二维随机变量.docx

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1、随机向量二维随机变量及其分布在实际问题中，有很多随机现象，往往需要引进两个, 三个或更多个变量来描述，为此，有必要研究多维随机变 量,本节主要对二维随机变量展开讨论，至于二维以上情形 可以类推.一二维随机变量及其分布L 定义设随机试验的样本空间为D, X和y是定义在0上的两 个随机变量，我们称向量（不丫）为二维随机变量或二维随机向量.2 定义设（凡丫）是一个二维随机变量，二元函数尸（/ y） = PXx9 y&y oox+co, 8Vy + 8）称为（Z 丫）的分布函数，或称x与丫的联合分布函数.如果将（乂 丫）看成是平面上的随机点，那么分布函数F6？）表 示点（尤丫）落在无限的矩形区域：-8

2、vxz -8内的概率,y容易看出随机点（X, y）落在矩形域：的概率为=F（4.。2）一 尸与）一F （1,8）+ F（。” 瓦）B边缘分布通过上边的讨论，不难看出，二维随机变量的每一个分 量又都是一维随机变量，它们的分布函数当然是一维的，又 由于(X, Y)作为一个整体又有联合分布，那么分量的分布 与联合分布必然存在某种联系，这一点表现出分量分布与前 边所讲的一维分布不完全相同，于是引入边缘分布概念.1离散型随机变量的边缘分布设(X, V)的联合分布律为尸X=为，(心J-b 2,)，:可得0户*（乜）=尸（*，+s） = E pij f = 1可知X的分布律为pX =Xiy - 52，=i2

3、,同样，V的分布律为产丫=% = E 力5 j = l, 2, （了,）r0,从而积分8p(x,y)dy8化为在上述的取值范围内的积分.一般，对V积分的上、下限可能 是，的函数，计算尸 了（了）=尸 了（了）=+gue的方法与PmG）类似.例6设（X, V）在平面区域G （图2T9所示）上眼从均匀分布，求（1）关于（X, V）的联合分布密度函数，（2）关于X和关于V的边缘密度函数.解（1） G的面积为S（G）=1,因此得（X. V）的联合密度函数为0,d y) W G其它（2）先求关于X的边缘密度函数.当 “W0 或 x2 时，显然，/x（n）=0$图 2-19当0OC2时,fxM =ody

4、+ I ,id y“8J 3)%OJy =1 _二i _ 2从而 /xG）=2（2（0 ,其它同理求得关于y的边缘分布密度函数2(1 外，0、o, 其它【例8】P. 109例1. 7例7设（X, V服从二维正态分布，它的密度函数为y) =-/7r e”-诙 220凶-“1（一42）上（!LM）2,a/66。22求关于X与关于P的边缘密度函数.解 令 三二4二，支二”=。 602卜8 T0曲的=方下(1L M2)21一，生二名）2 _2小工 - 1）52）241-L 。2710*3 丁可见关于X的边缘分布为Ng” c/).由对称性知关于y的边缘分布为n(出，。/),即九3)=7%,即九3)=7%

5、,(“一世由2222例7告诉我们I二维正态分布的两个边缘分布都是一维 正态分布，而且均与参数Q无关.该例还进一步说明t边缘 分布由联合分布唯一确定，而反过来，一般情况下边缘分布 不能确定联合分布.即一般情况下(P W 0)/（羽 y）w/x（x） A（y）五髓机变量的独立性例7的结论指出，一般情况下边缘分布不能确定联合分 布，这里隐含着在特殊情况下，边缘分布还可以确定联合分 布，这种特殊情况是由X与V间的相互关系所决定的，我们 把这种关系称为x后y的相互独立性，下边给出具体定义.设尸&y),尸xQ), 分别是(X,的联合分布函数和边缘分布函数，假设对一切的和y都有 F /)Fx()Fr(y)那

6、么称随机变量X与P相互独立.利用事件的相互独立性定义及分布函数与密度函数间的关系，可以推出随机变量相互独立性有如下等价关系,(1)假设(X,广)是离散型随机变量，x与r相互独立的 充分必要条件是，对(X,的所有可能取值(为，/)都有ihj =，ipr j = l, 2，）（2）假设（X, io是连续型随机变量，那么x与y相互独立 的充分必要条件是，对一切的X, y都有于（x, U）= hx）f丫（y）下面给出（2）的证明：如果X、P相互独立，那么由 fvI /(%, y)dxdy r B J OC fvI /(%, y)dxdy r B J OCfx(x)dx )(-co/ )(口?)这说明X

7、、V相互独立.【注意】（1）在判断X和y是否相互独立时,首先由（X ,y）的概率分布（分布密度）求出关于x的边缘分布（边缘分布密度）和关于 丫的边缘分布（边缘分布密度），再确定其独立性.联合密度决定边缘密度,一般讲，边缘密度不能决定联合密度，但当x,y相互独立时,两个边缘密度pxS和加）的乘积就是联合密度，也就是说，当x ,丫独立时，边缘密度也能确定联合密度.（3 ）由例7知，二维正态分布，于（x, y） w fx （%） fY（y）f （夕 W。）假设（x, 丫）服从二维正态分布，那么它们相互独立的充要条件是p=o。例8设（X, 的联合分布律为220220420220220420120120

8、22022209 ,二 20420何x与v是否相互独立?何x与v是否相互独立?Pu 二 n乙(h = 123)x,y是相互独立的.例9证明例6中两随机变量不相互独立.证由例6知,r 1 f（X, ）E G% ）。，其它*打（“”卜负。,2（。，其它x,y是相互独立的.例9证明例6中两随机变量不相互独立.证由例6知,r 1 f（X, ）E G% ）。，其它*打（“”卜负。,2（。，其它2（1以（ ，2（1以（ ，oy120, /.120，解 x与y的边缘分布函数是，I -e-。，。、心。尸 xG) =F(*+co)=I 0 ,*0Fr(y) F(-poo,y) /i o r?。.对一切的, u都

9、有F(x, y)=Fx(x)FY(y) 故x与y相互独立.120PV120=口 一尸犬1201 尸V0p(x) 0n0试写出(x, y)的联合概率密度。六.习题：1 .课外：p. 115 - 1,(补充)求概率 P(1 X 2, 3 K 4)2,4, 82 .课内：P. 1163, 5,7.二维随机变量的分布函数有以下诸条性质：1 0F(x, y)F( + 8, +8)= 1.以上结果常记成；F( 8,y) = o,F( 8, 8) = 0,二二维离散型随机变量假设二维随机变量(X, K)的所有可能取的值是有限个或可列无限多个数组,可列无限多个数组,为二维离散型随机变量.设(X, P)是二维离

10、散型随机变量，它的所有可能取值为即力),(G j=l, 2分),其取值规律记为PX-xh r=Vj=p仃,(2,)那么称 PX = *y Y = y - pi) (i, 41, 2,)为(入/)的分布律分布律常用表格形式表达，其形式为例15设（Xi, X, X,）的联合概率密度为（6e-（* + 29+ 3刈）,孙建小机0力（小,必，Hs） =：I 0,其它试问, Xi, Xi9 Xs是否相互独立？解 先求出Xi, X-X3的边缘概率密度,对于切0, 孙0, x30,分别有00 8n-(jci + 2nci+3x3),. 一夕16ed*xds = e0 000 00j jeL计53孙N=2ef

11、0 0汴J(”i i 0 0所以P】(X1) 二P】(X1) 二%(M)=xi 0尤i 40外0WO*30 夕sWO显然，对一切1, xi9 Ks皆有P(知 fxi,X3)- pi (xx)pt (xi)ps(a) 成立.故X】，X* X,相互独立.满足 owptjWi*例i设随机变量(X, y只能取(一，o), “，。), v = i=看=/其表格形式为0101662020gA【例】【例】2020从1,2, 3, 4四个整数中随机地取一个，记所取的数为X,再从1到X中随机地取一个，记所取的数为匕求（丫,丫）的分 布律.解 显然X, 丫均为离散型随机变量，它们的可能取值均为 1,2,3,4.当

12、V，时，*=PX=i,Y= = 0.当时，,” = PX=i, Y = j =尸X=i*Py = j|X=f_ 1 1 _ 14 i 4fQr,y）的分布律:.一 yX1234V1I -T0Q0.2i T1003i 12F21诵QAJ_I11416161616三二维连续型随机变量1.定义：设F（4y）为二维随机变量（X, K）的分布函数，如果对任意（有y）9存在率负可积函数f（孙U）,慢产（知y）=尸!(孙 g)WG=八孙 yldxdg例3（X,的密度函数为y) =s1.-(6 y), 82.O解(1) P(*. y) Z)i = F(1, 3) = jj/O, yydxdyDir 10,0,

13、其它设（D3为平面上由1, y3所确定的区域（图214）, 力为平面上由工+ y0, y0I。， 其它求（1）常数。（2）分布函数, （3） （X, V）落在三角形区 域40,心0,2-2”内的概率（图216）.解（D由密度函数性质（2） y+8ce，d*dy = l解（D由密度函数性质（2） y+8ce，d*dy = l也就是也就是r十% -广a 8.Jo e3电由此求得C = 1由此求得C = 1一力 0 F(, f f g,匕)duduJ -8 J:0,Ldid* x0 , u0.其它_/(l -e *)(i-7), xQ, 0Y。，其它(3)P (X, V)G=j /(*, y)dxd

14、yG r 1 r 2r” nJ3%)。 e5 ndy=(。7_1-2)4 龙 J 0=(1 一。7)2=0.3996 二维连续型随机变量常见的分布 有均匀分布和正态分布.1二维均匀分布设G是平面上面积为a（0VV+8）的区域，称二维随机向量（X,Y）服从G上的均匀分布，如果/（乂,丫）3） = 1,且（犬,丫）取值属于G之任何局部4（4是G的子区域）的概率与力的面积成正比，这时（x,y）称为二维均匀分布随机向量. 均匀分布随机向量（X,y）的联合密度为卷，（h,1y）6G,10, 其它.2二维正态分布：如果f=（x,y）的密度函数户 Cr,y）1（-8+88；）； + 8）（其中一8出 +8, 一820,。20，。|1 是 5个参数）那么称E=（X,Y）服从二维正态分布或称为二维正态分布 随机向量），称，（孙y）为二维正态密度.