2022年高考数学考前必看公式与结论.pdf

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1、想，都是问题 第 1 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 1 页/共 33 页 做，才是答案 2022年高考数学考前必看公式与结论2022年高考数学考前必看公式与结论一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑 1.几何关系及运算中常用结论ABAABBUUABC BC AUAC B UC ABR2含有n个元素的集合共有2n 个子集；2n1 个真子集；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2个.3.含逻辑连接词命题真假判定p与p真假相反；pq一假即为假，两真才为真；pq一真即为真，两假才为假。4.常见结论的否定形式结论 是 都是 大于 小于 至 少一个 至 多一个 至少n个 至 多 有n

2、个对 所 有x，成立p或qp且q对任何x，不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 一 个也 没有 至 少两个 至多有(1n)个 至 少 有(1n)个 存 在 某x，不成立 p且qp或q存在某x，成立 5.特称命题与全称命题的否定全称命题：对xA，使()p x成立，其否定为：xA，使()p x成立；特称命题：xA，使()p x成立，其否定为：xA，使()p x成立。6.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题 若则 若则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非 原命题与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假 7.充要条件判定方法定义法：若pq，则

3、p是q充分条件；若qp，则p是q必要条件；若pq，且qp，则p 想，都是问题 第 2 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 2 页/共 33 页 做，才是答案 是q充要条件.集合法：若满足条件p的集合为 A，满足条件q的集合为 B，若 AB，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q必要不充分条件；若 A=B 则，p是 q充要条件。对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.二、函数二、函数 1.函数值域与最值求法(1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法.(2)换元法：换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单

4、问题的重要工具，包括代数换元和三角代换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为t，如是关于sin x或cosx的二次函数，如含sincosxx和cos sinxx的函数等常用换元法，常设sin x=t，cosx=t，sincosxx=t，等等，在用代数换元法时，注意新变量的范围.在换元前后原变量的范围应保持不变；对于x，y满足圆的方程或椭圆的方程或可化为平方和为 1 的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为 1,1或（0，1）的含二次根式的函数的最值问题，常设x=sin或x=2sin，将其化为三角函数的最值问题，注意参数

5、的范围.（3）利用函数有界性求值域（最值）若可化为关于2x、xsin、cosx、xa（a0 且a1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有界性求最值，这类问题通常有两种思路，（1）将函数解析式看作方程，用y将2x，xsin或x表示出来，利用2x，xsin等值域或x范围，化为关于y的不等式，通过解关于y的不等式求出y的范围，即可求出最值；利用这些函数的有界性，再利用不等式性质或函数的图像与性质，求出函数的最值.（4）不等式法不等式法 若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域.若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和

6、的形式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值时，.应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值.（5）利用判别式求值域（最值）对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常 想，都是问题 第 3 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 3 页/共 33 页 做，才是答案 可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用

7、此法，另外要注意要验证判别式为 0 时是否成立（6）数形结合法 对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据x的范围，求出内函数的值域，结合三角函数的图像，求出三角函数的范围，在利用不等式的性质求出值域，这类最值问题是高考考查的重点（7）分段函数的值域分段函数的值域 先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域.（8）复合函数的值域复合函数的值域 先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，在求出完函数的值域就是复合函数的值域.2.

8、分式函数()axbf xcxd（0ab）图像与性质 通过常量分离化为：()axbf xcxd=2bcadacdcxc 对称中心为（dc，ac），可将函数y=2bcadcx的图像向左（dc0）(向右（dc0）平移|dc|个单位，再向上（ac0）（向下（ac0）平移|ac|个单位得到.当bcad0 时，()f x减区间为（-，dc），（dc，+）；当bcad0 时，()f x的增区间为（-，dc），（dc，+）.3.二次函数2()(0)f xaxbxc a解析式与性质(1)解析式：一般式2()(0)f xaxbxc a;顶点式2()()(0)f xa xhk a;零点式12()()()(0)f x

9、a xxxxa.（2）性质:顶点为（2ba，244acba），对称轴为：x=2ba；想，都是问题 第 4 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 4 页/共 33 页 做，才是答案 当a0 时，减区间为（-，2ba），增区间为（2ba，+）；当a0 时，增区间为（-，2ba），减区间为（2ba，+）4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0 时，qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xf pf q.若qpabx,2，则min()

10、()2bf xfa；maxmax()(),()f xf pf q (2)当a0 时，若qpabx,2，则min()min(),()f xf pf q，若qpabx,2，则max()max(),()f xf pf q，min()min(),()f xf pf q.5.一元二次方程的实根分布 1x，2x是一元二次方程2axbxc=0 的根，设()f x=2axbxc.根的分布 充要条件 充要条件 1 充要条件 2 2x,1x(m,+)1xm且 2xm 12122()()0()()040 xmxmxm xmbac 2240()0bmabacafm 1x,2x(-,m)1xm且 2xm 12122()

11、()0()()040 xmxmxm xmbac 2240()0bmabacafm 1xm2x 1xm2x 12()()0 xm xm()0af m m1x2xn m1x2xn 12()()0 xm xn 2240()0()0bmnabacaf maf n 6.不等式恒成立、有解判断结论：(1)()Nf xM()()0f xMf xN(2)对于参数a及函数(),yf x xA.想，都是问题 第 5 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 5 页/共 33 页 做，才是答案 若()af x恒成立，则max()afx；若()af x恒成立，则min()afx；若()af x有解，则min()

12、afx；若()af x有解，则max()afx；若()af x有解，则minmax()()fxafx.7.函数的单调性(1)设2121,xxbaxx那么 1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.8.单调函数性质与复合函数单调性 如果函数)(xf和)(xg在相同区间上是单调函数,则增函数+增函数是增函数；减函数+减函数是减函数；增

13、函数-减函数是增函数；减函数-增函数是减函数；如果函数)(ufy 和)(xgu 在其对应的定义域上都是减函数（增函数）,则复合函数)(xgfy 是增函数.如果函数)(ufy 和)(xgu 在其对应的定义域上一个是减函数另一个是增函数，则复合函数)(xgfy 是减函数.9函数的奇偶性()f x是 奇 函 数对 定 义 域 内 任 意x，都 有()()fxf x 对 定 义 域 内 任 意x，都 有()()0fxf x()f x图像关于原点对称；()f x是 偶 函 数对 定 义 域 内 任 意x，都 有()()fxf x对 定 义 域 内 任 意x，都 有()()0fxf x()f x图像关于y

14、轴对称；10.函数()yf x的图象的对称性结论 若函数)(xfy 关于xa对称对定义域内任意x都有()f ax=()f ax对定义域内任意x都有()f x=(2)fax()yf xa是偶函数；想，都是问题 第 6 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 6 页/共 33 页 做，才是答案 函数)(xfy 关于点（a，0）对定义域内任意x都有()f ax=()f ax(2)fax=()f x()yf xa是奇函数；若函数)(xfy 对定义域内任意x都有)()(xbfaxf,则函数)(xf的对称轴是2bax；若函数)(xfy 对定义域内任意x都有()()f xaf bx,则函数)(xf的

15、对称轴中心为(,0)2ab；函数(|)yfxa关于xa对称.11.两个函数对称的结论 两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.函数()yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x(即y轴)对称.函数()yf x与函数()yf x 的图象关于直线0y(即x轴)对称。函数()yf x与函数()yfx 的图象关于点（0,0）（即原点)对称。12.函数)(xfy 的图象变换 将函数()yfx图像0)(0)|aaa向左(向右单位()yfxa的图象；将函数)(xfy 图像0)(0)|bbb 向上(向右单位()yf xb的图象；将函数)(xfy 图像xxx轴下方部分沿 轴对折到 轴上

16、方|()|yf x的图象；将函数)(xfy 图像y擦除 轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折(|)yf x的图象；13.几个函数方程的周期(约定a0)（1）对定义域内任意x都有)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）对定义域内任意x都有()()f xf xa，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x()0)f x,则)(xf的周期 T=2a；（3）若函数)(xf关于x=a，x=b对称，则)(xf的周期为2|ba；（4）若函数)(xf关于（a，0），（b，0）对称，则)(xf的周期为2|ba；（5）若函数)(xf关于x=a，（b，0）对称，则)(xf的周期为4|ba

17、.想，都是问题 第 7 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 7 页/共 33 页 做，才是答案 14.分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.15根式的性质 （1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.16有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

18、17.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.18.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).对数恒等式：logaMaM 19对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.20.平均增长率的问题 想，都是问题 第 8 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 8 页/共 33 页 做，才是答案 如果原来产值的基础数

19、为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.三、数列三、数列 1.数列的第 n 项与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).2.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n.3.等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q.4.等比差数列 na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式

20、为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq.四、三角函数与解三角形四、三角函数与解三角形 1常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx.想，都是问题 第 9 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 9 页/共 33 页 做，才是答案(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.2.两角和差的三角函数：coscoscossinsincoscossin 令222 tantantantantan1 211222cossin tant

21、antan2212 coscossincos22122122 辅助角公式：xbaxbxasincossin22(其中角所在的象限由 a,b 的符号确定，角的值由abtan确定)在求最值、化简时起着重要作用.sin2sincos22tan1tan.2222cos2cossin2cos112sin 221tan1tan.2sin21 cos2tan,cos1 cos2sin2 21sin2222(cossin)|cossin|sincossin24 sincossin323 3.三角函数图像的对称中心和对称轴的结论：正弦函数sin()yx xR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ

22、.函数sin()yAx对称轴可由2xkkZ解出；对称中心的横坐标是 方程xkkZ的解，对称中心的纵坐标为0.余弦函数cos()yx xR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ.想，都是问题 第 10 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 10 页/共 33 页 做，才是答案 函数cosyAx对称轴可由xkkZ解出；对称中心的纵坐标是方程2xkkZ的解，对称中心的横坐标为0.正切函数tan()2yx xkkZ是奇函数，对称中心是,02kkZ，函数tanyAx对称中心的横坐标可由2kxkZ解出，对称中心的纵坐标为0，函数tanyx不具有轴对称性.4.ABC中的结论：（1）

23、正弦定理：2sinsinsinabcRABC.（2）余弦定理：2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.（3）面积定理：111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.111sinsinsin222SabCbcAcaB.（4）其它结论：()ABCCAB222CAB222()CAB.sinsin()ABC,coscos()ABC,tantan()ABC.22sincosABC,22cossinABC,22tancotABC.sinsinabABAB.锐角ABC中,2AB,sincos,coscosABAB.tantant

24、antantantanABCABC.五、平面向量五、平面向量 1.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么(1)结合律：()()aa;(2)第一分配律：()aaa;(3)第二分配律：()abab 2.向量的数量积的运算律：(1)a b=b a;(2)()ab=a b=()ab;想，都是问题 第 11 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 11 页/共 33 页 做，才是答案(3)()abca cb c 3.平面向量基本定理如果1e、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得a=12ee 不共线的向量1e、2e 叫做表示这一平面内所有向量的

25、一组基底基底 4向量平行的坐标表示 学/*科+-*网 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则ab(b0)存 在 唯 一存 在 唯 一使 得使 得a=b12210 x yx y.5.a与b的数量积(或内积)a b=|cosa b 6.a b 的几何意义 数量积a b 等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积 7.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ab=1212(,)xxyy.(2)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy .(3)设a=(,),x yR，则a=(,)xy.(4)设a=11

26、(,)x y,b=22(,)xy，则a b=1212()x xy y.8.两向量的夹角公式公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).9.向量垂直的充要条件设a=11(,)x y,b=22(,)xy，ab(a0)a b=012120 x xy y.10.三点共线的充要条件及中点公式（1）P、Q、M 三点共线OPmOQnOM （1mn）.想，都是问题 第 12 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 12 页/共 33 页 做，才是答案（2）P 是线段 QM 的中点1()2OPOQOM 若 M11(,)x y,N22(,)xy,则线

27、段 QM 的中点（1212,22xxyy）11.三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC .（2）O为ABC的重心0OAOBOC .（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA .（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC .（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC .六、不等式六、不等式 1.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)，变形：2222()()abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取

28、“=”号)，变形：2()2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333.abcabc（当且仅当abc时取“=”）（4）柯 西 不 等 式 设1a，2a，na，1b，2b，nb R,则222222212121 122()()()nnnnaaabbba ba ba b,当且仅当ib=0（i=1,2，n）或存在一个实数k，使得ia=ikb（i=1,2，n）时，等号成立.（5）ababab.2.一元二次不等式解法 若20axbxc对应两根为1x，2x且a0，则2axbxc012,xxxx或；2axbxc012xxx 想，都是问题 第 13 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 13

29、 页/共 33 页 做，才是答案 3.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有22xaxaaxa.22xaxaxa或xa.|xaxbc(ab）xaaxbxc或axbxabxc或xbxaxbc 4.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 5.线性规划目标函数常用的转化公式：,xzzaxbyybb 与直线的截距相关联.()()1

30、1;11;(,)(,)()()byy b ay bxy byc bx bazaakka bx yy cx a x cxcx cxcy ckx b ；与的斜率 2222()()zxyaxbyczxmxn表示(,)x y到(,)m n两点距离的平方；2222axbyczaxbyczabab表示(,)x y到直线0axbyc的距离的22ab倍.七、解析几何七、解析几何 1.斜率公式 2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.想，都是问题 第 14 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 14 页/共 33 页 做，才是答案 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()

31、yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb 1212121212|,llkk bbllaa或、斜率都不存在，;12121llk k.(2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12211

32、2122112210|00ABA BllACA CC BC B或；1212120llA AB B；4四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其中k是待定的系数;经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0A xB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示

33、平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量 想，都是问题 第 15 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 15 页/共 33 页 做，才是答案 5.点到直线的距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).6.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossinxarybr.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0 xxx

34、xyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy).7.圆系方程(1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是 1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线AB的方程,是待定的系数(2)过 直 线l:0AxByC与 圆C:220 xyDxEyF的 交 点 的 圆 系 方 程 是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数(3)过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是

35、2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数 8.点与圆的位置关系 点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 若2200()()daxby，则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.9.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:想，都是问题 第 16 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 16 页/共 33 页 做，才是答案 其中22BACBbAad 0相离rd;0相切rd;0相交rd.10.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO2

36、1 条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.11.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF.当00(,)xy圆外时,0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有

37、两条切线(2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr;斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.想，都是问题 第 17 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 17 页/共 33 页 做，才是答案 12.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.13.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，

38、0，焦点在y 轴上）14.抛物线pxy22的焦半径公式 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122=22sinp（其中直线 CD 的倾斜角为）.15.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或 2211|ABkxx（弦端点 A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy 消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.八、立体几何与空间向量八、立体几何与空间向量 1证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点，依据平行线定义：在同一平面内没有公共点的两直线；（2）转化为二

39、直线同与第三条直线平行，依据公理 4：平行同一直线的两条直线平行；（3）转化为线面平行，依据线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行；（4）转化为线面垂直，依据线面垂直得性质定理：垂直同一平面的两直线平行；（5）转化为面面平行，依据面面平行的性质定理：两个平面同时和第三个平面相交，则交线平行.（6）向量法：证明两直线的方向向量共线.2证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点，依据线面平行定义：若一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线 想，都是问题 第 18 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 18

40、页/共 33 页 做，才是答案 与这个平面平行；（2）转化为线线平行，依据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；（3）转化为面面平行，依据面面平行的性质定理：若两个平面平行，则一个平面的任意一条直线都和另一平面平行.（4）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.3证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点，依据面面平行的定义：若两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；（2）转化为线面平行，依据面面平行的判定定:1：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.；（3）通过线线平行证明，依据面面平行的判

41、定定理 2：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内两直线平行，那么这两个平面平行.；（3）转化为线面垂直，依据线面垂直得性质：垂直于同一直线的两个平面平行.4证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直，依据：一条直线与两平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直；（2）转化为线面垂直，依据线面垂直的定义：一直线与与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直；（3）向量法：证明两直线的方向向量垂直.5证明直线与平面垂直的思考途径（1）定义法：一直线与与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直；（2）判定定理法：若一条直线与平面内两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；（3）转化为该直线与

42、平面的一条垂线平行，依据线面垂直的性质：若两条平行线的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面，依据线面垂直的性质：若一条直线垂直两个平面的一个，则与另一个平面也垂直；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直，依据面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直另一个平面.（6）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行.6证明平面与平面的垂直的思考途径 想，都是问题 第 19 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 19 页/共 33 页 做，才是答案（1）定义法：若两个平面所成的二面角的平面角是直

43、角，则称这两个平面垂直；（2）判定定理法：若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab 8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.9.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b0)，ab存在实数使a=b PAB、三点共线|APABAPtAB (1)OPt OAtOB .|AB CDAB、CD 共线且ABCD、不共线ABtCD 且ABC

44、D、不共线.10.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,x y,使pxayb 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对,x y,使MPxMAyMB，或对空间任一定点 O，有序实数对,x y，使OPOMxMAyMB .学科+-*/网 11.对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满足OPxOAyOBzOC （xyzk），则当1k 时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当1k 时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面 C AB、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC (1

45、)ODxy OAxOByOC （O平面 ABC）.12.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p 想，都是问题 第 20 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 20 页/共 33 页 做，才是答案 xaybzc 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOC .13.射影公式 已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作 A 点在l上的射影A，作 B 点在l上的射影B，则|cosABAB a，e=a e 14.向量的直角坐标运

46、算 设a123(,)a a a，b123(,)b b b则(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa(R)；(4)ab1 1223 3a ba ba b；15.设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则 ABOBOA =212121(,)xx yy zz.16空间的线线平行或垂直 设111(,)ax y zr，222(,)bxyzr，则a brrP(0)ab brr rr121212xxyyzz；abrr0a br r1212120 x xy yz z.17.夹角公式 设a123(,)a a a，b123(

47、,)b b b，则 cosa，b=1 1223 3222222123123a ba ba baaabbb.推论 22222221 12 23 3123123()()()aba ba baaabbb，此即三维柯西不等式.想，都是问题 第 21 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 21 页/共 33 页 做，才是答案 18异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫异面直线，特征：既不相交也不平行.(2)异面直线所成角概念：a b,是两条直线，O 是空间任意一点，过 O 作aa，bb，则相交直线a、b所成的锐角或直角叫异面直线a b,所成的角，范围：（0，2.（3）异面直线a b

48、,所成角的求解思路 定义法：根据异面直线所成角的定义，通过过一点（通常在一条直线上取一点）作两条异面直线的平行线，转化为相交直线的夹角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二作三证四解.向量法：cos|cos,|a br r=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）19.直线AB与平面所成角（1）概念：斜线与直线在平面的射影所成的锐角叫这条斜线与这个平面所成的角，规定：直线与平面平行或在平面内，直线与平面所成的角为 0；直线与平面垂直时，直线与平面所成角

49、为2，范围：0,2.(2)求线面角的思路 几何法：根据定义转化为斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二作三证四解.向量法：若直线a的方向向量为n与平面内的法向量为m，直线a与平面的所成的角为，则sin=|cos,|m n=|n mn m.20.二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面.（2）二面角平面角的定义：过二面角棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.（3）二面角问题的解题思路 几何法：解题步骤，一找二作三证四解，作二面角平面角有

50、三种方法：垂面法，过棱上一点作棱的垂面，垂面与两个半平面交于两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，若易过棱上一点作棱的垂面，常用此法,如若已知过一点与两个半平面垂直的直线，则过这两线做棱的垂面，与两个半平面的交线所成的角 想，都是问题 第 22 页/共 33 页 做，才是答案想，都是问题 第 22 页/共 33 页 做，才是答案 就是二面角的平面角.；垂线法，过棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角，若过棱上一点在两个半平面内易作棱的垂线，常用此法，如若两个半平面都是以棱为底等腰三角形或一个以棱为底等腰三角形，则做等腰三角形底边上的高，在另一个半平