专题11 动点最值之将军饮马模型（讲+练）（含答案）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练.pdf

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1、2022 年中考数学几何模型专项复习与训练年中考数学几何模型专项复习与训练专题专题 11动点最值之将军饮马模型动点最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型模型一、两定一动模型例题例题 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB10，AD6，动点 P 满足 SPABS矩形ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为【变式训练 1】如图，正方形 ABEF 的面积为 4，BCE 是等边三角形，点 C 在正方形 ABEF 外，在对角线 BF上有一点 P，使 PCPE 最小，则这个最小值的平方为（）A.B.C.12D.【变式训练 2】如图 RtABC 和等腰ACD 以 AC 为公共边，其

2、中ACB90，ADCD，且满足 ADAB，过点 D 作 DEAC 于点 F，DE 交 AB 于点 E，已知 AB5，BC3，P 是射线 DE 上的动点，当PBC的周长取得最小值时，DP 的值为（）ABCD【变式训练 3】如图，等边ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE2，当 EFCF 取得最小值时，则ECF 的度数为多少？模型二、一定两动模型二、一定两动例.如图，AOB30，点 M、N 分别是射线 OB、OA 上的动点，点 P 为AOB 内一点，且 OP4，则PMN 的周长的最小值为（）A2B4C6D8【变式训练 1】如图，

3、点 P 是AOB 内任意一点，且AOB40，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（）A140B100C50D40【变式训练 2】如图，在菱形 ABCD 中，AB，A120，点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD，BD 上的任意一点，则 PKQK 的最小值为.【变式训练 3】如图所示，在四边形 ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点M、N 分别为边 CD，AD 上的动点，则BMN 的周长最小值为（）A.B.C.6D.3【变式训练 4】如图，在ABC 中，C90，CBCA4，A 的平分线交 BC 于点 D，若点 P

4、、Q 分别是 AC 和 AD 上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是模型三、两段之差模型模型三、两段之差模型例.如图，在ABC 中，ABAC,AC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 AB 于点 M，AB12，BMC 的周长是 20，若点 P 在直线 MN 上，则 PAPB 的最大值为（）A.12B.8C.6D.2【变式训练 1】如图，在菱形 ABCD 中，AB6，ABC60，AC 与 BD 交于点 O，点 N 在 AC 上且 AN2，点 M 在 BC 上且 BMBC,P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为.【变式训练 2】如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN

5、的距离 AC16，B 到 MN 的距离 BD10，CD8，点 P 在直线 MN 上运动，则|PAPB|的最大值等于模型四、特殊型模型四、特殊型例 1.如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ3，当CQ时，四边形 APQE 的周长最小【变式训练】如图，已知 A（3，1）与 B（1，0），PQ 是直线 yx 上的一条动线段且 PQ（Q 在 P的下方），当 AP+PQ+QB 最小时，Q 点坐标为（）A（，）B（，）C（0，0）D（1，1）课后训练课后训练1.如图，在锐角ABC 中，ACB50；边 AB 上有一定点 P，M、N 分别是

6、AC 和 BC 边上的动点，当PMN 的周长最小时，MPN 的度数是（）A50B60C70D802.如图，在四边形 ABCD 中，DAAB，DA6，BC150，CD 与 BA 的延长线交于 E 点，A 刚好是 EB中点，P、Q 分别是线段 CE、BE 上的动点，则 BPPQ 最小值是()A.12B.15C.16D.183.如图，已知等边ABC 的面积为 4，P、Q、R 分别为边 AB、BC、AC 上的动点，则 PR+QR 的最小值是（）A3B2CD44.如图，平面直角坐标系中，分别以点 A（2，3）、点 B（3，4）为圆心，1、3 为半径作A、B，M，N分别是A、B 上的动点，P 为 x 轴上

7、的动点，则 PM+PN 的最小值为（）A54B1C62D5.如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且，则 PCPD 的最小值为.6.如图，矩形 ABCO 的边 OC 在 x 轴上，边 OA 在 y 轴上，且点 C 的坐标为（8，0），点 A 的坐标为（0，6），点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，点 M，N 分别是线段 OA、AB 上的动点（不与端点重合），则当四边形 EFNM的周长最小时，点 N 的坐标为7.如图，在ABC 中，ACB90，以 AC 为边在ABC 外作等边三角形 ACD，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F，与 AB 相交于点 E

8、，连接 CE（1）说明：AECEBE；（2）若 DAAB,BC6，P 是直线 DE 上的一点，则当 P 在何处时，PBPC 最小，并求出此时 PBPC 的值.8.已知：矩形 ABCD 中，AD2AB，AB6，E 为 AD 中点，M 为 CD 上一点，PEEM 交 CB 于点 P，EN 平分PEM 交 BC 于点 N.（1）求证：PEEM；（2）用等式表示 BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点 P 作 PGEN 于点 G，K 为 EM 中点，连接 DK、KG，求 DKKGPG 的最小值.专题专题 11 动点最值之将军饮马模型动点最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型模型一

9、、两定一动模型例题例题 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB10，AD6，动点 P 满足 SPABS矩形ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为【解答】解：设ABP 中 AB 边上的高是 hSPABS矩形ABCD，ABhABAD，hAD4，动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接BE，则 BE 的长就是所求的最短距离在 RtABE 中，AB10，AE4+48，BE2，即 PA+PB 的最小值为 2故答案为：2【变式训练 1】如图，正方形 ABEF 的面积为 4，BCE 是等边三角形

10、，点 C 在正方形 ABEF 外，在对角线 BF上有一点 P，使 PCPE 最小，则这个最小值的平方为（）A.B.C.12D.【答案】B【解析】连接 AC、AE，过点 C 作 CGAB，如图所示：正方形 ABEF，AEBF,OAOE，即可得：E 关于 BF 的对称点是 A，连接 AC 交 BF 于 P，则此时 EPCP 的值最小，EPCPAC，正方形 ABEF 的面积为 4，BCE 是等边三角形，ABBE2，BEBC2，在 RtBCG 中，CBG906030，BC2，CG1，即这个最小值的平方为.【变式训练 2】如图 RtABC 和等腰ACD 以 AC 为公共边，其中ACB90，ADCD，且满

11、足 ADAB，过点 D 作 DEAC 于点 F，DE 交 AB 于点 E，已知 AB5，BC3，P 是射线 DE 上的动点，当PBC的周长取得最小值时，DP 的值为（）ABCD【解答】解：连接 PB、PC、PA，要使得PBC 的周长最小，只要 PB+PC 最小即可，PB+PCPA+PBAB，当 P 与 E 重合时，PA+PB 最小，ADCD，DEAC，AFCF，ACB90，EFBC，AEBEAB2.5，EFBC1.5，ADAB，AEFDEA，DE，故选：B【变式训练 3】如图，等边ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE2，当

12、 EFCF 取得最小值时，则ECF 的度数为多少？【答案】ECF30【解析】过 E 作 EMBC，交 AD 于 N，如图所示：AC4，AE2，EC2AE，AMBM2，AMAE，AD 是 BC 边上的中线，ABC 是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AMAE，E 和 M 关于 AD 对称，连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF，则此时 EFCF 的值最小，ABC 是等边三角形，ACB60，ACBC，AMBM，ECFACB30.模型二、一定两动模型二、一定两动例.如图，AOB30，点 M、N 分别是射线 OB、OA 上的动点，点 P 为AOB 内一点，且 OP4，则PMN 的周长的最小值

13、为（）A2B4C6D8【解析】【解析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN点 P 关于 OA 的对称点为 C，PMCM，OPOC，COBPOB；点 P 关于 OB 的对称点为 D，PNDN，OPOD，DOAPOA，OCODOP4，CODCOB+POB+POA+DOA2POA+2POB2AOB60，COD 是等边三角形，CDOCOD4当 M、N 与 M、N重合时，PMN 周长最小PM+MN+PNDN+MN+CMCD4，选 B【变式训练 1】如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB40，点 M 和点 N 分

14、别是射线 OA 和射线 OB上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（）A140B100C50D40【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则 OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O，根据轴对称的性质，可得 MPP1M，PNP2N，则PMN 的周长的最小值P1P2，P1OP22AOB80，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1100，MPNOPM+OPNOP1M+OP2N100，故选：B【变式训练 2】如图，在菱形 ABCD 中，AB，A120，点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD，BD

15、上的任意一点，则 PKQK 的最小值为.【解答】【解析】过点 C 作 CEAB，如图所示：菱形 ABCD 中，AB2，A120，ABC60，BC2，BD 平分ABD，BE，CEBE，BD 平分ABD，在 AB 上作点 P 关于 BD 的对称点 P，PKQKPKKQ，当 P,K,Q 三点共线且 PQAB 时，PKQK 有最小值，即最小值为平行线 AB,CD 的距离，则最小值为.【变式训练 3】如图所示，在四边形 ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点M、N 分别为边 CD，AD 上的动点，则BMN 的周长最小值为（）A.B.C.6D.3【答案】C【解析】作点 B 关于 CD、A

16、D 的对称点分别为点 B和点 B，连接 BB交 DC 和 AD 于点 M 和点 N，连接 MB、NB；再 DC 和 AD 上分别取一动点 M和 N（不同于点 M 和 N），连接 MB，MB，NB 和 NB，如图 1 所示：BBMBMNNB，BMBM，BNBN，BMMNBNBB，又BBBMMNNB，MBMB，NBNB，NBNM BM BMMNBN，NBNMBM 时周长最小；连接 DB，过点 B作 BHDB于 BD 的延长线于点 H，如图示 2 所示：在 RtABD 中，AD3，AB，230，530，DBDB，又ADC1260，130，730，DBDB，BDB1257120，DBDBDB，又BDB

17、6180，660，HD，HB3，在 RtBHB中，由勾股定理得：BB，NBNMBM6，故选 C.【变式训练 4】如图，在ABC 中，C90，CBCA4，A 的平分线交 BC 于点 D，若点 P、Q 分别是 AC 和 AD 上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是2【解答】解：如图，作点 P 关于直线 AD 的对称点 P，连接 CP交 AD 于点 Q，则CQ+PQCQ+PQCP根据对称的性质知APQAPQ，PAQPAQ又AD 是A 的平分线，点 P 在 AC 边上，点 Q 在直线 AD 上，PAQBAQ，PAQBAQ，点 P在边 AB 上当 CPAB 时，线段 CP最短在ABC 中，C90，CBCA

18、4，AB4，且当点 P是斜边 AB 的中点时，CPAB，此时 CPAB2，即 CQ+PQ 的最小值是 2故填：2模型三、两段之差模型模型三、两段之差模型例.如图，在ABC 中，ABAC,AC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 AB 于点 M，AB12，BMC 的周长是 20，若点 P 在直线 MN 上，则 PAPB 的最大值为（）A.12B.8C.6D.2【解答】B【解析】MN 垂直平分 AC，MAMC，又BMMCBC20，BMMAAB12，BC20128，在 MN 上取点 P，MN 垂直平分 AC，如图所示，连接 PA、PB、PC，PAPC，PAPBPCPB，在PBC 中 PCPBBC当

19、P、B、C 共线时（PCPB）有最大值，此时 PCPBBC8，故选 B.【变式训练 1】如图，在菱形 ABCD 中，AB6，ABC60，AC 与 BD 交于点 O，点 N 在 AC 上且 AN2，点 M 在 BC 上且 BMBC,P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为.【解答】2【解析】如图所示，作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN,MN，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，当 P,M,N三点共线时，取“”,在菱形 ABCD 中，AB6，ABC60，AC6，O 为 AC 中点，AOOC3，AN2，ON1，ON1，CN2，AN4，CMABBM642，

20、PMABCD，CMN60，NCM60，NCM 为等边三角形，CMMN2，即 PMPN 的最大值为 2.【变式训练 2】如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC16，B 到 MN 的距离 BD10，CD8，点 P 在直线 MN 上运动，则|PAPB|的最大值等于10【答案】10【解答】解：延长 AB 交 MN 于点 P，PAPBAB，AB|PAPB|，当点 P 运动到 P点时，|PAPB|最大，BD10，CD8，AC16，过点 B 作 BEAC，则 BECD8，AEACBD16106，AB10，|PAPB|的最大值等于 10，故答案为：10模型四、特殊型模型四、特殊

21、型例 1.如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ3，当CQ时，四边形 APQE 的周长最小【解答】解：点 A 向右平移 3 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交 BC 于 Q，此时 MQ+EQ 最小，PQ3，DECE2，AE2，要使四边形 APQE 的周长最小，只要 AP+EQ 最小就行，即 AP+EQMQ+EQ，过 M 作 MNBC 于 N，设 CQx，则 NQ83x5x，MNQFCQ，MNAB4，CFCE2，CQx，QN5x，解得：x，则 CQ故答案为：【变式训练】如图，已知 A（3，1）与 B（

22、1，0），PQ 是直线 yx 上的一条动线段且 PQ（Q 在 P的下方），当 AP+PQ+QB 最小时，Q 点坐标为（）A（，）B（，）C（0，0）D（1，1）【解答】解：作点 B 关于直线 yx 的对称点 B（0，1），过点 A 作直线 MN，使得 MN 平行于直线 yx，并沿 MN 向下平移单位后得 A（2，0），连接 AB交直线 yx 于点 Q，如图理由如下：AAPQ，AAPQ，四边形 APQA是平行四边形，APAQAP+PQ+QBBQ+AQ+PQ 且 PQ，当 AQ+BQ 值最小时，AP+PQ+QB 值最小根据两点之间线段最短，即 A，Q，B三点共线时 AQ+BQ 值最小B（0，1），

23、A（2，0），直线 AB的解析式 yx+1xx+1，即 x，Q 点坐标（，），故选：A课后训练课后训练1.如图，在锐角ABC 中，ACB50；边 AB 上有一定点 P，M、N 分别是 AC 和 BC 边上的动点，当PMN 的周长最小时，MPN 的度数是（）A50B60C70D80【答案】D【解析】PDAC，PGBC，PECPFC90，C+EPF180，C50，D+G+EPF180，D+G50，由对称可知：GGPN，DDPM，GPN+DPM50，MPN1305080，选 D2.如图，在四边形 ABCD 中，DAAB，DA6，BC150，CD 与 BA 的延长线交于 E 点，A 刚好是 EB中点，

24、P、Q 分别是线段 CE、BE 上的动点，则 BPPQ 最小值是()A.12B.15C.16D.18【答案】D【解析】如图，作点 B 关于 CE 的对称点 F，连接 BF，EF，则 EBEF，BC150，BEC30，BEF60，BEF 是等边三角形，连接 BP，PF，PQ，则 BPFP，BPQPFPPQ，当 F，P，Q 在同一直线上且 FQEB 时，BPPQ 的最小值为 FQ 的长，此时，Q 为 EB 的中点，故与 A 重合，DAAB.DA6，AE，RtQEF 中，FQAE18，BPPQ 最小值值为 18，故选 D.3.如图，已知等边ABC 的面积为 4，P、Q、R 分别为边 AB、BC、AC

25、 上的动点，则 PR+QR 的最小值是（）A3B2CD4【解答】解：如图，作ABC 关于 AC 对称的ACD，点 E 与点 Q 关于 AC 对称，连接 ER，则 QRER，当点 E，R，P 在同一直线上，且 PEAB 时，PR+QR 的最小值是 PE 的长，设等边ABC 的边长为 x，则高为x，等边ABC 的面积为 4，xx4，解得 x4，等边ABC 的高为x2，即 PE2，故选：B4.如图，平面直角坐标系中，分别以点 A（2，3）、点 B（3，4）为圆心，1、3 为半径作A、B，M，N分别是A、B 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值为（）A54B1C62D【解答】解：

26、作A 关于 x 轴的对称A，连接 BA分别交A和B 于 M、N，交 x 轴于 P，如图，则此时 PM+PN 最小，点 A 坐标（2，3），点 A坐标（2，3），点 B（3，4），AB5，MNABBNAM53154，PM+PN 的最小值为 54故选：A5.如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且，则 PCPD 的最小值为.【答案】【解析】如图，作 PMAD 于 M，作点 D 关于直线 PM 的对称点 E，连接 PE，EC.设 AM，四边形 ABC 都是矩形，AB/CD，AB CD4，BCAD6，2，AM2，DMEM4，在 RtECD 中，PM 垂直平分线段

27、 DE，PDPE，PCPDPCPEEC，PDPC，PDPC 的最小值为.6.如图，矩形 ABCO 的边 OC 在 x 轴上，边 OA 在 y 轴上，且点 C 的坐标为（8，0），点 A 的坐标为（0，6），点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，点 M，N 分别是线段 OA、AB 上的动点（不与端点重合），则当四边形 EFNM的周长最小时，点 N 的坐标为（4，6）【解答】解：如图所示：作点 F 关于 AB 的对称点 F，作点 E 关于 y 轴的对称点 E，连接 EF交 AB 与点 NC 的坐标为（8，0），点 A 的坐标为（0，6），点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，OEOE4，FBC

28、F3，EC12，CF9ABCE，FNBFEC，即，解得 BN4，AN4N（4，6）故答案为：（4，6）7.如图，在ABC 中，ACB90，以 AC 为边在ABC 外作等边三角形 ACD，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F，与 AB 相交于点 E，连接 CE（1）说明：AECEBE；（2）若 DAAB,BC6，P 是直线 DE 上的一点，则当 P 在何处时，PBPC 最小，并求出此时 PBPC 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）ADC 是等边三角形，DFAC，DF 垂直平分线段 AC，AEEC，ACECAE，ACB90，ACEBCE90CAEB90，BCEB，CEEB，AE

29、CEBE；（2）连接 PA,PB,PC，如图所示：DAAB，DAB90，DAC60，CAB30，B60，BCAEEBCE6.AB12，DE 垂直平分 AC，PCAP，PCPBPA，当 PBPC 最小时，也就是 PBPA 最小，即 P,B,A 共线时最小，当点 P 与点 E 共点时，PBPC 的值最小，最小值为 12.8.已知：矩形 ABCD 中，AD2AB，AB6，E 为 AD 中点，M 为 CD 上一点，PEEM 交 CB 于点 P，EN 平分PEM 交 BC 于点 N.（1）求证：PEEM；（2）用等式表示 BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点 P 作 PGEN 于

30、点 G，K 为 EM 中点，连接 DK、KG，求 DKKGPG 的最小值.【答案】（1）见解析；（2）BP2NC2PN2；（3）【解析】（1）证明：过 P 作 PQAD 于 Q，则 PQAB，如图所示：AD2AB，E 为 AD 中点，AD2DE，PQDE，PEEM，PQEDPEM90，QPEPEQPEQDEM90，QPEDEM，PQEEDM（ASA），PEEM；（2）三者的数量关系是：BP2NC2PN2点 N 与点 C 重合时，P 为 BC 的中点，显然 BP2NC2PN2成立；点 P 与点 B 重合时，N 为 BC 的中点，显然 BP2NC2PN2成立；证明：连接 BE、CE，如图所示：四边

31、形 ABCD 为矩形，AD2AB，E 为 AD 中点，AABC90，ABCDAEDE，AEB45，DEC45，在ABE 和DCE 中，ABEDCE（SAS），BEC90，BECE，EBCECB45，EBCECD，又BECPEM90，BEPMEC，EBPECM在BEP 和CEM 中，BEPCEM（ASA），BPMC，PEME，EN 平分PEM，PENMEN45，在EPN 和EMN 中，EPNEMN（SAS），PNMN，在 RtMNC 中有：MC2NC2MN2，BP2NC2PN2；（3）连接 PM，如图所示：由（2），可得 PN MN，PE ME，EN 垂直平分 PM，PGEN，P、G、M 三点共

32、线，且 G 为 PM 的中点，K 为 EM 中点，又D90，由（2），可得PEM 为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，当 ME 取得最小值时，DKGKPG 取得最小值，即当 MEDE6 时，DKGKPG 有最小值，最小值为.专题专题 12 动点最值之费马点模型动点最值之费马点模型费马点模型：费马点模型：如图，在ABC 内部找到一点 P，使得 PAPBPC 的值最小.当点 P 满足APBBPCCPA120，则 PAPBPC 的值最小，P 点称为三角形的费马点.特别地，ABC 中，最大的角要小于 120，若最大的角大于或等于 120，此时费马点就是最大角的顶点 A（这种情况一般不考，通常三角形的

33、最大顶角都小于 120）费马点的性质：费马点的性质：1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120。费马点最小值解法：费马点最小值解法：以ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：证明过程：将APC 边以 A 为顶点逆时针旋转 60，得到 AQE，连接 PQ，则APQ 为等边三角形，PA=PQ。即 PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当 B、P、Q、E 四点共线时取得最小值 BE例例题题 1.已知：ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120.求证：GA+GB+GC 的值最小.例题例题 2.已知

34、正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长【变式训练 1】已知点 P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P 点叫ABC 的费马点。已经证明：在三个内角均小于 120的ABC 中，当APBAPCBPC120时，P 就是ABC 的费马点。若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PDPEPF.【变式训练 2】如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为_【变式训练 3】如图，P 是锐角ABC 所在平面上一点，如果APBBPC

35、CPA120，则点 P 就叫做ABC 费马点。（1）当ABC 是边长为 4 的等边三角形时，费马点 P 到 BC 边的距离为；（2）若点 P 是ABC 的费马点，ABC60，PA2，PC3，则 PB 的值为；（3）如图 2，在锐角BC 外侧作等边ACB，连接 BB.求证：BB过ABC 的费马点 P.【变式训练 4】如图，某货运场为一个矩形场地 ABCD，其中 AB500 米，AD800 米，顶点 A，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台 P，在 BC 边上（含 B，C 两点）开一个货物入口 M，并修建三条专用车道 PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为 10000 元，当

36、M，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）课后训练课后训练1.如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB2，则 AP+BP+CP 的最小值为（）A+B+C4D32.如图，点 P 为锐角ABC 的费马点，且 PA3，PC4，ABC60，则费马距离为.3.如图，四边形 ABCD 是菱形，AB4，且ABCABE60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，则 AM+BM+CM 的最小值为4.若点 P 为ABC 所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点 P 叫做A

37、BC 的费马点（1）若 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC60，PA3，PC4，则 PB 的值为；（2）如图，在锐角ABC 的外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB 过ABC 的费马点 P，且 BBPAPBPC5.如图 1，P 为ABC 所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点 P 叫做ABC 的费马点：（1）若点 P 是等边三角形三条中线的交点，点 P（填是或不是）该三角形的费马点；（2）如果点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC60，求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正ABE 和正ACD，CE 和 BD 相交于 P 点，如图 2，求CPD

38、的度数；求证：P 点为ABC 的费马点.6.如图 l，在ABC 中，ACB90，点 P 为ABC 内一点（1）连接 PB，PC，将BCP 沿射线 CA 方向平移，得到DAE，点 B，C，P 的对应点分别为点 D、A、E，连接 CE依题意，请在图 2 中补全图形；如果 BPCE，BP3，AB6，求 CE 的长（2）如图 3，以点 A 为旋转中心，将ABP 顺时针旋转 60得到AMN，连接 PA、PB、PC，当 AC3，AB6 时，根据此图求 PA+PB+PC 的最小值专题专题 12 动点最值之费马点模型动点最值之费马点模型费马点模型：费马点模型：如图，在ABC 内部找到一点 P，使得 PAPBP

39、C 的值最小.当点 P 满足APBBPCCPA120，则 PAPBPC 的值最小，P 点称为三角形的费马点.特别地，ABC 中，最大的角要小于 120，若最大的角大于或等于 120，此时费马点就是最大角的顶点 A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于 120）费马点的性质：费马点的性质：1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120。费马点最小值解法：费马点最小值解法：以ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：证明过程：将APC 边以 A 为顶点逆时针旋转 60，得到 AQE，连接 PQ，则APQ 为等边三角形，

40、PA=PQ。即 PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当 B、P、Q、E 四点共线时取得最小值 BE例例题题 1.已知：ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120.求证：GA+GB+GC 的值最小.【解析】证明：将BGC 逆时针旋转 60，连 GP,DB.则 CGBCPD；CPD=CGB=120,CG=CP,GB=PD,BC=DC,GCB=PCD.GCP=60,BCD=60,GCP 和BCD 都是等边三角形。AGC=120,CGP=60.A、G、P 三点一线。CPD=120,CPG=60.G、P、D 三点一线。AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上。GA+GC+G

41、B=GA+GP+PD=AD.G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点例题例题 2.已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长【解析】如图，连接 AC，把AEC 绕点 C 顺时针旋转 60，得到GFC，连接 EF、BG、AG，可知EFC、AGC 都是等边三角形，则 EF=CE又 FG=AE，AE+BE+CE=BE+EF+FG 点 B、点 G 为定点（G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60所得）线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时 E、F 两点都在 BG 上设正方形的边长为a，那么BO=CO=22a

42、，GC=2a,GO=62a BG=BO+GO=22a+62a 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为2622a+62a=26，解得a=2【变式训练 1】已知点 P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P 点叫ABC 的费马点。已经证明：在三个内角均小于 120的ABC 中，当APBAPCBPC120时，P 就是ABC 的费马点。若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PDPEPF.【答案】【解析】如图，在等腰 RtDEF 中，过点 D 作 DMEF 于点 M，过 E、f 分别作MEPMFP30，则 EMDM1，解得，则，.【变式训练 2】如图，

43、已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为_【解析】依然构造 60旋转，将三条折线段转化为一条直线段分别以 AD、AM 为边构造等边ADF、等边AMG，连接 FG，易证AMDAGF，MD=GFME+MA+MD=ME+EG+GF过 F 作 FHBC 交 BC 于 H 点，线段 FH 的长即为所求的最小值43 3【变式训练 3】如图，P 是锐角ABC 所在平面上一点，如果APBBPCCPA120，则点 P 就叫做ABC 费马点。（1）当ABC 是边长为 4 的等边三角形时，费马点 P 到 BC 边的距离为；（2）若点

44、 P 是ABC 的费马点，ABC60，PA2，PC3，则 PB 的值为；（3）如图 2，在锐角BC 外侧作等边ACB，连接 BB.求证：BB过ABC 的费马点 P.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）延长 AP，交 BC 于 D，如图所示：ABACBC，APBBPCCPA120，P 为三角形的内心，ADBC，BDCD2，PBD30，；（2）PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP，即；（3）证明：在 BB上取点 P，使BPC120，连接 AP，再在 PB上截取 PEPC，连接 CE，如图所示：BPC120，EPC60，

45、PCE 为正三角形，PCCE，PCE60，CEB120ACB为正三角形，ACBC，ACB60，PCAACEACEECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P 为ABC 的费马点，BB过ABC 的费马点 P.【变式训练 4】如图，某货运场为一个矩形场地 ABCD，其中 AB500 米，AD800 米，顶点 A，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台 P，在 BC 边上（含 B，C 两点）开一个货物入口 M，并修建三条专用车道 PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为 10000 元，当 M，P 建在何处时，修建专用车道的费用最

46、少？最少费用为多少？（结果保留整数）【解析】连接 AM，DM，将ADP 绕点 A 逆时针旋转 60，得APD，当 M，P，P，D在同一条直线上时，AP+PM+DP 最小，最小值为 DN，M 在 BC 上，当 DMBC 时，DM 取最小值，设 DM 交 AD 于 E，ADD是等边三角形，EMAB500，BM400，PMEMPE500，DEAD400，DM400+500，最少费用为 10000（400+500）1000000（4+5）元；M 建在 BC 中点（BM400 米）处，点 P 在过 M 且垂直于 BC 的直线上，且在 M 上方（500）米处，最少费用为 1000000（4+5）元课后训练

47、课后训练1.如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB2，则 AP+BP+CP 的最小值为（）A+B+C4D3【解答】解：如图将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得到AEF，当 E、F、P、C 共线时，PA+PB+PC 最小理由：APAF，PAF60，PAF 是等边三角形，PAPFAF，EFPB，PA+PB+PCEF+PF+PC，当 E、F、P、C 共线时，PA+PB+PC 最小，作 EMDA 交 DA 的延长线于 M，ME 的延长线交 CB 的延长线于 N，则四边形 ABNM 是矩形，在 RTAME 中，M90，MAE30，AE2，ME1，AMBN，MNAB2，EN1，E

48、C+PA+PB+PC 的最小值为+故选：B2.如图，点 P 为锐角ABC 的费马点，且 PA3，PC4，ABC60，则费马距离为.【答案】【解析】如图所示，APBBPCCPA120，ABC60，1360，1260，2460，14，23，BPCAPB，即，.3.如图，四边形 ABCD 是菱形，AB4，且ABCABE60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，则 AM+BM+CM 的最小值为4【解答】解：如图，连接 MN，ABE 是等边三角形，BABE，ABE60MBN60，MBNABNABEABN即MBANBE又MB

49、NB，AMBENB（SAS），AMEN，MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长，过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBF18012060，BC4，BF2，EF2，在 RtEFC 中，EF2+FC2EC2，EC4故答案为：44.若点 P 为ABC 所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点 P 叫做ABC 的费马点（1）若 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC60，PA3，PC4，则 P

50、B 的值为；（2）如图，在锐角ABC 的外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB 过ABC 的费马点 P，且 BBPAPBPC【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABP BCP，；（2）设点 P 为锐角ABC 的费马点，即APBBPCCPA120如图，把ACP 绕点 C 顺时针旋转 60到BCE，连结 PE，则EPC 为正三角形BEC APC 120，PEC60，BECPEC180，即 P、E、B 三点在同一直线上，BPC120，CPE60，BPC CPE 180，即 B、P、E 三点在同一直线上 B