专题14 动点最值之胡不归模型（讲+练）（含答案）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练.pdf

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1、2022 年中考数学几何模型专项复习与训练年中考数学几何模型专项复习与训练专题专题 14动点最值之胡不归模型动点最值之胡不归模型背景故事：背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间

2、为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点 A 在驿道下方作射线 AE，夹角为，且，作 DGAE 于点 G，则，将转化为 DGDB，再过点 B 作 BHAE 于点 H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时 DGDB 的最小值为 BH，综上，所需时间的最小值为解决思路：解决思路：构造射线 AD 使得 sinDAN=k，即CHkAC，CH=kAC将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BHAD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小例题例题 1.如图，ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，

3、BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则55CDBD的最小值是_例例 2.如图，ABC 在直角坐标系中，ABAC，C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从A 出发，运动路径为 ADC，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D的坐标应为（）A（0，）B（0，）C（0，）D（0，）例例 3.如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tanEBA，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到

4、E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s【变式训练 1】如图，平行四边形 ABCD 中，DAB=60，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则32PBPD的最小值等于_【变式训练 2】如图，在ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则的最小值是.【变式训练 3】如图，平行四边形 ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上的一动点，则的最小值等于_课后训练课后训练1.如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，AB4，点 D、F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD，过点 A 作 AECD 交 BC

5、于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF+FB 的最小值是（）ABCD2.如图，AC 是圆 O 的直径，AC4，弧 BA120，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+BD 的最小值为（）ABCD3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2bxc 的图象经过点，C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PBPD 的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有个；连接 MA，MB，若AMB 不小于 60，

6、求 t 的取值范围4.如图，在ACE 中，CACE，CAE30，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上（1）证明：CE 是O 的切线；（2）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当CDOD 的最小值为 6 时，求O 的直径AB 的长5.如图，已知抛物线 y（x2）（x4）（k 为常数，且 k0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，经过点 B 的直线 yxb 与抛物线的另一交点为 D（1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内

7、的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？专题专题 14 动点最值之胡不归模型动点最值之胡不归模型背景故事：背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时

8、，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点 A 在驿道下方作射线 AE，夹角为，且，作 DGAE 于点 G，则，将转化为 DGDB，再过点 B 作 BHAE 于点 H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时 DGDB 的最小值为 BH，综上，所需时间的最小值为解决思路：解决思路

9、：构造射线 AD 使得 sinDAN=k，即CHkAC，CH=kAC将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BHAD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小例题例题 1.如图，ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则55CDBD的最小值是_【解析】tanA=2，ABE 三边之比为1:2:5，5sin5ABE，故作 DHAB 交 AB 于 H 点，则55DHBD问题转化为 CD+DH 最小值，故 C、D、H 共线时值最小，此时4 5CDDHCHBE例例 2.如图，ABC 在

10、直角坐标系中，ABAC，C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从A 出发，运动路径为 ADC，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D的坐标应为（）A（0，）B（0，）C（0，）D（0，）【答案】D【解析】假设 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V，总时间，要使 t 最小，就要CD 最小，因为 ABAC3，过点 B 作 BHAC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D，易证ADHACO，所以，所以，因为ABC 是等腰三角形，所以 BDCD，所以要最小，就是要 DHBD 最小，就要 B、D、H 三点共线就行了 因为AOC

11、BOD，所以，即，所以，所以点 D 的坐标应为.例例 3.如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tanEBA，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s【答案】【解析】过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线相交于点 H，如图，EHAB，HEBABE，tanHEDtanEBA，设 DH4m，EH3m，则 DE5m，蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间4（s）若设蚂蚁从 D 爬到 H

12、点的速度为 1 单位/s，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间4（s），蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位/s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H 点的时间，作 AGEH 于 G，则 ADDHAHAG，ADDH 的最小值为 AQ 的长，当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，则 A（1，0），B（3，0），直线 BE 交 y 轴于 C 点，如图，在 RtOB

13、C 中，tanCBO，OC4，则 C（0，4），设直线 BE 的解析式为 ykxb，把 B（3，0），C（0，4）代入得，解得，直线 BE 的解析式为，解方程组得或，则 E 点坐标为，蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间（s），即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为【变式训练 1】如图，平行四边形 ABCD 中，DAB=60，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则32PBPD的最小值等于_【解析】已知A=60，且 sin60=32，故延长 AD，作 PHAD 延长线于 H 点，即可得32PHPD，32PBPD=PB+PH当 B、P、H 三点共线时，可得 PB+PH 取到最小值，即 BH 的长

14、，解直角ABH 即可得 BH 长【变式训练 2】如图，在ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则的最小值是.【答案】【解析】如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 MBEAC，AEB90，设 AEa，BE2a，则有：100a24a2，a220，ABAC，BEAC，CMAB，DBHABE，BHDBEA，CDDHCM，.【变式训练 3】如图，平行四边形 ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上的一动点，则的最小值等于_【解答】过点 P 作 PQAD，垂足为 Q，四边形 ABCD 是平行四边形，DC/AB，QDPDAB60，当

15、点 B、P、Q 三点共线时，有最小值，的最小值为.课后训练课后训练1.如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，AB4，点 D、F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD，过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF+FB 的最小值是（）ABCD【解答】解：延长 AC 到点 P，使 CPAC，连接 BP，过点 F 作 FHBP 于点 H，取 AC 中点 O，连接 OG，过点 O 作 OQBP 于点 Q，ACB90，ABC30，AB4，ACCP2，BPAB4ABP 是等边三角形，FBH30，RtFHB 中，FHFB当 G、F、H 在同一直线上时，GF+FB

16、GF+FHGH 取得最小值AECD 于点 G，AGC90，O 为 AC 中点，OAOCOGACA、C、G 三点共圆，圆心为 O，即点 G 在O 上运动，当点 G 运动到 OQ 上时，GH 取得最小值RtOPQ 中，P60，OP3，sinPOQOP，GH 最小值为故选：C2.如图，AC 是圆 O 的直径，AC4，弧 BA120，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+BD 的最小值为（）ABCD【解答】解：的度数为 120，C60，AC 是直径，ABC90，A30，作 BKCA，DEBK 于 E，OMBK 于 M，连接 OBBKAC，DBEBAC30，在 RtDBE 中，DEBD，OD+B

17、DOD+DE，根据垂线段最短可知，当点 E 与 M 重合时，OD+BD 的值最小，最小值为 OM，BAOABO30，OBM60，在 RtOBM 中，OB2，OBM60，OMOBsin60，DB+OD 的最小值为，故选：B3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2bxc 的图象经过点，C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PBPD 的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有个；连接 MA，MB，若AMB

18、 不小于 60，求 t 的取值范围【解答】（1），；（2）；【解析】（1）由题意解得，抛物线解析式为，顶点坐标（2）如图，连接 AB，作 DHAB 于 H，交 OB 于 P，此时PBPD 最小理由：OA1，OB，tanABO，ABO30，PHPB，PBPDPHPDDH，此时PBPD 最短（垂线段最短）在 RtADH 中，AHD90，AD，HAD60，sin60，DH，PBPD 的最小值为；4.如图，在ACE 中，CACE，CAE30，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上（1）证明：CE 是O 的切线；（2）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示O 的直径 A

19、B；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当CDOD 的最小值为 6 时，求O 的直径AB 的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）AB8【解析】（1）连接 OC，如图，CACE，CAE30，ECAE30，COE2A60，OCE90，CE 是O 的切线；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC，如图，由题可得 CHh在 RtOHC 中，CHOCsinCOH，hOCsin60OC，OCh，AB2OCh；（3）作 OF 平分AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图，则AOFCOFAOC（18060）60OAOFOC，AOF、COF 是等边三角形，AFA

20、OOCFC，四边形 AOCF 是菱形，根据对称性可得 DFDO过点 D 作 DHOC 于 H，OAOC，OCAOAC30，DHDCsinDCHDCsin30DC，CDODDHFD根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DHFD（即CDOD）最小，此时 FHOFsinFOHOF6，则 OF4，AB2OF8当CDOD 的最小值为 6 时，O 的直径 AB 的长为 85.如图，已知抛物线 y（x2）（x4）（k 为常数，且 k0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，经过点 B 的直线 yxb 与抛物线的另一交点为 D（1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数

21、表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）当点 F 坐标为（2，）时，点 M 在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线 y（x2）（x4），令 y0，解得 x2 或 x4，A（2，0），B（4，0）直线经过点 B（4，

22、0），4b0，解得 b，直线 BD 解析式为：当 x5 时，y，D（5，）点 D（5，）在抛物线 y（x2）（x4）上，（52）（54），抛物线的函数表达式为：（x2）（x4）即（2）由抛物线解析式，令 x0，得 yk，C（0，k），OCk因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP 为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB 或ABCPAB若ABCAPB，则有BACPAB，如答图 21 所示设 P（x，y），过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ONx，PNytanBACtanPAB，即：，P（x，xk），代入抛物线解析式 y（x2）（x4），得（x2）（x4）xk，整理得：x26x

23、160，解得：x8 或 x2（与点 A 重合，舍去），P（8，5k）ABCAPB，即，解得：若ABCPAB，则有ABCPAB，如答图 22 所示设 P（x，y），过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ONx，PNytanABCtanPAB，即：，P（x，x），代入抛物线解析式 y（x2）（x4），得（x2）（x4）x，整理得：x24x120，解得：x6 或 x2（与点 A 重合，舍去），P（6，2k）ABCPAB，解得，k0，综上所述，或（3）作 DKAB，AHDK，AH 交直线 BD 于点 F，DBA30，BDH30，FHDFsin30，当且仅当 AHDK 时，AFFH 最小，点 M 在整个

24、运动中用时为：，lBD：，FXAX2，F（2，）专题专题 15 动点最值之阿氏圆模型动点最值之阿氏圆模型背景故事背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：模型建立：当点 P 在一个以 O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：BOPPOA，对于圆上任意一点 P 都有.对于任意一个圆，任意一个 k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取 A、B 点，则需【技巧总结】【技巧总结】计算计算

25、PAk PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点问题：在圆上找一点 P 使得使得PAk PB 的值最小，解决步骤具体如下：的值最小，解决步骤具体如下：如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OB计算出这两条线段的长度比OPkOB在 OB 上取一点 C，使得OCkOP，即构造POMBOP，则PCkPB，PCk PB 则=PAk PB PAPCAC，当 A、P、C 三点共线时可得最小值例例 1.1.如图，在 RtABC 中，ACB90，CB7，AC9，以 C 为圆心、3 为半径作C，P 为

26、C 上一动点，连接 AP、BP，则13APBP 的最小值为（）A7B52C410D2 13例例 2.2.在ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P 是A上一动点，连接 PB，PC，则32PCPB的最小值_6 7373PBPC的最小值_例题例题 3.如图，已知正方 ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则12PDPC的最大值为_【变式训练 1】如图，已知菱形ABCD的边长为 4，60B，B的半径为 2，P 为B上一动点，则12PDPC的最小值_36PCPD的最小值_【变式训练 2】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径

27、为 2，点 P 是圆 B 上一动点，则的最小值为，的最大值为.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.【变式训练 4】如图，菱形ABCD的边长为 2，锐角大小为60，A与BC相切于点 E，在A上任取一点 P，则32PBPD的最小值为_课后训练课后训练1.如图，矩形ABCD中，4,2ABAD，以 B 为圆心，以BC为半径画圆交边AB于点 E，点 P 是弧CE上的一个动点，连结,PD PA，则12APDP的最小值为（）A10B11C13D142.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），

28、P 是AOB 外部的第一象限内一动点，且BPA135，则 2PDPC 的最小值是.3.如图，在Rt ABC中，C=90，CA=3，CB=4C的半径为 2，点 P 是C上一动点，则12APBP的最小值_23PBPA的最小值_4.如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC1，BD2，点 P 为弧 AB 上一动点，求的最小值.5.（1）如图 1，在ABC 中，ABAC，BD 是 AC 边上的中线，请用尺规作图做出 AB 边上的中线 CE，并证明 BDCE：（2）如图 2，已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，PA3，求 PC+PD 的最小值；（3）如图 3，在

29、矩形 ABCD 中，AB18，BC25，点 M 是矩形内部一动点，MA15，当 MC+MD 最小时，画出点 M 的位置，并求出 MC+MD 的最小值6.如图 1，抛物线 yax2（a3）x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M（1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值；（3）如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转

30、角为（090），连接 EA、EB，求 EAEB 的最小值专题专题 15 动点最值之阿氏圆模型动点最值之阿氏圆模型背景故事背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：模型建立：当点 P 在一个以 O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：BOPPOA，对于圆上任意一点 P 都有.对于任意一个圆，任意一个 k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取 A、B 点，则需【技巧总结】【技巧总结】

31、计算计算PAk PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点问题：在圆上找一点 P 使得使得PAk PB 的值最小，解决步骤具体如下：的值最小，解决步骤具体如下：如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OB计算出这两条线段的长度比OPkOB在 OB 上取一点 C，使得OCkOP，即构造POMBOP，则PCkPB，PCk PB 则=PAk PB PAPCAC，当 A、P、C 三点共线时可得最小值例例 1.1.如图，在 RtABC 中，ACB90，CB7，AC9，以 C 为圆心、3 为半径作C

32、，P 为C 上一动点，连接 AP、BP，则13APBP 的最小值为（）A7B52C410D2 13【答案】B【详解】如图，在 CA 上截取 CM，使得 CM1，连接 PM，PC，BMPC3，CM1，CA9，PC2CMCA，PCCMCACP，PCMACP，PCMACP，13PMPCPAAC，PM13PA，13AP+BPPM+PB，PM+PBBM，在 RtBCM 中，BCM90，CM1，BC7，BM221752，13AP+BP52，13AP+BP 的最小值为 52故选：B例例 2.2.在ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P 是A上一动点，连接 PB，PC，则32PCPB

33、的最小值_6 7373PBPC的最小值_【答案】2163 7373【详解】连接 AP，在 AB 上取点 Q，使 AQ=4，连接 CQ，A 的半径为 6，即 AP=6，23ABAP，又6923APAB，且PAQBAP，APQABP，23PQAPPABB，23PQBP，232333PCPBPCBPPCPQ，当PCQ、三点共线时，PCPQ的值最小，最小值为CQ的长，过 C 作 CIAB 于 I，90CIBCIQ，在 RtCIB 中，60CBI，BC=8，3sin2CICBIBC，4 3CI，224BIBCCI，9441QIABAQBI，在 RtCIQ 中，227CQQICI，32PCPB的最小值为3

34、21PCPQ；故答案为：21；连接 AP，由得：在 RtCIA 中，222254 373ACAICI，在 AC 上取点 G，使 AG=36 7373，连接 PG，BG，36 736 773673AGAP，66 737373APAC，PPACAAGA，且GAPPAC，AGPAPC，6 7373GPAGAPPC，6 7373GPPC，6 7373PBPCPBGP，当GPB、三点共线时，PBGP的值最小，最小值为BG的长，过 G 作 GHAB 于 H，90GHAGHB，在 RtCIA 中，4 3sinC73CIAIAC，在 RtGAH 中，4 3sin73GHGAHAG，144 373GH，2218

35、073AHAGGH，18047797373BHABAH，在 RtGHB 中，2222477144 363 73737373BGBHGH，6 7373PBPC的最小值为63 7373故答案为：63 7373例题例题 3.如图，已知正方 ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则12PDPC的最大值为_【解析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3，根据题意要求构造12PC，在 BC 上取 M 使得此时 PM=32，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM=12PC，从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值连接 PD，对于PDM，PD-PMDM，故当 D

36、、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152【变式训练 1】如图，已知菱形ABCD的边长为 4，60B，B的半径为 2，P 为B上一动点，则12PDPC的最小值_36PCPD的最小值_【答案】371113【详解】如图，在 BC 上取一点 G，使得 BG=1，连接 PB、PG、GD，作 DFBC 交 BC 延长线于 F221PBBG，422BCPB，PBBCBGPB，PBGPBC，PBGCBP，12PGBGPCPB，12PGPC，12PDPCDPPG，DPPGDG，当 D、P、G 共线时，PD+12PC 的值最小，最小值为 DG，在 RtCDF 中，DCF=60，CD=4，DF=CDsin

37、60=23，CF=2，在 RtGDF 中，DG22(2 3)(5)37，故答案为：37；如图，连接 BD，在 BD 上取一点 M，使得 BM=33，连接 PB、PM、MC，过 M 作 MNBC 于 N四边形 ABCD 是菱形，且60ABC，ACBD，AOB=90，ABO=CBO=12ABC=30，AO=12AB=2，BO=2222422 3ABAO，BD=2 BO=4 3，33326BMPB，2364 3PBBD，36BMPBPBBD，且MBP=PBD，MBPPBD，36PMPBPDBD，36PMPD，36PCPDPCPMMC，当 M、P、C 共线时，36PCPD的值最小，最小值为 CM，在

38、RtBMN 中，CBO=30，BM=33，MN=12BM=36，BN=2212BMMN，CN=4-1722，MC=22221113CNMNCNMN，36PCPD的最小值为1113【变式训练 2】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上一动点，则的最小值为，的最大值为.【答案】最小值为 5，最大值为 5【解析】在 BC 上取一点 G，使得 BG1，连接 PG、DG，如图所示：PBGPBC，PBGCBP，在PDG 中，DPPGDG，当 D、G、P 共线时，的值最小，最小值为；当点 P 在 DG 的延长线时，的值最大，如图所示：此时最大值也是 DG，最大值为

39、5.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.【答案】5【解析】取点 K（1，0），连接 OP、PK、BK，如图所示：OP2，OA4，OK1，POKAOP，POK AOP，在PBK 中，的最小值为 BK 的长，B（4，4），K（1，0），的最小值为 5.【变式训练 4】如图，菱形ABCD的边长为 2，锐角大小为60，A与BC相切于点 E，在A上任取一点 P，则32PBPD的最小值为_【答案】372【详解】解：在 AD 上截取 AH=1.5，连接 PH、AE，过点 B 作 BFDA 延长线，垂足为 F，AB=2，ABC=60，

40、BE=AF=1，AE=BF=3，2 33APADAHAP，PAD=PAH，ADPAPH，2 33DPADPHAP，PH=32PD，当 B、P、H 共线时，32PBPD的最小，最小值为 BH 长，BH=222237(3)2.52BFFH；故答案为：372课后训练课后训练1.如图，矩形ABCD中，4,2ABAD，以 B 为圆心，以BC为半径画圆交边AB于点 E，点 P 是弧CE上的一个动点，连结,PD PA，则12APDP的最小值为（）A10B11C13D14【答案】C【详解】解：如图，连接 BP，取 BE 的中点 G，连接 PG，2ADBCBP，4AB，2142BPBA，G 是 BE 的中点，1

41、2BGBP，BPBGBABP，PBGABP，BPGBAP，12PGBPAPBA，12PGAP，则12APDPPGDP，当 P、D、G 三点共线时，取最小值，即 DG 长，224913DGADAG故选：C2.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P 是AOB 外部的第一象限内一动点，且BPA135，则 2PDPC 的最小值是.【答案】【解析】依题意可得 OAOB2，BPA135，点 P 的轨迹是以原点为圆心，OA 长为半径的圆 O 上的劣弧 AB，构造圆 O，连接 OP，在 OC 上截取 OE1，连接 PE、ED，过点 D 作 DFOC 于点 F，如图

42、所示：，POCEOP，POC EOP，当 E、P、D 三点共线时，PDPE 的值最小，最小值为 DE 的值，DFOC 于点 F，则 DF2，EF2，的最小值为 2DE.3.如图，在Rt ABC中，C=90，CA=3，CB=4C的半径为 2，点 P 是C上一动点，则12APBP的最小值_23PBPA的最小值_【答案】104 103【详解】在 BC 上取点 D，使 CD=14BC=1，连接 AD，PD，PC，由题意知：PC=2，12DCPCPCBC，PCD=BCP，PDCBPC，12PDPB，且12PAPBPAPDAD，229110ADACCD，2PAPB的最小值为10，故答案为：10；在 AC

43、上取点 E，使 CE=43，连接 PE，BE，PC，42323CEPC，23PCAC，23CEPCPCAC，且PCE=ACP，PECAPC，23PEPCPAAC，23PEPA，23PBPAPBPEBE，222244 104()33BEBCCE，23PBPA的最小值为4 103，故答案为：4 1034.如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC1，BD2，点 P 为弧 AB 上一动点，求的最小值.【答案】【解析】当 A、P、D 三点共线时，的值最小.连接 PB、CO，AD 与 CO 相交于点 M，如图所示：ABBD2,BD 是O 的切线,ABD90,BADD45,AB 是O

44、直径,APB90,PABPBA45,PAPB,POAB,AC 是O 的切线,ACAB,ACPO,CAO90ACPO1,四边形 AOPC 是平行四边形,而 OAOP,CAO90,四边形 AOPC 是正方形,，PCPDPMPDDM,DMOC,由垂线段最短可知此时PCPD 的值最小，最小值为.5.（1）如图 1，在ABC 中，ABAC，BD 是 AC 边上的中线，请用尺规作图做出 AB 边上的中线 CE，并证明 BDCE：（2）如图 2，已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，PA3，求 PC+PD 的最小值；（3）如图 3，在矩形 ABCD 中，AB18，BC25，点 M 是矩形

45、内部一动点，MA15，当 MC+MD最小时，画出点 M 的位置，并求出 MC+MD 的最小值【解答】解：（1）如图 1 中，作线段 AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 E，连接 EC线段 EC 即为所求；ABAC，AEEC，ADCD，AEAD，ABAC，AA，ADAE，BADCAE（SAS），BDCE（2）如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AEPA29，AEAD69，PA2AEAD，PAEDAP，PAEDAP，PEPD，PC+PDPC+PE，PC+PEEC，PC+PD 的最小值为 EC 的长，在 RtCDE 中，CDE90，CD6，DE，EC，PC+PD 的最小值为（3）如图

46、3 中，如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE9MA2225，AEAD925225，MA2AEAE，MAEDAM，MAEDAM，MEMD，MC+MDMC+ME，MC+MEEC，MC+MD 的最小值为 EC 的长，在 RtCDE 中，CDE90，CD18，DE16，EC2，MC+MD 的最小值为 26.如图 1，抛物线 yax2（a3）x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M（1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达

47、式；（2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值；（3）如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为（090），连接 EA、EB，求 EAEB 的最小值【解答】（1）；（2）m2；（3）【解析】（1）令 y0，则 ax2（a3）x30，（x1）（ax3）0，x1 或，抛物线 yax2（a3）x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），设直线 AB 解析式为 ykxb，则，解得，直线 AB 解析式为（2）如图 1 中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），抛物线解析式为，PN（），解得 m2（3）如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OEOEOE2，OMOB34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AEBEAEEMAM，此时 AEBE最小（两点间线段最短，A、M、E共线时），最小值AM