-例谈初中数学解题教学中的“对比”教学.doc

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1、无为县2013年中小学优秀教研论文评选推荐表题 目例谈初中数学解题教学中的“对比”教学姓 名吴 子 赟作者单位无为县福渡中心学校（本部）参评学科中学数学移动电话15956573006内容摘要（200字以内）数学离不开解题，数学课堂离不开解题教学.那么，如何在解题教学中，“教”会学生“解”题，打造高效的数学课堂，是我们每一位初中数学老师值得深思的问题.解题教学中，教师的讲评应从知识、技能、方法、思想等不同维度对知识进行整体迁移，将关键字词对比、符号语言和文字语言对比、已知条件对比、图形对比、矛盾解法对比等方法灵活运用解题教学中，在对比中，悟出题意的精髓，绕过陷阱，成功解决问题，从而提高学生的数感

2、、符号意识、创造性思维能力，以及运用已有知识解决问题的能力，积累学生的基本活动经验，提高课堂效率.关键词 解题教学 对比教学 高效课堂学 校推 荐意 见 （公章） 年 月 日例谈初中数学解题教学中的“对比”教学数学家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练.”由此可见，数学离不开解题，数学课堂离不开解题教学.那么，如何在解题教学中，“教”会学生“解”题，打造高效的数学课堂，是我们每一位初中数学老师值得深思的问题.然而，不少教师在解题教学时课堂主要以教师讲授与习题练习为主要授课方式，课堂沉闷，难以激发学生兴趣，课堂效率极差其实，解题教学应遵循学生已有的知识体系，以学生已有的认

3、知水平为基点，不断“变题”、“变疑”，做到“旧知新用”、“解法类比”、“巧设陷阱”，以促进学生对问题的进一步思考，体味不同题型、不同解法的异曲同工之妙，让学生自主构建学习体系，激发学生潜在的思维水平和创新能力，从而达到高效课堂的自然生成下面就我在解题教学中如何运用“对比”教学法营造高效的、富含趣味的解题课堂，与同行们交流心得体会.一、 字词之别，差之千里数学是一门严谨性很强的学科，数学语言简洁而精准.如对概念、定义、性质、定理等等的文字描述，如果稍稍加以改动一个字或者词，意义就会差之千里.所以，数学教学时，要注重对学生观察力、理解能力的培养.尤其是在解题时，更要引导学生关注题目已知条件之间的区

4、别和联系，要让学生在读题时就能准确把握住关键字词、梳清题意，在“对比”中找到题目考查的关键点，进而挖掘出“突破口”，形成清晰而完整的知识脉络，积累学生的基本活动经验.案例1：（2011威海）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）.A.0 B.8 C.4D.0或8案例2：(2010芜湖）关于x的方程(a5)x24x10有实数根，则a满足（）.A a1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da5【评析】：例1与例2两道题的结构是相同的，题型也相同，考察的都是“关于x的方程中，当字母a或m满足何值时，方程有实数根”.但仔细观察两道题并比较，不难发现，例1是“关于x的一元二次方程”，二次项系

5、数为确定的数字“1”，“有两个相等的实数根”；而例2是关于x的“方程”，二次项系数为不确定的系数“a-5”，“有实数根”.由此可知，例2中的“方程”二字大有深意.简单分析后，可以知道这里的“方程”包含两种可能性：一种是一元二次方程，有实数根；第二种是一元一次方程，也有实数根.根据此分析，就可以顺利解答出例2.具体解法如下：当a-50时，此方程为一元二次方程，有实数解.=4a-40，a1，即a1且a5.当a-5=0时，此方程为一元一次方程，有实数解.关于x的方程(a5)x24x10有实数根，则a满足a1.故选择A.二、符号语言对比，其中暗藏玄机数学学科的简洁性除了表现在语言的描述上，还体现在数学

6、符号化语言上.为了书写简便，我们往往习惯用符号语言代替文字语言，岂知命题者对我们的这一“偏好”也“窥伺”许久，有时候符号语言描述与文字语言描述貌似相同，没有丝毫区别，其实，暗藏玄机太多.类似的情况在几何考题中出现的比较多，下面以两道题作“对比”，体会符号语言与文字语言的深意.yx案例3：（2012烟台）ABCD中，已知点A（-1,0），B（2,0），D（0,1）.则点C的坐标为.案例4：如图，A、B、C为平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3,4），（7,1），（5,5）.在图中画出平行四边形，并直接写出其第四个顶点的坐标.【评析】例3与例4，都考察“利用平行四边形的性质特点，

7、求第四个点的坐标”.细细观察两道题，发现不同之处有以下几点：（1）题型不同.例3是填空题，例4是作图题；（2）已知坐标字母顺序不同.例3中给出A、B、D、三点坐标，求点C坐标；例4则是给出了连续的三个字母A、B、C三点坐标，求点D坐标；（3）平行四边形的表示方法不同.例3中用的是符号表示法“ABCD中”，而例4中用的是文字描述“A、B、C为平行四边形的三个顶点”.比较之后，可以体味出例4中所设“陷阱”较多.按照我们的习惯性思维，若平行四边形以A、B、C、D四个字母为顶点，顾名思义此平行四边形称之为“ABCD”，其实不然.解决这道题的关键“突破口”正是在于这里不用平行四边形的符号“”表示，而是不

8、嫌麻烦地用五个汉字去表述，这说明此题中的平行四边形并不只有ABCD，还可以是ACBD或者ABDC，因此，第四个点D的坐标为（1,8）或（5,0）或（9,2）.三、结构对比，同中求异教师在复习教学时，常常要针对学生知识上的混淆点、失误点编制数学题.编者在命制数学试题时，也多以课本上的习题为原型，对习题进行不同程度的改编.尽管题目差别不大，已知条件相似，但是往往在看似“平静”的外表掩盖下，却“暗涌不断”.教师在教解题时，要关注学生已有的解题经验，适时引导他们对已知条件微变化的关注度，体味其中蕴含的深意，进而促成顿悟，成功绕过“陷阱”，做到完美解题.案例5：如果两个无理数相乘的积是有理数，我们称它们

9、是互为有理化因式.例如，.利用分母有理化的知识可以将根式化简，例如：甲、乙两个同学在进行分母有理化时，分别采取下面两种方式进行化简：甲：；乙：请你选择一种你喜欢的方式化简：【评析】本题是新定义型题型，考查学生根据定义灵活运用分母有理化化简根式的能力.本题中，甲的化简方法是延续上题根据分母有理化的定义化简根式的方法，乙的做法却是利用算术平方根的意义，根据平方差公式来对根式的分子进行因式分解进而达到化简的目的，学生运用起来不太自如，难度较高.问题“请学生选择一种你喜欢的方式化简含字母的根式”，这里设置了一个“陷阱”，是学生对用字母表示数的分式进行运算时，极容易遗忘的一个知识点分母不能为0.利用分式

10、的基本性质时，要注意：运用分母有理化的定义进行化简必须考虑所乘因式不能为0，当m=n时，=0.因此，不能分子分母同乘以因式.学生在解题的过程中不能单纯地模仿前面甲、乙的做法，还要考虑分母的区别.所以，本题正确的化简方法是乙的方法，利用平方差公式将分子分解因式后再约去分母，得到.正确的解法是:=四、 图形对比，异中求同类比推理是人类抽象逻辑思维中的一种主要形式，是数学教学中解决问题的有效性方法，通过由一般到特殊的类比，培养学生合情推理的能力，同时也培养了学生的探究能力和发散性思维能力.在教解题时，我们不仅要类比思想方法，有时候还要根据实际情况，类比已知条件、类比图形、类比解题技巧等等，通过一道题

11、，触类旁通，进而推广成一般情况，由解决特殊情况，思考、拓展成一般情况，从而得到解决这一类问题的通法.案例6：如图，在等腰ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高.（1） 求证：DE+DF=CG.（2） 若D在底边BC的延长线上，（1）中的结论是否还成立？若不成立，又存在怎样的关系？并加以证明.解：（1）连接AD，由SABD+SACD=SABC可知，DE+DF=CG(解法不止一种，此处以此解法为例.）（2）（1）中的结论不成立，如右图，结论是DE-DF=CG证明：连接AD.SABC+SACD=SABC，=，DE-DF=CG案例7：

12、（2012黑龙江绥化）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQBC于点Q，PRBD于点R（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想解：（2）图2中结论PRPQ=仍成立.证明如下：连接BP，过C点作CKBD于点K.四边形ABCD为矩

13、形，BCD=90.又CD=AB=3，BC=4，.SBCD=BCCD=BDCK，34=5CK，CK=，SBCE=BECK，SBEP=PRBE，SBCP=PQBC，且SBCE=SBEPSBCP，BECK=PRBEPQBC。又BE=BC，CK=PRPQ，CK=PRPQ。又CK=，PRPQ=.（3）图3中的结论是PRPQ=【评析】例6的图形是等腰三角形，求等腰三角形底边上一点D到两腰的距离和等于腰上的高，属于求线段和的问题.这类题，在以前的数学解题教学中，我们常采取的方法有两种：截取法；延长法.本题的解法与这两种方法不同，因为都是垂线段，所以，解题的关键转化成利用三角形的面积求法来证明长度之和相等.这

14、种新解法，打破了我们长期求线段和的惯性思维方式.例7的基本图形是矩形，也是求两线段之和等于定值,比较两图，不难发现在例7的图1、图2、图3中都有例7中等腰三角形的影子，也就是说，例7中的等腰三角形构图是例7图形中的基本元素，这样的图形对比，给我们揭示出本题的本质，解题的关键是连接BP，构造三角形，再利用面积法求线段和等于定值.图形复杂、数量关系也复杂的一道题，看似没有突破口，但是在图形对比中，泄露“天机”.五、“矛盾”对比，感悟真知数学解题过程中，很多题目，解法不止一种.教师在教学的过程中，要尽可能地给学生发挥想象的余地，尝试用不同方法解题.用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用

15、所学知识，而且，通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养学生的创造性思维能力教学中，我们也可以逆向运用这种“一题多解”，让学生在不同的解法中，得出矛盾点，进而自查纠错，找出自己对题意或者题目中所涉及到的概念、数据等信息的错误理解，进而查补漏缺，真正做到对知识的掌握，并能加以灵活运用.案例8：如图，某景点在山顶C处，以前人们从A处出发沿着山坡比为1:2的缓坡AB爬行200米到达B处，再由B处沿着坡角为60的陡坡BC蹬阶180米到达C处，整个路程比较危险.后来管理部门在A、C之间架设了索道，已知索道AC与水平面AE的夹角为45，求索道AC的长.（结果保留根号）解法一：解：过B点作

16、BGAE于G点，作BDCE于D.根据i=,设BG=xm，则AG=2xm.在RtAGB中，所以，解得。因为CD=180米，Sin60=，所以CE=CD+DE=，由Sin45=可得AC=（米）.答：索道AC的长为米.解法二：过B点作BGAE于G点，作BDCE于D.根据i=,设BG=xm，则AG=2xm.在RtAGB中，所以，解得，所以AG=2x=.因为CD=180米，所以BD=BG=90米，所以AB=90+（米)，因为索道AC与水平面AE的夹角为45，所以AC的长为：（米）.答：略.【评析】同一道题，两种不同的解法，却得出天壤之别的答案，着实令学生不解.这样的“不解”就形成学生认知上的“冲突点”,

17、从而引发学生对本题的深思：究竟哪种计算方法正确？问题出在哪儿？将矛盾进行对比，让学生形成“心求同而未能得，口欲言而未能说”的状态，激发学生的求知欲、探究欲，进而激发学生兴趣，鼓励学生勇敢地、大胆地对两种方法质疑，最后得出问题的症结所在：A、B、C三点不在同一平面上，因此在计算时，不可以横向考虑线段BD=BG，故解法二错误.本题两种解法的症结所在也就是本题的“亮点”，是学生知识理解上的“盲点”，挖掘出“忽略之处”则找到绕道“陷阱”的良法.六、新旧对比，异曲同工教学时，要不断积累学生的基本活动经验（即学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验），关注分层教学，关注学生已有的基本活动经验，加强新旧知识

18、间的联系，让学生逐步获得新的学习体验，循序渐进地提升认知水平，切实做到“分层教”、“分层学”、“分层做”，学生可以根据自己实际解决问题的能力，选择适合自己的小问题进行解答，这样的教学设计，既考虑到优等生的思维发展，也顾及到学困生的知识水平的发展，让学困生“海阔凭鱼跃”，让优等生“天高任鸟飞”.案例9：有趣的切西瓜问题：一个西瓜圆又圆，一刀下去分两瓣；两刀下去，最多分4瓣；三刀下去，最多分7瓣；如果切4刀，5刀，最多能分几瓣？切n刀呢？【评析】这道题是小学数学中的课外拓展题，很多学生能直接回答出前面两个问题，但是当问到“切n刀可以将西瓜最多分成多少瓣?”时，课堂立即由“热情洋溢”瞬间变成“喁喁私

19、语”.其实这道题可以归纳为我们初中数学中的探究规律题.如何探究切西瓜的规律呢？咱们可以先将所切的刀数与瓣数记录下来，制成一个表格如下：刀数（x)012345瓣数（y）12471116请同学们观察表格中的数据，不难发现：y随x的增大而增大.那么，我们可以用学过的函数知识来解决吗？教师很自然地将新旧知识衔接起来，尝试运用函数的知识来解决规律探究型题.对表中数据进行简单分析后，容易得出，(也可让学生在平面直角坐标系中描述出各点位置再观察得出）本题中的刀数（x）与瓣数（y）之间的函数关系是二次函数.从学生熟知的趣味数学题中，提炼出数学知识，完美地实现“问题情境建立模型求解验证得出规律”.实际上，在初中

20、范围内的规律探究型题大部分的结果都是二次方式，因此，二次函数用来解决规律性探究问题应用很广泛.解：设这个二次函数的解析式为：，将点（0,1），（1,2),(2,4)代入解析式得方程组：解得：所以二次函数解析式为：.我们将其它点代入解析式进行验证：当x=3时，y=7；当x=4时，y=11；x=5时，y=16.故切x刀时，切的刀数与瓣数之间的关系满足：.综上所述，教师解题教学时，要善于观察发现同类题中的不同、善于总结不同题型、善于挖掘多种解题方法、善于变换思想发法等.要让学生真正做到会“解题”，教师必须用心“教解题”.教学过程中要不断“辨题”、“变题”、“辩题”，激发学生学习的热情，培养学生的探究能力.教师的讲评应从知识、技能、方法、思想等不同维度对知识进行整体迁移，将关键字词对比、符号语言和文字语言对比、已知条件对比、图形对比、矛盾解法对比等方法灵活运用解题教学中，在对比中，悟出题意的精髓，绕过陷阱，成功解决问题，从而提高学生的数感、符号意识、创造性思维能力，以及运用已有知识解决问题的能力，积累学生的基本活动经验，提高课堂效率.参考文献：1中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）M.北京师范大学出版社.2董建功.如何命数学题M.华东师范大学出版社，2009:95-148.3关文信，蔡亲鹏.基础教育教学基本功.（中学数学卷）M.2009:13-45.8