2022年长春市中考数学模拟试题（2）含答案.pdf

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1、2022 年长春市中考数学年长春市中考数学模拟模拟试题（试题（2）一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分）1（3 分）（2）的值为（）ABC2D22（3 分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为 89 000 000 人，89 000 000 这个数据用科学记数法表示为（）A8.9106B8.9105C8.9107D8.91083（3 分）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A圆锥B长方体C球D圆柱4（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（）Am0BmCmDm5（3 分）如图，要测

2、量一条河两岸相对的两点 A，B 之间的距离，我们可以在岸边取点 C 和 D，使点 B，C，D 共线且直线 BD 与 AB 垂直，测得ACB56.3，ADB45，CD10m，则 AB 的长约为（）（参考数据 sin56.30.8，cos56.30.6，tan56.31.5，sin450.7，cos450.7，tan451）A15mB30mC35mD40m6（3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若BAC35，则ACB 的大小为（）A35B45C55D657（3 分）在ABC 中，BAC90，ABAC 用无刻度的直尺和圆规在 BC 边上找一点 D，使ACD为等腰三角形下列作法不正确

3、的是（）ABCD8（3 分）若反比例函数的图象经过点（8，1），则这个函数的图象一定经过点（）A（8，1）B（4，2）C（1，8）D（2，4）二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分）9（3 分）分解因式：a2+2a10（3 分）关于 x 的不等式组有 2 个整数解，则 a 的取值范围为11（3 分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC 上，BCEF，则ADE 的大小为度12（3 分）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径 OA 的长度为 200 米，圆心角AOB90，则这段铁轨的长度为米（铁轨的宽度忽略不计，结果保留）13（3 分）

4、如图，O 为坐标原点，OAB 是等腰直角三角形，OAB90，点 B 的坐标是（0，），将该三角形沿 x 轴向右平移得 RtOAB，此时，点 B的坐标为（，），则线段 OA 在平移过程中扫过的图形面积为14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4）在抛物线 yax2上，过点 A 作 y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B，点 C、D 在线段 AB 上，分别过点 C、D 作 x 轴的垂线交抛物线于 E、F 两点当四边形 CDFE 为正方形时，线段 CD 的长为三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分）15（6 分）先化简，再求值：（2xy）2（x3y）（x+3y）+

5、4（xyy2），其中 x2，y116（6 分）某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同（1）求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率；（2）补全图 2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大17（6 分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的 1.5倍如果由甲、乙队先合作施工 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天（1）这项工程的规定时间是多少

6、天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？18（7 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC4，BD8，点 E 在边 AD上，AEAD，连结 BE 交 AC 于点 M（1）求 AM 的长（2）tanMBO 的值为19（7 分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A很少，B有时，C常常，D总是将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：a%，b%，“常常”对应扇形

7、的圆心角度数为；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校有 3000 名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？20（7 分）（1）如图 1，已知直线 mn，在直线 n 上取 A、B 两点，C、P 为直线 m 上的两点，无论点 C、P 移动到任何位置都有：SABCSABP（填“”、“”或“”）（2）如图 2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由（3）如图 3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形 DEFG

8、，中间有条分界小路（图中折线 ABC），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由（不计分界小路与直路的占地面积）21（8 分）疫情过后地摊经济迅速兴起，小李以每千克 2 元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额 y（元）与销售量 x（千克）之间的关系如图所示（1）求降价后销售额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数表达式；（2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为 150 元？22（9 分）已知，矩形 ABCD 中，AB5，AD3，

9、点 E 是射线 BC 上一动点，将矩形 ABCD 先沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，展开后再将矩形 ABCD 沿直线 BF 翻折，点 E 落在点 G 处，再将图形展开，连接 EF、FG、GB，得到四边形 BEFG（1）如图 1，若点 F 恰好落在 CD 边上，求线段 BE 的长；（2）如图 2，若 BE1，直接写出点 F 到 BC 边的距离；（3）若ADG的面积为3，直接写出四边形BEFG的面积23（10 分）在ABC 中，CAB90，ACAB若点 D 为 AC 上一点，连接 BD，将 BD 绕点 B顺时针旋转 90得到 BE，连接 CE，交 AB 于点 F（1）如图 1，若ABE

10、75，BD4，求 AC 的长；（2）如图 2，点 G 为 BC 的中点，连接 FG 交 BD 于点 H若ABD30，猜想线段 DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，若 AB4，D 为 AC 的中点，将ABD 绕点 B 旋转得ABD，连接 AC、AD，当AD+AC 最小时，求 SABC24（12 分）将抛物线 yax2（a0）向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛物线 H：ya（xh）2+k抛物线 H 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C已知 A（3，0），点 P 是抛物线 H 上的一个动点（1）求抛物线 H 的表达式；（2）如图 1，点 P 在

11、线段 AC 上方的抛物线 H 上运动（不与 A，C 重合），过点 P 作 PDAB，垂足为 D，PD 交 AC 于点 E作 PFAC，垂足为 F，求PEF 的面积的最大值；（3）如图 2，点 Q 是抛物线 H 的对称轴 l 上的一个动点，在抛物线 H 上，是否存在点 P，使得以点 A，P，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由2022 年长春市中考数学年长春市中考数学模拟模拟试题（试题（2）一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分）1（3 分）（2）的值为（）ABC2D2【答案】C【解析

12、】（2）的值为 2故选：C2（3 分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为 89 000 000 人，89 000 000 这个数据用科学记数法表示为（）A8.9106B8.9105C8.9107D8.9108【答案】C【解析】89 000 000 这个数据用科学记数法表示为 8.9107故选：C3（3 分）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A圆锥B长方体C球D圆柱【答案】D【解析】由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得为圆柱故选：D4（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（）Am0BmCmDm【答案】B

13、【解析】根据题意得，b24ac（2m1）24m24m+10，解得：m，故选：B5（3 分）如图，要测量一条河两岸相对的两点 A，B 之间的距离，我们可以在岸边取点 C 和 D，使点 B，C，D 共线且直线 BD 与 AB 垂直，测得ACB56.3，ADB45，CD10m，则 AB 的长约为（）（参考数据 sin56.30.8，cos56.30.6，tan56.31.5，sin450.7，cos450.7，tan451）A15mB30mC35mD40m【答案】B【解析】设 ABxm，在 RtABD 中，ADB45，ABBDxm，在 RtABC 中，ACB56.3，且 tanACB，BCx，由 B

14、C+CDBD 得x+10 x，解得 x30，AB 的长约为 30m，故选：B6（3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若BAC35，则ACB 的大小为（）A35B45C55D65【答案】C【解析】BC 是O 的切线，AB 是O 的直径，ABBC，ABC90，ACB90BAC903555故选：C7（3 分）在ABC 中，BAC90，ABAC 用无刻度的直尺和圆规在 BC 边上找一点 D，使ACD为等腰三角形下列作法不正确的是（）ABCD【答案】A【解析】A、由作图可知 AD 是ABC 的角平分线，推不出ADC 是等腰三角形，本选项符合题意B、由作图可知 CACD，ADC 是等腰三

15、角形，本选项不符合题意C、由作图可知 DACD，ADC 是等腰三角形，本选项不符合题意D、由作图可知 DACD，ADC 是等腰三角形，本选项不符合题意故选：A8（3 分）若反比例函数的图象经过点（8，1），则这个函数的图象一定经过点（）A（8，1）B（4，2）C（1，8）D（2，4）【答案】C【解析】反比例函数的图象经过点（8，1），k（8）18A、8（1）88，函数图象不过此点，故本选项错误；B、4（2）88，函数图象不经过此点，故本选项错误；C、188，函数图象经过此点，故本选项正确；D、2488，函数图象不过此点，故本选项错误故选：C二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 1

16、8 分，每小题分，每小题 3 分）分）9（3 分）分解因式：a2+2a_【答案】a（a+2）【解析】a2+2aa（a+2）10（3 分）关于 x 的不等式组有 2 个整数解，则 a 的取值范围为_【答案】0a1【解析】解不等式 8+2x0，得：x4，解不等式 xa2，得：xa2，不等式组有两个整数解，不等式组的整数解为3、2，2a21，解得 0a1，11（3 分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC 上，BCEF，则ADE 的大小为_度【答案】75【解析】如图，C30，E45，BCEF，1E45，ADE1+C45+3075，12（3 分）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径 OA

17、的长度为 200 米，圆心角AOB90，则这段铁轨的长度为_米（铁轨的宽度忽略不计，结果保留）【答案】100【解析】圆弧长是：100（米）13（3 分）如图，O 为坐标原点，OAB 是等腰直角三角形，OAB90，点 B 的坐标是（0，），将该三角形沿 x 轴向右平移得 RtOAB，此时，点 B的坐标为（，），则线段 OA 在平移过程中扫过的图形面积为_【答案】【解析】点 B 的坐标为（0，），将该三角形沿 x 轴向右平移得到 RtOAB，此时点 B的坐标为（，），AABB，OAB 是等腰直角三角形，A（，），AA对应的高，线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为14（3 分）如图，在平面直

18、角坐标系中，点 A（2，4）在抛物线 yax2上，过点 A 作 y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B，点 C、D 在线段 AB 上，分别过点 C、D 作 x 轴的垂线交抛物线于 E、F 两点当四边形 CDFE 为正方形时，线段 CD 的长为_【答案】2+2【解析】把 A（2，4）代入 yax2中得 44a，解得 a1，yx2，设点 C 横坐标为 m，则 CDCE2m，点 E 坐标为（m，42m），m242m，解得 m1（舍）或 m1+CD2m2+2三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分）15（6 分）先化简，再求值：（2xy）2（x3y）（x+3y）+4（xyy2），

19、其中 x2，y1【答案】见解析【解析】原式4x2+y24xy（x29y2）+4xy4y24x2+y24xyx2+9y2+4xy4y23x2+6y2，当 x2，y1 时，原式3（2）2+61212+61816（6 分）某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同（1）求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率；（2）补全图 2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大【答案】见解析【解析】（1）嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率为；（2）补全树状图如下：共有 9 种等可能的结果，嘉

20、淇经过两个十字道口后向西参观的结果有 3 种，向南参观的结果有 2种，向北参观的结果有 2 种，向东参观的结果有 2 种，向西参观的概率为，向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率，向西参观的概率大17（6 分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的 1.5倍如果由甲、乙队先合作施工 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成则甲乙两队合作完成该工程

21、需要多少天？【答案】见解析【解析】（1）设这项工程的规定时间是 x 天，则甲队单独施工需要 x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意，得：+1，解得：x30，经检验，x30 是原方程的解，且符合题意答：这项工程的规定时间是 30 天（2）由（1）可知：甲队单独施工需要 30 天完工，乙队单独施工需要 45 天完工，1（+）18（天）答：甲乙两队合作完成该工程需要 18 天18（7 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC4，BD8，点 E 在边 AD上，AEAD，连结 BE 交 AC 于点 M（1）求 AM 的长（2）tanMBO 的值为_【答案】

22、见解析【解析】（1）在菱形 ABCD 中，ADBC，ADBC，AEMCBM，AEAD，AEBC，AMCMAC1（2）AOAC2，BOBD4，ACBD，BOM90，AMOMAO1，tanMBO故答案为：19（7 分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A很少，B有时，C常常，D总是将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：a_%，b_%，“常常”对应扇形的圆心角度数为_；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校有 3000 名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分

23、析、改正的学生各有多少名？【答案】见解析【解析】（1）4422%200（人），a2420012%，b7220036%，36030%108，故答案为：12，36，108；（2）20030%60（人），补全条形统计图如图所示：（3）300030%900（人），300036%1080（人），答：“常常”对错题进行整理、分析、改正的有 900 人，“总是”对错题进行整理、分析、改正的有 1080 人20（7 分）（1）如图 1，已知直线 mn，在直线 n 上取 A、B 两点，C、P 为直线 m 上的两点，无论点 C、P 移动到任何位置都有：SABC_SABP（填“”、“”或“”）（2）如图 2，在一块

24、梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由（3）如图 3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形 DEFG，中间有条分界小路（图中折线 ABC），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由（不计分界小路与直路的占地面积）【答案】见解析【解析】（1）mn，ABC 与ABP 等底等高，SABCSABP故答案为：；（2）方法一：连接 AC，将AC

25、D 的区域用于种植大豆，ABC 的区域用于种植芝麻，理由：由于同底等高，所以 SACESABE，所以 SABE+SECDSACE+SECD，即 SACDSABE+SECD，同理 SACBSBCE，方法二连接 BD，将ABD 的区域用于种植大豆，BCD 的区域用于种植芝麻，理由：由于同底等高，所以 SBEDSECD，所以 SABE+SECDSABE+SBED，即 SABDSABE+SECD，同理 SBCDSBCE（3）方法一连接 AC，过 B 点作 AC 的平行线 PQ，连接 AQ，AQ 即为所修直路将四边形 ADEQ 的区域分给王爷爷，四边形 AGFQ 的区域分给李爷爷，理由：由于同底等高，所

26、以 SBCQSABQ，所以 SABP+SBCQSABP+SABQ，即 SAPQSABP+SBCQ，同理 SABCSACQ方法二：连接 AC，过 B 点作 AC 的平行线 PQ，连接 PC，PC 即为所修直路将四边形 CEDP 的区域分给王爷爷，四边形 CPGF 的区域分给李爷爷，理由：由于同底等高，所以 SABPSPBC，所以 SABP+SBCQSPBC+SBCQ即 SCPQSAPB+SBCQ同理 SABCSACP21（8 分）疫情过后地摊经济迅速兴起，小李以每千克 2 元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额 y（元）与销售量 x（千克）之间的关系如图所示（1

27、）求降价后销售额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数表达式；（2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为 150 元？【答案】见解析【解析】（1）设降价后销售额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数表达式是 ykx+b，AB 段过点（40，160），（80，260），解得，即降价后销售额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数表达式是 y2.5x+60（x40）；（2）设当销售量为 a 千克时，小李销售此种水果的利润为 150 元，2.5a+602a150，解得，a180，答：当销售量为 180 千克时，小李销售此种水果的利润为 150 元22（9 分）已知，矩形 ABCD 中，

28、AB5，AD3，点 E 是射线 BC 上一动点，将矩形 ABCD 先沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，展开后再将矩形 ABCD 沿直线 BF 翻折，点 E 落在点 G 处，再将图形展开，连接 EF、FG、GB，得到四边形 BEFG（1）如图 1，若点 F 恰好落在 CD 边上，求线段 BE 的长；（2）如图 2，若 BE1，直接写出点 F 到 BC 边的距离；（3）若ADG的面积为3，直接写出四边形BEFG的面积【答案】见解析【解析】（1）连接 AF，如图 1 所示：四边形 ABCD 是矩形，CDAB5，BCAD3，ABCCD90，由翻折的性质得：AFAB5，FEBE，DF4，CFC

29、DDF1，在 RtCEF 中，由勾股定理得：CE2+CF2FE2，即（3BE）2+12BE2，解得：BE；（2）连接 AF，过点 F 作 MNBC 于 N，交 AD 于 M，如图 2 所示：则 MNAD，AMBN，AMFFNE90，AFM+FAM90，由翻折的性质得：AFAB5，FEBE1，AFEABE90，AFM+EFN90，FAMEFN，AMFFNE，5，AM5FN，BN5FN，在 RtNEF 中，由勾股定理得：FN2+EN2FE2，即 FN2+（5FN1）212，解得：FN，或 FN0（舍去），即点 F 到 BC 边的距离为；（3）分两种情况：点 G 在矩形 ABCD 的内部时，连接 A

30、F，过 G 作 GHAD 于 H，过点 F 作 MNBC 于 N，交AD 于 M，如图 3 所示：则 MNGH，MNAD，MNCD5，ADG 的面积ADGH3GH3，GH2，由翻折的性质得：BGFG，FEBE，BGBE，BGFGFEBE，四边形 BEFG 是菱形，FGBCAD，四边形 GHMF 是平行四边形，GHAD，GHM90，平行四边形 GHMF 是矩形，FMGH2，FNMNFM3，AM，同（2）得：AMFFNE，即，FE，BE，四边形 BEFG 的面积BEFN3；点 G 在矩形 ABCD 的外部时，连接 AF，过 G 作 GHAD 于 H，过点 E 作 ENFG 于 N，过 A作 AMF

31、G 于 M，如图 4 所示：同得：AMGH2，FM，AMFFNE，ENBMAB+AM5+27，解得：FE，BE，四边形 BEFG 的面积BEFN7；综上所述，四边形 BEFG 的面积为或23（10 分）在ABC 中，CAB90，ACAB若点 D 为 AC 上一点，连接 BD，将 BD 绕点 B顺时针旋转 90得到 BE，连接 CE，交 AB 于点 F（1）如图 1，若ABE75，BD4，求 AC 的长；（2）如图 2，点 G 为 BC 的中点，连接 FG 交 BD 于点 H若ABD30，猜想线段 DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，若 AB4，D 为 AC 的中点，将

32、ABD 绕点 B 旋转得ABD，连接 AC、AD，当AD+AC 最小时，求 SABC【答案】见解析【解析】（1）过 D 作 DGBC，垂足是 G，如图 1：将 BD 绕点 B 顺时针旋转 90得到 BE，EBD90，ABE75，ABD15，ABC45，DBC30，在直角BDG 中有 DG2，ACB45，在直角DCG 中，CGDG2，BCBG+CG，ACBC；（2）线段 DC 与线段 HG 的数量关系为：HG，证明：延长 CA，过 E 作 EN 垂直于 CA 的延长线，垂足是 N，连接 BN，ED，过 G 作 GMAB 于M，如图：END90，由旋转可知EBD90，EDB45ENDEBD90，E

33、，B，D，N 四点共圆，BNEEDB45，NEB+BDN180BDC+BDN180，BCD45，BENBDC，BNE45BCD，在BEN 和BDC 中，BENBDC（AAS），BNBC，BAC90，在等腰BNC 中，由三线合一可知 BA 是 CN 的中线，BACEND90，ENAB，A 是 CN 的中点，F 是 EC 的中点，G 是 BC 的中点，FG 是BEC 的中位线，FGBE，FGBE，BEBD，FGBD，ABD30，BFG60，ABC45，BGF75，设 ACa，则 ABa，在 RtABD 中，AD，BDBE，FGBE，FG，GMAB，BGM 是等腰三角形，MGMB，在 RtMFG 中

34、，MFG60，MFMG，MF，BFBM+MF，在 RtBFH 中，BFG60，FHa，HGFGFHa，又CD，HG；（3）设 ABa，则 BC，取 BC 的中点 N，连接 AD，AC，AN，连接 DN，如图 3，由旋转可知 ABABa，又ABNCBA，ABNCBA，ANAC，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是 AD+AN 最小，此时 D、A、N 共线，即 A在线段 DN 上，设此时 A落在 A处，过 A作 AFAB 于 F，连接 AA，如图 4，D，N 分别是 AC，BC 的中点，DN 是ABC 的中位线，DNAB，ABAC，DNAC，AAFAADA90，四边形 AFAD 是矩形，AF

35、AD，AFAD2，又 ABAB4，设 AFx，在直角三角形 AFB 中，AB2AF2+BF2，4222+（4x）2，解得 x此时 SABCSABCSAABSAACABACABAFACAD44424（42）4424（12 分）将抛物线 yax2（a0）向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛物线 H：ya（xh）2+k抛物线 H 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C已知 A（3，0），点 P 是抛物线 H 上的一个动点（1）求抛物线 H 的表达式；（2）如图 1，点 P 在线段 AC 上方的抛物线 H 上运动（不与 A，C 重合），过点 P 作 PDAB，垂足为 D，PD

36、 交 AC 于点 E作 PFAC，垂足为 F，求PEF 的面积的最大值；（3）如图 2，点 Q 是抛物线 H 的对称轴 l 上的一个动点，在抛物线 H 上，是否存在点 P，使得以点 A，P，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线 H：ya（x+1）2+4，将 A（3，0）代入，得：a（3+1）2+40，解得：a1，抛物线 H 的表达式为 y（x+1）2+4；（2）如图 1，由（1）知：yx22x+3，令 x0，得 y3，C（0，3），设直线 AC 的解析式为 ymx

37、+n，A（3，0），C（0，3），解得：，直线 AC 的解析式为 yx+3，设 P（m，m22m+3），则 E（m，m+3），PEm22m+3（m+3）m23m（m+）2+，10，当 m时，PE 有最大值，OAOC3，AOC90，AOC 是等腰直角三角形，ACO45，PDAB，ADP90，ADPAOC，PDOC，PEFACO45，PFAC，PEF 是等腰直角三角形，PFEFPE，SPEFPFEFPE2，当 m时，SPEF最大值（）2；（3）当 AC 为平行四边形的边时，则有 PQAC，且 PQAC，如图 2，过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 G，设 AC 交对称轴于点 H，则AHGACOPQG，在PQG 和ACO 中，PQGACO（AAS），PGAO3，点 P 到对称轴的距离为 3，又y（x+1）2+4，抛物线对称轴为直线 x1，设点 P（x，y），则|x+1|3，解得：x2 或 x4，当 x2 时，y5，当 x4 时，y5，点 P 坐标为（2，5）或（4，5）；当 AC 为平行四边形的对角线时，如图 3，设 AC 的中点为 M，A（3，0），C（0，3），M（，），点 Q 在对称轴上，点 Q 的横坐标为1，设点 P 的横坐标为 x，根据中点公式得：x+（1）2（）3，x2，此时 y3，P（2，3）；综上所述，点 P 的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3）