最值，属于难题依题意，求得，得出，可得，根据基本不等式求最值即可【解答】解：由题意，设的内角，的对边分别为，由，得，又，得，可得，根据同角三角函数的基本关系得，数学答案第 10页由，根据正弦定理得，又，解得，所以，因为，所以，又，三点共线，且 为线段上的动点，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选D9.【

18、分析】本题考查折线图的应用，涉及平均数、百分位数、极差的计算，注意从图中读取数据，属于中档题计算出、两店营业额的极差，可判断 选项的正误；根据百分位数的定义可判断 选项的正误；根营业额折线图可判断 选项的正误；利用平均数的定义可判断 选项的正误【解答】解：对于 选项，由折线图可知，店营业额的极差为万元，店营业额的极差为万元，选项正确；对于 选项，店从 月到 月营业额的增加量为，从 月到 月营业额的增加量为，选项错误；对于 选项，店 月到 月营业额由低到高依次为、，所以，店 月到 月营业额的分位数是，选项正确；对于 选项，店 月到 月的营业额的平均值为，选项正确故选ACD数学答案第 11页10.

19、【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，不等式求解，利用基本不等式求最值，二次函数的零点与一元二次方程解的关系和一元二次不等式的解法，属于中档题利用不等式求解，结合一元二次不等式的解法，对 进行判断，利用必要条件、充分条件与充要条件的判断，结合利用基本不等式求最值，对 进行判断，利用二次函数的零点与一元二次方程解的关系，对 进行判断，利用基本不等式求最值，对 进行判断，从而得结论【解答】解：对于、当且时，当且仅当时，等号成立，因此充分性成立又因为当，时，成立，所以必要性不成立，因此 不正确；对于、由得，所以，即不等式的解集是，因此B正确；对于、因为方程的解为，所以函数的零点是，因

20、此 不正确；对于、根据两个函数的单调性可以判断D正确故选BD11.【分析】本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行，属于中档题建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论【解答】数学答案第 12页解：如图，建立空间直角坐标系，则，所以设，则，故A到直线的距离，故A对易知，平面的一个法向量，则点 到平面的距离，故B对设平面的法向量为，则，所以令，得，所以数学答案第 13页所以点到平面的距离因为平面平面，所

21、以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C错因为，所以，又，则，所以点 到的距离，故D错故选AB12.【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，属于中档题利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，根据面积公式计算三角形的面积，利用正弦定理计算，易得的外接圆的半径为，在的外接圆上，显然当为该圆的直径时取得最大值【解答】解：在三角形中，由余弦定理，故，故C错误；在中，由余弦定理得：，故A正确；由余弦定理可知：，平分，在三角形中，由正弦定理可得：，故AD，故B正确；，为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为，在的外接圆上，显然当为该圆的直径时取得最大值，故D正确数学答案

22、第 14页故选：13.【分析】本题考查命题的否定，以及集合的包含关系，体现了等价转化数学思想，属中档题将条件转化为“对任意”，从而解出实数 的取值范围【解答】解：由于命题“存在”是假命题，因此其否定命题“对任意”是真命题，所以，所以实数 的取值范围是故答案为：14.【分析】本题考查同角三角函数关系及二倍角公式、两角和差的余弦公式，注意判断三角函数值的符号，由同角三角函数关系及角的象限可知，利用二倍角公式求出及的值，因为，所以由两角和差的余弦公式即可求出【解答】解：为锐角，15.【分析】考查简单几何体的表面积【解答】数学答案第 15页解：由题意知，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半

23、径等于该正三角形的内切圆的半径，即，于是该圆锥的内切球的表面积为16.【分析】本题考查利用空间向量求点到面的距离，求空间两点间的距离，属于中档题建立空间直角坐标系，求得的法向量，利用点到面的距离公式求解即可；设，利用，求得，表示出，利用空间两点间的距离公式表示出线段长度为关于 的二次函数，可求得其取值范围，注意 的取值范围为，而不是【解答】解：以 为原点，分别为轴建立空间直角坐标系在棱长为 的正方体中，是棱的中点，则又，则在正方体中，则，又，且，故，即是的法向量，且设点 到平面的距离是，则又点 与点 重合，则点 到平面的距离是，点 在侧面上 包含边界，设，则，若，则，数学答案第 16页即，又，则，即，即，又，则线段长度为，又，当时，线段长度为最小值，当时，线段长度为最大值，故则线段长度的取值范围是