2023届高中数学题型全面归纳9.2两条直线的位置关系含答案.pdf

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1、2023 届高中数学题型全面归纳第二节届高中数学题型全面归纳第二节两条直线的位置关系两条直线的位置关系考纲解读考纲解读1能根据两直线的斜率判定两条直线平行或垂直能根据两直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3掌握两点间距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离掌握两点间距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离.命题趋势探究命题趋势探究从内容上看，主要考查两直线平行、垂直的判定，点到直线的距离，两平行线间的距从内容上看，主要考查两直线平行、垂直的判定，点到直线的距离，两平行线间的距离及对称问题，从考查形

2、式上看，以选择和填空为主离及对称问题，从考查形式上看，以选择和填空为主.预测预测 2019 年高考中年高考中，两直线平行和垂直关系的判定与应用将是考查的热点两直线平行和垂直关系的判定与应用将是考查的热点，常与充要常与充要条件相结合条件相结合.另外对称问题也常在高考试题中出现，备考时应多加注意另外对称问题也常在高考试题中出现，备考时应多加注意.知识点精讲知识点精讲一、两直线平行与垂直的判定一、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表 9-1 所示所示.两直线方程两直线方程平行平行垂直垂直11112222:0:0lAxB yCl

3、A xB yC1221122100ABA BBCB C且12120A AB B111222:lyk xblyk xb(斜率存在斜率存在)11,22:lxxlxx(斜率不存在斜率不存在)1212,kk bb或或1212,xx xx xx121k k 或或12kk与中有一中有一个为个为 0，另一个不存在，另一个不存在.二、三种距离二、三种距离1两点间的距离两点间的距离平面上两点平面上两点111222(,),(,)P x yP xy的距离公式为的距离公式为22121212|()()PPxxyy.特别地，原点特别地，原点 O(0,.0)与任一点与任一点 P(x,y)的距离的距离22|.OPxy2点到直

4、线的距离点到直线的距离点点000(,)P xy到直线到直线:0l AxByC的距的距离离2200|BACByAxd特别地特别地,若直线若直线为为l:x=m,则点则点),(000yxP到到l的距离的距离|0 xmd;若直线若直线为为l:y=n,则点则点),(000yxP到到 l 的距离的距离|0ynd3.3.两条平行线间的距离两条平行线间的距离已知已知21,ll是两条平行线是两条平行线,求求21,ll间距离的方法间距离的方法:(1)(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.(2)(2)设设0:,0:2211CByAxlCByAxl,则则1

5、l与与2l之 间 的 距 离之 间 的 距 离2221|BACCd注注:两平行直线方程中两平行直线方程中,x,y 前面对应系数要相等前面对应系数要相等.题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示题型题型 122122 两直线位置关系的判定两直线位置关系的判定思路提示思路提示判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断,也可以按照以下方法判断也可以按照以下方法判断:一般一般地地,设设0:1111CyBxAl(11,BA不全为不全为 0),0),0:2222CyBxAl(22,BA不全不全为为0),0),则则:当当01221BABA时时,直线直线21,ll

6、相交相交;当当1221BABA时时,21,ll直线平行或重合直线平行或重合,代回检验代回检验;当当02121BBAA时时,21,ll直线垂直直线垂直,与向量的平行与垂直类比记忆与向量的平行与垂直类比记忆.例例 9.109.10“a=2=2”是是“直线直线 ax+2+2y=0=0 平行于直线平行于直线 x+y=1=1”的（的（）A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析由由 a=2=2 得直线方程得直线方程 2 2x+2+2y=0=0，即直线，即直线 x+y=0=0 与与 x+y=1=1 平行，

7、反之，由直线平行，反之，由直线 ax+2+2y=-平行于直线平行于直线 x+y=1=1，得，得 a=2.=2.故故“a=2=2”是是“直线直线 2 2x+2+2y=0=0 平行于直线平行于直线 x+y=1=1”的充分必要的充分必要条件，故选条件，故选 C.变式变式 1 1（20122012 浙江理浙江理 3 3）设）设Ra，则，则“a=1=1”是是“直线直线012:1yaxl与直线与直线04)1(:2yaxl平行平行”的（的（）A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析当当1l/2l时，时，(

8、1)1 2,a a 解得解得1a 或或2.a 当当1a 时，时，1212:210,:240,lxylxyll ；当当2a 时，时，12121:0,:40,.2lxylxyll故故121lla或或2.又又1-2,1,“小推大小推大”，故选，故选.A变式变式 2 2“21m”是是“直线直线013)2(myxm与直线与直线03)2()2(ymxm相相互垂直互垂直”的（的（）A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件分析分析两直线两直线1112220,0AxB yCA xB yC垂直的充要条件是垂直的充要条件

9、是12120.A AB B解析解析由两条直线垂直的等价条件由两条直线垂直的等价条件12120A AB B得，得，(2)(2)3(2)0,mmm m即即(2)(42)0,mm得得2m 或或1.2m 因此因此，“12m”是是“直线直线(2)310mxmy 与直线与直线(2)(2)30mxmy相互垂直相互垂直”的充分不必要条件的充分不必要条件.故选故选 B.例例 9.119.11 已知直线已知直线062:1yaxl和直线和直线01)1(:22ayaxl（1 1）当）当21/ll时，求时，求 a 的值；的值；（2 2）当）当21ll 时，求时，求 a 的值的值.解析解析（1 1）由）由01221BAB

10、A，021)1(aa得，解得得，解得 a=-1=-1 或或 2.2.当当 a=-1=-1 时，时，2121/,02:,062:llyxlyxl当当 a=2=2 时，时，121,03:,03:lyxlyxl与与2l重合，故舍去重合，故舍去.故当故当21/ll时，时，a 的值为的值为-1.-1.（2 2）由）由21ll，得，得02121BBAA，即，即0)1(2aa，得，得32a变式变式 1 1若直线若直线 x-2 2y+5=0+5=0 与直线与直线 2 2x+my-6=0-6=0 互相垂直，则实数互相垂直，则实数 m=_.=_.解析解析因为直线因为直线250 xy与直线与直线260 xmy相互垂

11、直，相互垂直，所以所以1 2(2)0,m 得得1.m 变式变式 2 2已知直线已知直线8)5(2:,354)3(:21ymxlmyxml，问，问 m 为何值时：为何值时：（1 1）21/ll；（2 2）1l与与2l重合重合；（3 3）1l与与2l相交相交；（4 4）1l与与2l垂直垂直.解析解析(1)(1)由由(3)(5)80,mm得得1m 或或7.当当1m 时，时，12:2480,:2480,lxylxy即即12,l l重合；重合；当当7m 时，时，12:22130,:40,lxylxy即即12,ll故故12ll时，时，7m .(1)(1)当当7m 时，时，12ll；(2)(2)当当1m 时

12、，时，12,l l重合；重合；(3)(3)由由34(5)25mmm 得得1m 且且7,m 所以当所以当1m 且且7m 时，时，12,l l相相交；当交；当5m 时，时，12,l l也相交，即也相交，即1m 且且7m 时，时，12,l l相交相交.(4)(4)由由2(3)4(5)0mm得得13,3m 所以当所以当133m 时，时，12,l l垂直垂直.评注评注运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线的位置关系时运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线的位置关系时，要紧紧抓住要紧紧抓住12,k k及及12,b b之间的关系，需要注意的是之间的关系，需要注意的是“有斜率有斜率”这一前提条件，

13、否则回事解题不严谨甚至这一前提条件，否则回事解题不严谨甚至导致错误导致错误.判断两直线平行判断两直线平行，垂直垂直，重合时重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率不存在的情况，在两条直线的斜率均存在且均不重合的条件下有：的斜率不存在的情况，在两条直线的斜率均存在且均不重合的条件下有：12ll 1212,kk b b=与与12121.llk k 在斜率不存在或为零的情况下讨论两直线的位置关在斜率不存在或为零的情况下讨论两直线的位置关系宜用数形结合法求解系宜用数形结合法求解.题型题型 123123有关距离的计算有关距离的计算思路提示思路提示两点间的

14、距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构距离公式的结构.例例 9.129.12（1 1）已知点）已知点 P(4,1)(4,1)，则点，则点 P 到直线到直线032:yxl的距离为的距离为_;_;（2 2）已知点（）已知点（a,2,2）到直线）到直线03:yxl的距离为，则的距离为，则 a=_;=_;（3 3）过过点点 A(4,(4,a)和和 B(5,(5,b)的直线与直的直线与直线线 y=x+m 平行平行，则两点间的距离则两点间的距离|AB|为为_._.解析解析（1 1）距离）距离

15、55521|3124|22d（2 2）由题意得）由题意得2|1|22|1|11|32|22aaad，故，故 a=1=1 或或 a=-3.=-3.（3 3）解法一解法一：由题意可知由题意可知，145ababkAB故故2)()45(|22abAB解法二：如图解法二：如图 9-49-4 所示，过点所示，过点 B 作作 x 轴的垂线与过点轴的垂线与过点 A 作作 y 轴垂线的反向延长线相交于轴垂线的反向延长线相交于点点C，则由题意知，则由题意知45BAC，且，且1AC，则，则2AB变式变式 1 1 点点 P 在直线在直线 3 3x+y-5=0-5=0 上上，且点且点 P 到直线到直线 x-y-1=0-

16、1=0 的距离为的距离为，则点则点 P 的坐标为的坐标为（）A.（1 1，2 2）B.（2 2，1 1）C.（1 1，2 2）或（）或（2 2，-1-1）D.（2 2，1 1）或（）或（-1-1，2 2）解析解析依题意可设点依题意可设点P的坐标为的坐标为(,53),aa则则|(53)1|46|2,22aaad所以所以|23|1,a得得2a 或或1.a 所以点所以点P坐标是坐标是(2,1)或或(1,2).故选故选.C评注评注本题也可求出与直线本题也可求出与直线10 xy 平行且距离为平行且距离为2的直线方程，再与直线的直线方程，再与直线350 xy联立，求得交点坐标联立，求得交点坐标.变变式式

17、2 2 若直若直线线 l过过点点 P(1,2)(1,2)且与且与点点 A(-1,2),(-1,2),B(3,0)(3,0)两点距离相等两点距离相等，则直则直线线 l 的方程为的方程为_解析解析由平面几何知识知，由平面几何知识知，lAB或或l过过AB的中点的中点.若若lAB，则，则021,3(1)2ABk 由点斜式可得直线方程为由点斜式可得直线方程为12(1),2yx 即即250.xy若若l过过AB的中点的中点(1,1),M则直线方程为则直线方程为1.x 综上所述，所求直线方程为综上所述，所求直线方程为1x 或或250.xy变式变式 3 3 若点若点 P(x,y)在直线在直线032:yxl上运动

18、，则上运动，则22yx 的最小值为的最小值为_解析解析解法一：解法一：22222699(32)5()555xyyyy，故当故当65y 时，时，22min9().5xy解法二：设原点为解法二：设原点为(0,0),O则则2222min22|3|9()(,)().512xyd O l例例 9.139.13 已知直线已知直线01:,01:21yxlyxl，则，则1l与与2l之间的距离为（之间的距离为（）A.1 1B.2C.3D.2 2解析解析1l与与2l之间的距离之间的距离222|2221BACCd故选故选 B.变式变式 1 1直线直线01:1 yxl与直线与直线0322:2yxl的距离是（的距离是（

19、）.A.22B.2C.22D.42解析解析11222|2(3)|12:2220,(,).42 222lxyd l l 故选故选D.评注评注在运用平行线间距离公式时，应使得两直线在运用平行线间距离公式时，应使得两直线x和和y的对应系数相等的对应系数相等.变式变式 2 2 到直线到直线012:yxl的距离为的距离为55的点的轨迹方程是（的点的轨迹方程是（）A.直线直线 2 2x+y-2=0-2=0B.直线直线 2 2x+y=0=0C.直线直线 2 2x+y=0=0 或直线或直线 2 2x+y-2=0-2=0D.直线直线 2 2x+y=0=0 或直线或直线 2 2x+y+2=0+2=0解析解析解法一

20、：设动点解法一：设动点(,)P x y满足题设，则满足题设，则22|21|5,521xy即即|21|1,xy则有则有20 xy或或220.xy解法二：由题设可知，所求轨迹是与直线解法二：由题设可知，所求轨迹是与直线l平行的直线平行的直线,l且且5(,).5d l l 故其方程可设为故其方程可设为:20,lxyC则则22|1|5,521C 解得解得0C 或或2.故故:20lxy或或220.xy故选故选.D变式变式 3 3 已知三直线已知三直线0124:),0(02:21yxlaayxl和和01:3 yxl，且，且1l与与2l的距离是的距离是1057（1 1）求）求 a 的值；的值；（2 2）能否

21、找到一点）能否找到一点 P，使，使 P 同时满足下列三个条件：同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；是第一象限的点；点点 P 到到1l的的距离是点距离是点 P 到到2l的距离的的距离的21；点点 P 到到1l的距离与点的距离与点 P 到到3l的距离之比是的距离之比是5:2.若能若能，求点求点 P 坐标；若不能，请说明理由坐标；若不能，请说明理由.解析解析(1)(1)21:20,2lxy所以所以1l与与2l之间的距离为：之间的距离为：1|()|7 52,105ad 因为因为0,a 所以所以3.a(2)(2)设存在点设存在点00(,)P xy满足满足，则点则点P在与在与12,l l平行的直线平

22、行的直线l，可设可设:20,lxyC且且1|3|12,255CC即即132C 或或11,6所以所以0011206xy或或001320.2xy若点若点P满足条件满足条件，则由点到直线的距离公式有：，则由点到直线的距离公式有：0000|23|1|2,552xyxy即即0000|23|1|,xyxy所以所以00240 xy或或0320 x(舍去，因为点舍去，因为点P在第一象限在第一象限)，由由00001320,2240 xyxy得得00312xy(舍舍)；由由00001120,6240 xyxy得得0019.3718xy所以点所以点由由1 37(,)6 18P即为同时满足条件的点即为同时满足条件的点

23、.例例 9.149.14 过点过点 P（1 1，2 2）且与原点）且与原点 O 距离最大的直线方程是（距离最大的直线方程是（）A.x+2+2y-5=0-5=0B.x-2-2y+2=0+2=0C.x+3+3y-7=0-7=0D.3.3x+y-5=0-5=0解析解析 解法一：如图解法一：如图 9 95 5 所示，设点所示，设点lP，且线段，且线段 OP 与直线与直线 l 的夹角为的夹角为2,0则 距 离则 距 离5|sin|OPOPd，当 且 仅 当，当 且 仅 当2时 取 等 号时 取 等 号.此 时此 时OPl，故，故211OPlkk所以直线所以直线)1(212:xyl，即，即052:yxl故

24、选故选 A.解法二：设所求直线方程解法二：设所求直线方程0,0)2()1(:22BAyBxAl,即即02:BAByAxl.则原点到直线则原点到直线 l 的距离的距离521|),()2,1(|2|2222222222BABABABABABAd当且仅当向量当且仅当向量),/()2,1(BA，即，即)0(2AAB时取等号时取等号.此时此时052:AAyAxl，即，即052:yxl评注评注：本题解法一充分运用了数形结合的数学思想本题解法一充分运用了数形结合的数学思想.解法二中运用了柯西解法二中运用了柯西(Cauchy)不等式不等式：|baba，其坐标形式为：，其坐标形式为：)()(2221222122

25、121yyxxyyxx，当且仅当，当且仅当 a/b，即即1221yxyx时取等号时取等号.变式变式 1 1 已知两条互相平行的动直线已知两条互相平行的动直线21,ll分别过分别过)2,2(),21(BA，则则21,ll之间的距离最大之间的距离最大值 为值 为 _;_;当当21,ll之 间 的 距 离 最 大 时，直 线之 间 的 距 离 最 大 时，直 线21,ll的 方 程 分 别 为的 方 程 分 别 为_,_._,_.解析解析设线段设线段AB与直线与直线1l的夹角为的夹角为(0,),2 则则距离距离22|sin|(12)(22)5,dABAB 当且仅当当且仅当2时取等号时取等号.此时此时

26、1,lAB故直线故直线1l的斜率为的斜率为11123,224ABkk 所以直线所以直线13:2(1),4lyx 即即1:34110.lxy又又12,ll故故23:2(2),4lyx 即即2:34140.lxy题型题型 124124 对称问题对称问题思路提示思路提示（1 1）中心对称问题转化为中点问题）中心对称问题转化为中点问题.求点求点),(11yxP关于点关于点),(00yxM中心对称的点中心对称的点),(22yxP.由中点坐标公式得由中点坐标公式得10210222yyyxxx求直线求直线 l 关于点关于点),(00yxM中心对称的直线中心对称的直线 l求解方法是：在已知直线求解方法是：在已

27、知直线 l 上取一点上取一点),(11yxP关于点关于点),(00yxM中心对称得中心对称得),(22yxP，再利用再利用/ll，由点斜式方程求得直线由点斜式方程求得直线 l的方程的方程（或者由或者由/ll，且点且点),(00yxM到直线到直线 l 及及 l的距离相等来求解）的距离相等来求解）.（2 2）轴对称问题转化为对称点连线被对称轴垂直平分）轴对称问题转化为对称点连线被对称轴垂直平分.求点求点),(11yxP关于直线关于直线0l对称的点对称的点),(22yxP方法一方法一：（一中一垂（一中一垂），即线段，即线段PP的中点的中点 M 在对称轴在对称轴0l上，若直线上，若直线PP的斜率存在的

28、斜率存在，则直线则直线PP的斜率与对称轴的斜率与对称轴0l的斜率之积为的斜率之积为1 1，两个条件建立方程组解得点，两个条件建立方程组解得点),(22yxP方法二方法二：先求经过点先求经过点),(11yxP且垂直于对称轴且垂直于对称轴0l的直线的直线（法线法线）0l，然后由然后由Mll00得线段得线段PP的中点的中点),(00yxM，从而得，从而得10210222yyyxxx求直线求直线 l 关于直线关于直线0l对称的直线对称的直线 l若直线若直线0/ll，则，则/ll，且对称轴，且对称轴0l与直线与直线 l 及及 l之间的距离相等之间的距离相等.此时此时,0lll分别为分别为,0,00CBy

29、AxCByAx)0(022BACByAx，由由220220|BACCBACC，求得，求得C，从而得，从而得 l若直线若直线 l 与与0l不平行，则不平行，则Qll0.在直线在直线 l 上取异于上取异于 Q 的一点的一点),(11yxP，先由，先由（2 2）中的方法求得中的方法求得),(11yxP关于直线关于直线0l对称的点对称的点),(22yxP，再由再由,PQ两点确定直线两点确定直线 l（其中（其中Qlll0）.例例 9.159.15（1 1）点）点 A（1 1，2 2）关于点）关于点 M(3,4)(3,4)对称的点的坐标为对称的点的坐标为_（2 2）直线）直线032:yxl关于点关于点 M

30、(1,2)(1,2)对称的直线方程为对称的直线方程为_（3 3）点）点 A(1,2)(1,2)关于直线关于直线032:0 yxl对称的点的坐标为对称的点的坐标为_（4 4）直线）直线032:yxl关于直线关于直线01:0 yxl对称的直线方程为对称的直线方程为_解析解析（1 1）设对称点的坐标为）设对称点的坐标为),(baA，则，则422321ba，得，得65ba，故所求对称点的坐标为故所求对称点的坐标为(5,6).(5,6).（2 2）设直线）设直线 l 关于点关于点 M(1,2)(1,2)对称的直线为对称的直线为 l，则，则/ll，故设，故设02:Cyxl则则222212|212|12|3

31、-212|C解得解得5C或或-3-3（此时（此时 l与与 l 重合，舍去）重合，舍去）.故故05-2:yxl（3 3）设对称点的坐标为）设对称点的坐标为),(baA，先求经过点，先求经过点 A(1,2)(1,2)且垂直于且垂直于0l的直线的直线0l.)1(212:0 xyl，即，即032:0yxl由由032032yxyx，解得，解得5953yx，即线段即线段AA的中点为的中点为59,53所以所以59225321ba，解得，解得5851ba，故所求对称点的坐标为故所求对称点的坐标为58,51（4 4）由）由01032yxyx，解得，解得3532yx即即35,320Qll.取直线取直线 l 上一点

32、上一点)3,0(1P，下面求，下面求)3,0(1P关于直线关于直线0l对称的点对称的点),(2baP.由由0123201103baab，得，得12ba，即，即)1,2(2P所以所以212321352QPk故得所求对称直线故得所求对称直线)2(211:xyl即即042:yxl.评注评注特殊结论：已知直线特殊结论：已知直线 l 关于直线关于直线0l对称的直线是对称的直线是 l，若直线，若直线0l的斜率的斜率10k，则，则1kk（其中其中,kk分别是直线分别是直线 l 与与 l的斜率的斜率），如本例如本例（4 4）中所求对称直线的斜率为中所求对称直线的斜率为21.简证简证：首先易知首先易知：若直线若

33、直线 l 关于直线关于直线0对称的直线是对称的直线是轼，则经过它们的交点则经过它们的交点（假定相交假定相交）且且垂直于垂直于0l的直线的直线0l也是也是 l 与与 l的同，故只证的同，故只证10k的情形的情形.然后把每条直线都平移至过原点然后把每条直线都平移至过原点 O，所得直线分别为，所得直线分别为xkylxyxkyl1111:,:，且，且11,kkkk不妨在直线不妨在直线1l上取异于上取异于 O 的点的点),(00yxP，则关于，则关于xy 对称的点为对称的点为),(00 xyP故故001001,yxkxyk，所以，所以111kkkk，得证，得证.变式变式 1 1（1 1）求点）求点 P(

34、4,5)(4,5)关于点关于点 M(3,-2)(3,-2)对称的点对称的点 Q 的坐标；的坐标；（2 2）求点）求点 P(4,5)(4,5)关于直线关于直线033:yxl对称的点对称的点 Q 的坐标；的坐标；（3 3）直线）直线bxyl21:1与与821:2bxyl关于点关于点 A(4,6)(4,6)对称，求对称，求 b 的值；的值；（4 4）求直线）求直线033:1 yxl关于直线关于直线02:yxl对称的直线对称的直线2l方程方程.解析解析(1)(1)设点设点Q的坐标为的坐标为(,),x y则则432,522xy 得得2,9xy 故点故点Q的坐标为的坐标为(2,9).(2)(2)设点设点(

35、4,5)P关于直线关于直线l的对称点为的对称点为(,),x y则则5143,4533022yxxy 得得2,7xy 故点故点Q的坐标为的坐标为(2,7).(3)(3)依题意，点依题意，点(4,6)A到直线到直线1l与直线与直线2l的距离相等，则的距离相等，则|26|268|,5544bb得得|4|4|,bb即即0.b(4)(4)解法一：联立解法一：联立330,20 xyxy解得解得12,32xy 则则1l与与l的交点为的交点为1 3(,).2 2P 在在1l上取一点上取一点(1,0)A 关于关于l对称点对称点00(,),Q xy则有：则有：000012022,111xyyx 解得解得002.1

36、xy 由两点式得由两点式得31112,12322yx即即350.xy解法二：因为对称轴直线的斜率为解法二：因为对称轴直线的斜率为 1 1，故利用，故利用“一解一代法一解一代法”.设直线设直线1:330lxy上点的坐标为上点的坐标为00(,),xy关于直线关于直线:20l xy对称的点坐标对称的点坐标为为(,),x y则则002,2xyyx将将0022xyyx代入直线方程代入直线方程330 xy得：得：3(2)(2)30,yx即即350.xy例例 9.169.16 在中，已知顶点在中，已知顶点 A(2,2)(2,2)，B的平分线所在直线的平分线所在直线1l的方程为的方程为 y=0,=0,C的平分

37、所在的平分所在直线直线2l的方程为的方程为 x+y-1=0,-1=0,求边求边 BC 所在直线的方程所在直线的方程.分析分析 用待定系数法直接求解边用待定系数法直接求解边 BC 所在直线的议程难度较大，故考虑角平分线的性质，如所在直线的议程难度较大，故考虑角平分线的性质，如图图 9 96 6 所示所示，利用角平分线的性质利用角平分线的性质（对称性对称性）可知可知，点点 A 关于关于CB ,的平分线的对称点的平分线的对称点均在直线均在直线 BC 上，故可以求两对称点所在直线的方程上，故可以求两对称点所在直线的方程.解析解析 如图如图 9 97 7 所示，设点所示，设点 A 关于直线关于直线1l的

38、对称点为的对称点为 D，则，则 D(2,-2)(2,-2)设点设点 A 关于直线关于直线2l的的对称点为对称点为),(00yxE，则，则0122221220000yxxy，解得，解得1100yx，即，即)1,1(E所以直线所以直线 DE 的斜率为的斜率为3121)2(1k，则直线，则直线 DE 的方程为的方程为)1(311xy，即，即043 yx故边故边 BC 所在直线方程为所在直线方程为043 yx变式变式 1 1 如图如图 9-89-8 所示，已知所示，已知 A(4,0),(4,0),B(0,4),(0,4),从点从点 P(2,0)(2,0)射出的光线经过直线射出的光线经过直线 AB 反射

39、后反射后再射到再射到 OB 上，最后经直线上，最后经直线 OB 反射后又回到点反射后又回到点 P，则光线所经过的路程是（，则光线所经过的路程是（）A.102B.6.6C.33D.52解析解析分别求点分别求点(2,0)P关于直线关于直线4xy及及y轴的对称点轴的对称点12(4,2),(2,0)PP，由光学知，由光学知识知，光线所经路程即识知，光线所经路程即12|2 10,PP 故选故选.A变式变式 2 2 在等腰三角形在等腰三角形 ABC 中，中，AB=AC=4=4，点，点 P 是边是边 AB 上异于上异于 A,B 的一点，光线从点的一点，光线从点 P出发，经出发，经 BC,CA 反射后又回到点

40、反射后又回到点 P（如图（如图 9-99-9 所示）所示）.若光线若光线 QR 经过经过ABC的重心，的重心，则则AP 等于（等于（）A.2.2B.1.1C.38D.34分析分析以点以点A为原点，建立平面直角坐标系求解，利用点为原点，建立平面直角坐标系求解，利用点P关于直线对称性求解关于直线对称性求解.解析解析分别以分别以,AB AC所在直线为所在直线为A轴轴，y轴轴，A为原点建立如图为原点建立如图 9 92323 所示的平面直角所示的平面直角坐标系坐标系.因为因为4,ABAC故故(4,0),(0,4),BC设点设点(,0)(0)P tt 为线段为线段AB上的点上的点，点点P关关AC的对称点的

41、对称点(,0)Pt，点点P关于关于BC的对称点的对称点(4,4).Mt由光的反射原理知，点由光的反射原理知，点,P M一定在直线一定在直线RQ上，又上，又ABC的重心坐标为的重心坐标为4 4(,),3 3G由题意知点由题意知点G在线段在线段RQ上上，即即,P G M三点共三点共线线.因为因为44(,),(4,4),33P GtMPt tP GMP ，所以所以44()(4)(4)033t tt，解得，解得4,3t 即即4|.3AP 故选故选.D最有效训练题最有效训练题 3939（限时（限时 4545 分钟）分钟）1.1.若直线若直线 ax+2+2y+6=0+6=0 和直线和直线0)1()1(2a

42、yaax垂直，则垂直，则 a 的值为（的值为（）A.23B.0.0C.23或或 0 0D.-3.-32.2.已知两条直线已知两条直线 y=ax-2-2 和和 3 3x-(-(a+2)+2)y+1=0+1=0 互相平行，则互相平行，则 a=(=()A.1.1 或或-3-3B.-1.-1 或或 3 3C.1.1 或或 3 3D.-1.-1 或或-3-33.3.直线直线 y=3=3x 绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转90，再向右平移，再向右平移 1 1 个单位，所得直线（个单位，所得直线（）A.3131xyB.131xyC.33 xyD.131xy4.4.设设 a,b,c 分别是分别是ABC中角中角

43、 A,B,C 所对边的边长，则直线所对边的边长，则直线0sincayAx与的与的0sinsinCBybx位置关系是（位置关系是（）A.平行平行B.重合重合C.垂直垂直D.相交但不垂直相交但不垂直5.5.设两条直线的方程分别为设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,=0,x+y+b=0,=0,已知已知 a,b 是方程是方程02cxx的两个实根的两个实根，且且810 c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A.21,42B.22,2C.21,2D.21,226.6.若三直线若三直线021:,01:,0832:321kkyxlyxlyxl能

44、围成三角形，则能围成三角形，则k（）A.23B.2C.23和和1D.1,23和和217.7.点点 P 为为 x 轴上一点，点轴上一点，点 P 到直线到直线 3 3x-4-4y+6=0+6=0 的距离为的距离为 6 6，则点坐标为，则点坐标为_8.8.过点过点 P(-1,2)(-1,2)且与点且与点 A(2,3)(2,3)和和 B(-4,5)(-4,5)距离相等的直线距离相等的直线 l 的方程为的方程为_9.9.若直线若直线2:1kkxyl与与42:2xyl的交点在第一象限，则实数的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围为的取值范围为_10.10.已知两条直线已知两条直线04:1byaxl和和0

45、)1(:2byxal，求满足下列条件的，求满足下列条件的 a,b 的的值值.（1 1）21ll，且，且1l过点（过点（-3-3，-1-1）；（2 2）21/ll，且坐标原点到这两条直线的距离相等，且坐标原点到这两条直线的距离相等.11.11.求 经 过 直 线求 经 过 直 线0123:1yxl和和0125:2yxl的 交 点，且 垂 直 于 直 线的 交 点，且 垂 直 于 直 线0653:3 yxl的直线的直线 l 的方程的方程.12.12.已知直线已知直线0132:yxl，点，点 A(-1,-2),(-1,-2),求：求：（1 1）点）点 A 关于直线关于直线 l 的对称点的对称点 A的

46、坐标；的坐标；（2 2）直线）直线 m:3:3x-2-2y-6=0-6=0 关于直线关于直线 l 的对称直线的对称直线m的方程；的方程；（3 3）直线）直线 l 关于点关于点 A(-1,-2)(-1,-2)对称的直线对称的直线 l的方程的方程.最有效训练题最有效训练题 3 39 91.1.C解析解析依题意依题意2(1)0,aa a得得32a 或或0.故选故选.C2.2.A解析解析由条件知由条件知12,3(2)1aa所以所以1a 或或3.故选故选.A3.3.A解析解析11:3,3.lyx k设设2l的斜率为的斜率为212,k ll所以所以21,3k 所以所以13yx 再再向右平移一个单位，得到向

47、右平移一个单位，得到1(1),3yx 即即11.33yx 3.故选故选.A4.4.C解析解析由已知得由已知得,0,sin0,aB所以两直线的斜率分别所以两直线的斜率分别12sin,.sinAbkkaB 由正弦定理得由正弦定理得,sinsinabAB则则12sin1,sinAbk kaB 所以两直线垂直所以两直线垂直.故选故选.C5.5.D解析解析因为因为|,2abd所以所以2211()4(14),22dababc又因为又因为10,8c所以所以21 1,4 2d 所以所以12.22d故选故选.D6.6.D解析解析由由102380 xyxy 得交点得交点(1,2).P 若若P在直线在直线102xk

48、yk上，则上，则1,2k 此时三条直线交于一点；此时三条直线交于一点；当当32k 时，直线时，直线1l与与3l平行；当平行；当1k 时，直线时，直线2l与与3l平行平行.综上所述，要使三条直线能围成三角形，应有当综上所述，要使三条直线能围成三角形，应有当1 3,2 2k 和和1.故选故选.D7.7.(12,0)或或(8,0).解析解析设点设点(,0),P a则有则有22|34 0|66,3(4)a 解得解得12a 或或8.a 所以点所以点P坐标为坐标为(12,0)或或(8,0).8.8.350 xy或或1x 解析解析解法一：当直线解法一：当直线l的斜率存在时，的斜率存在时，设直线设直线l的方程

49、为：的方程为：2(1),yk x即：即：20.kxyk由题意知由题意知22|232|452|,11kkkkkk 即即|31|33|,kk 所以所以1.3k 所以直线所以直线l的方程为的方程为12(1),3yx 即即350 xy.当直线当直线l的斜率不存在时，直线方程为的斜率不存在时，直线方程为1x ，也符合题意，也符合题意.解法二：当解法二：当,A B在直线在直线l的同侧，即的同侧，即ABl时，有时，有1,3ABkk 直直线线l的方程为的方程为12(1),3yx 即即350 xy.当当,A B在直线在直线l的异侧，即的异侧，即l过过AB的中点时，的中点时，AB的中点为的中点为(1,4),故直线

50、为故直线为1.x 故所求直线故所求直线l的方程为的方程为350 xy或或1x .9.9.2(,2)3解析解析解法一：先求解法一：先求1l与与2l的交点的交点(),(),P f kg k然后解不等式组然后解不等式组()0,()0f kg k求求k的取值范围，此想法很自然，但运算量较大，解略的取值范围，此想法很自然，但运算量较大，解略.解法二解法二：注意到注意到1l表示经过定点表示经过定点(1,2)M 且斜率为且斜率为k的直线系的直线系，而而2l过点过点(2,0),(0,4),AB于是于是,MAMBkkk由过两点的直线斜率公式可得由过两点的直线斜率公式可得2,2,3MAMBkk 从而从而22.3k