福建省宁德市2021-2022学年高二下学期期末数学质量检测数学试题含答案.pdf

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1、宁德市 2021-2022 学年度第二学期期末高二质量检测数学试题本试卷共 6 页，22 题考试时间 120 分钟，满分 150 分注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共

2、8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的有且只有一个是符合题目要求的1对于 x，y 两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数 r（如下），则线性相关最强的是A0.82B0.78C0.69D0.872函数()lnf xxx的单调递减区间是A(2,)B(1,)C(0,2)D(0,1)3若由一个22列联表中的数据计算得27.213K，则有（）把握认为两个变量有关系.A95%B97.5%C99%D99.9%4某校一次高二年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布296,N，且(9096

3、)0.3P若该校有 800 人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于102分的人数为A100B125C150D16020P Kk0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8285某高校有智能餐厅 A、人工餐厅 B，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去 A餐厅，那么第二天去 A 餐厅的概率为 0.6；如果第一天去 B 餐厅，那么第二天去 A 餐厅的概率为 0.8则甲第二天去 A 餐厅用餐的概率为A0.75B0.7C0.56D0.386如图，在空间四边形ABCD中，,DA DB

4、 DC两两垂直，1,3,4,DADBDC则点A到直线BC的距离为A135B145C75D737已知1()(1)xf xx e，2()(1)g xxa，若存在1x，2x R，使得12)()(ff xx 成立，则实数a的取值范围为A1,eB1,eC0,eD10e,8已知 a，bR，且221ab，则AlnlnabeeabBlnlnbaabCa bbeaDsinsin1abab二二、多项选择题多项选择题：本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得有多项是符合题目要求，全部选对得

5、5 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 2 分，有选错得分，有选错得 0 0 分分.9设离散型随机变量X的分布列如右表，若离散型随机变量Y满足21YX，则下列结果正确的有A()0.4E XB0.24D X C()1.8E Y D()0.48D Y 10已知1,0,1a，1,2,3b ，2,4,6c，则下列结论正确的是AabBbcC.,a c 为钝角Dc在a方向上的投影向量为4,0,4X01P0.60.4第 6 题图第 9 题表第 14 题图11 设()f x是定义域为 R 的偶函数，其导函数为()fx，若0 x 时，()f x图象如图所示，则可以使()()0f xfx成立的x的取值范围是A,

6、3 B1,0C0,1D1,312如图所示，在正方体ABCDA B C D 中，M，N分别是B C，C D 的中点，E是线段B D 上的动点，F是直线B B与平面AMN的交点，则下列判断正确是ABFFBuuu ruuu rB三棱锥FMNE的体积是定值C唯一存在点E使得AEMNDAE与平面AMN所成的角为定值三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置，其中第 15 题，第一空 2 分，第二空 3 分.13已知(1,2,3)A，(4,5,9)B，13ACABuuu ruuu r，则ACuuu r的坐标为_14如图，在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，

7、只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.8，则这段时间内线路正常工作的概率为_15在正四棱台ABCDA B C D 中，1AA,2AB,3BAA，设,ABa ADb AAc ，则向量AC=_（用,a b c 表示）,AC=(第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）16已知函数()sin(0)xf xeax x有两个零点，则正实数 a 的取值范围为_（背面还有试题）第 15 题图第 12 题图第 11 题图四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演

8、算步骤算步骤.17（本小题满分 10 分）已知函数3211()32f xxax(1)当0a 时，求曲线()yf x在1x 处的切线方程；(2)讨论函数()f x的单调性18（本小题满分 12 分）一袋中装有 4 个黄球 2 个红球，现从中随机不放回地抽取 3 个球(1)求至少抽到一个红球的概率；(2)求取出的黄球个数 X 的分布列和数学期望第 20 题图19（本小题满分 12 分）2022 年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降，国内多地在 3 月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继 2009 年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡

9、活动某销售商在活动的前 2 天大力宣传后，从第 3 天开始连续统计了 6 天的汽车销售量（单位：辆）如下：第x天345678销售量y辆250300400450522598(1)证明：22211nniiiixxxnx；(2)根据上表中前 4 组数据，求y关于x的线性回归方程ybxa；(3)用(2)中的结果分别计算第 7、8 天所对应 y，再求 y与当天实际销售量y的差，若差的绝对值都不超过5，则认为所求得的回归方程“可靠”，若“可靠”则可利用此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，该回归方程是否可靠？若可靠，请预测第 12 天的销售量；若不可靠，请说明理由参考公式及数据：1122211n

10、niiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，442116650,86iiiiix yx20（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA平面ABCD，60ABC，1AB，2BC(1)证明：平面PCD 平面PAC；(2)若直线PC与平面PAD所成角的正弦值为34，求二面角CPDA的余弦值21（本小题满分 12 分）2022 北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：方案一：共投 9 次，每次投中得 1 分，否则得 0 分，累计所得分数记为Y；方案二：共进

11、行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得 3 分，否则得 0 分，三轮累计所得分数记为X累计所得分数越多，所获得奖品越多现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为p，每次投篮互不影响(1)若12p，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得 3 分的概率；(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择那个方案？22(本小题满分 12 分)已知函数()(0)xeef xxx(1)求函数()f x的最小值；(2)若不等式()ln1f xxax对于(1,)x恒成立，求 a 的取值范围宁德市 2021-2022 学年度第二学期期末高二质量检测参考答案及

12、评分标准参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

13、1.D2.D3C4D5.B6.A7.B8.D二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9.ABC10.BD11.ABD12.BC三、填空题:（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置）(本小题第一个空 2 分，第二个空 3 分)13.(1,1,2)14.0.9615.（1）1122abc,（2）5.16.944(2,2)ee四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10

14、分)解：(1)当0a，31()3f xx，1 分则 113f，即切点为（1,13）.2 分 2f xx，3 分 11f 即切线斜率 k=1.4 分所以切线方程为：23yx320 xy（）5 分(2)2()()fxxaxax xa 6 分令()0fx，解得：0,xxa 7 分若0a，显然 fx单调递增 8 分若0a，当,0,xa 时，()0fx，fx在区间,0,a和单调当,0 xa时，()0fx，fx在区间,0,a和单调递增；当0,xa时，()0fx，fx在区间0,xa单调递减；10 分综上，若0a 时，fx在R上单调递增；若0a 时，fx在区间,0,a和单调递增，在区间,0 xa单调递减；若0

15、a 时，在区间,0,a和单调递增；区间0,xa单调递减.（备注：没有结论不扣分。）18.(本小题满分 12 分)解：(1)解法一设取出的 3 个球至少一个红球为事件 A，1 分则取到三个都是黄球的的事件为A 3436C11CP AP A 3 分 45P A.5 分解法二:设取出的 3 个球至少一个红球为事件 A，1 分 1221242436C CC CCP A.3 分 45P A.5分(2)随机变量 X 可能取值为 1,2,36 分124236C C11C5P X，7 分214236C C32C5P X，8 分3436C13C5P X，9 分故 X 的分布列为：X123P15351510 分期

16、望131()123555E X 11 分212 分备注：（i）写成：(6,4,3)XHQ,34266()(1,2,3)kkC CXP XkkC的分布列为：酌情给分,（ii）利用公式()MNE Xn 计算数学期望，酌情给分.19.（本小题满分 12 分）（1）证明：222221111122nnnnniiiiiiiiiibxxxx xxxx xx1 分2222222111122nnnniiiiiiiixxxnxxnxnxxnx 2 分（说明：未用统计学符号证明，过程正确不扣分）（2）4.5,350 xy 3 分1221665044.5 350708644.54.5niiii niix ynxybx

17、nx 5 分350704.535aybx，6 分得7035yx7 分（3）当7x 时，7525y；8 分当8x 时，8595y；9 分7735yy，8835yy11 分可知回归方程“可靠”；预测12x 时，12875y 12 分20.（本小题满分 12 分）解法一：解：(1)在三角形 ABC 中60,1,2ABCABBC，由余弦定理得：3AC,1 分所以222ABACBC所以ABAC,2 分在ABCDY中,/ABCD,所以CDAC,3 分PA 平面ABCD,CD平面ABCD,PACD,4 分又PAACACD平面PAC,5 分CD Q平面PCD平面PCD 平面PAC6 分（2）由(1)得,PAA

18、B PAAC ABAC,如图建立空间直角坐标系，7 分设(0)PAa a，则(0,0,0)A,(0,0,)Pa,(0,3,0)C,(1,3,0)D(0,3,)PCauuu r，(0,0,)APauu u r,(1,3,0)AD uuu r，(1,0,0)DC uuu r 8 分设面PAD的法向量为mu r，由00m APm ADu r uu u ru r uuu r,得(3,1,0)mu r是面PAD的一个法向量；9 分设直线PC与平面PAD所成角为则233sin142 3PC naaPCnuuu r ruuu r r 10 分设面PCD的法向量为nr，由00n PCn CDr uuu rr

19、uuu r得(0,1,3)nr是面PCD的一个法向量；11 分1cos,4m nm nm nu r ru r ru r r，二面角CPDA的余弦值为14.12 分解法二：（1）在三角形 ABC 中60,1,2ABCABBC，由余弦定理得：3AC,1 分所以222ABACBC所以ABAC,2 分又PA 平面ABCD,如图建立空间直角坐标系xAy，设(0)PAa a，则(0,0,0)A,(0,0,)Pa,(0,3,0)C,(1,3,0)D 3 分(0,3,)PCauuu r，(0,0,)APauu u r,(1,3,0)AD uuu r，(1,0,0)DC uuu r设面PAD的法向量为mu r，

20、00m PCm CD 得300m PCyazm CDx 则(0,a,3)m 是面PAD的一个法向量；4 分由AB平面PAC,则(1,0,0)n 是面PAD的一个法向量；5 分0m n 平面PCD 平面PAC6 分（2）证明：过C点作ADCM,垂足为M,过C点作PDCN,垂足为N;因为ABCDPAABCDPA平面，平面所以PADABCD平面平面，又ADPADABCD平面平面,ADCM，ABCDCM平面所以PADCM平面,又ABCDPD平面所以PDCM 又PDCN,CCMCN,所以CMNPD平面；又CMNMN平面,所以PDMN 所以CNM为二面角CPDA平面角 9 分在CMNRt中，23CM,55

21、252CN,105201435422CMCNMN所以41cosCNMNCNM12 分21.(本小题满分 12 分)解：(1)若12p,设甲选择方案二，第一轮投篮结束时甲得分为 X1，1 分则2211111322222P X 4 分(2)方案一满足(9,)YBp:，所以方案一的数学期望为9EYp 6 分方案二进行,每一轮能得 3 分的概率为222(1)ppp，7 分每一轮的得分的期望为223(2(1)ppp，进行三轮总得分X,所以选择方案二的得分期望为22239(2(1)9(32)EXppppp 8 分甲如何选择，由两种方案的期望大小决定，所以：2399(32)9(1)(21)EYEXpppp

22、pp 9 分当12p，0EYEX，两种方案期望相同，所以方案一，二都可以；10 分当12p，EYEX，方案二期望大，所以甲应该选方案二；11 分当12p，EYEX，方案一期望大，所以甲应该选方案一.12 分22.(本小题满分 12 分)解法一：(1)求导：11()xxeeeefxxx1 分即1()()xeefxxex 2 分当()0,fx解得0;xe当()0,fx解得xe()f x的单调递减区间为0,e；单调递增区间为,e 4 分函数()f x的最小值为()1f e 5 分(2)由(1)得()()1f xf e，所以要使得()ln1f xxax恒成立，必须满足：()ln1f eeaeae 6

23、分下面证明：当ae 时()ln1f xxax恒成立aeln1ln1xxeeeexaxxexxx 8 分只需证明ln10 xeexexx 设()ln1xeexxexx，则111()()()1()xxeeeexxexexexxxx 9 分由(1)得10 xeex 且只在xe取等号当0 xe时，()0 x，()x单调递减当xe时，()0 x，()x单调递增()()0 xe。综上ae.12 分解法二：(1)同解法一5 分(2)（变量分离）整理得：1lnxeexxax 6 分只需min1()lnxeexxax7 分先证明：1xex，构造(x)e1xgx，1)(xexg，当0 x时，0)(xg，g()x单

24、调递增0)0()(gxg从而证明得1xex 8 分ln11ln11lnxx exeexexxexxexx 当仅且当ln0 xex即xe处取得等号。1lnlnlnxeexexxexx ae。12 分解法三：（1）同解法一5 分（2）不分离ln()ln1ln10(ln)10 xx exeef xxaxxaxexaxx ln(ln)1ln1(ln)10 x exexaxxexxax 得ae 下面证明当ae 时，ln10 xeexaxx aeln1ln1xxeeeexaxxexxx 8 分只需证明ln10 xeexexx 设()ln1xeexxexx，则111()()()1()xxeeeexxexexexxxx 9 分由(1)得10 xeex 且只在xe取等号当0 xe时，()0 x，()x单调递减当xe时，()0 x，()x单调递增()()0 xe。综上ae.12 分