重庆市第八中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学含答案.pdf

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1、重庆八中重庆八中 2 2022-2023022-2023 学年度（上）入学考试高三年级学年度（上）入学考试高三年级数学试题数学试题一、单选题：本题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合22Ax x，3,2,1,2B ，则AB A2,1B2,2C3,2D1,22某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610978则该单位党员一周学习党史时间的众数及第 50 百分位数分别是A8，8.5B8，8C9，8D8

2、，93经研究发现，某昆虫释放信息素s t后，在距释放处mx的地方测得信息素浓度y满足21lnln2KytxAt，其中A，K为非零常数.已知释放 1s 后，在距释放处 2m 的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素 4s 后，信息素浓度为2a的位置距释放处的距离为A4mB2mC1m2D1m44函数 sineexxxf x（）的图象大致是5用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中 5 个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格的染色方法种数为A6B10C16D206若(0 2)，且1 cos2)(1 sin)sin2 cos（，则下列结论正确的是A2B22C2

3、2D27已知4ln,3ln,2ln432abcabc，其中4,3,2abc，则AcbaBcabCabcDacb8已知函数21()3121xxf xx，且2342fafa，则实数a的取值范围为A4,1B()3,2C(0,5)D1,4二、多选题：本题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.下列有关命题的说法正确的有A.2()lg23f xxx的增区间为(1,1)B.“1x”是“2430 xx”的充分不必要条件C.若集合2440Ax kxx中只有两个子集,则1k D.对于命题p

4、:存在0 xR,使得20010 xx,则p:任意xR,均有21 0 xx 10.在ABC中,已知tansin()2ABC,则A.sinsinBC的最大值为12B.coscosBC的最小值为 1C.tantanBC的取值范围为2,)D.222sinsinsinABC为定值11.定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的有A.与22221(0,0)xyabab共轭的双曲线是22221(0,0)yxababB.互为共轭的双曲线渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上D.互为共轭的双曲线的离心率为12,e e,则1 22ee

5、12.已知函数()(1)e1xf xxx,则下列说法正确的有A.()f x在(0,)单调递增B.0 x 为()f x的一个极小值点C.()f x无最大值D.()f x有唯一零点三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知11232fxx,若()5f t,则t _.14.若3cos21 10cos,(,0),则sincoscos2_.15.已知()f x为R上的奇函数,且()(2)0f xfx,当10 x 时,()2xf x,则2log 20f_.16.2223164cos 20sin 20cos 20_.四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、

6、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知35,0,cos,cos()2513.(1)求sin的值;(2)求cos(2)的值.18（本小题 12 分）已知函数 cos,Rf xaxbx a b，若 fx在点 0,0f处的切线方程为122yx(1)求 fx的解析式；(2)求函数 fx在0,2上的值域19（本小题 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，且12ABAA(1)证明：1/AB平面1BC D；(2)求平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值20（本小题 12 分）某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有

7、的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得 3 分，第二局获胜得 2 分，失败均得 1 分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0p1），12，且各局比赛互不影响.(1)若23p，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)设小张在这 5 天的“四人赛”活动中，恰有 3 天每天得分不低于 4 分的概率为 fp，试问当p为何值时，fp取得最大值.21（本小题 12 分）已知1,0,1,0BC为ABC的两个顶点，P为ABC的重心，边,AC AB上的两条

8、中线长度之和为 6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点3,0,2,0,2,0NEF，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.22（本小题 12 分）已知函数 exfxax(1)若 fx的最小值为0，求a的值；(2)证明：当ea 时，fx有两个不同的零点1x，2x，且12112xx数学试题参考答案：数学试题参考答案：一、单选题题号12345678答案DDABBCCA二、多选题题号9101112答案ABDACDCDABC三、填空题题号13141516答案122 2745-32四、解答题17.(

9、1)因为,均为锐角,所以0.又35cos,cos()513,所以412sin,sin()513.所以1235416sinsin()sin()coscos()sin13513565（2）根据第（1）问可知63cos65，所以5631216123cos(2)cos()cos()cossin()sin1365136584518(1)1()1 cos2f xxx(2)531,2122（1）因为 cos,Rf xaxbx a b，所以 sinfxax，由题意得 0cos01210sin02fbbfaa，所以12a，1b；故 fx的解析式为1()1 cos2f xxx（2）由（1）得 11cos2fxxx

10、，()1sin2fxx=-，因为0 2x，当06x时，0fx，函数 fx单调递增，当566x时，0fx，函数 fx单调递减，当526x时，0fx，函数 fx单调递增，故当6x时，函数取得极大值131 cos16266122f ，故当56x时，函数取得极小值515531 cos16266122f 又 02f，1221cos21122f ，因为331212122122 故函数 fx在0 2，上的最大值为2，最小值为31122，所以 fx在0 2，上的值域为531,212219(1)证明见解析(2)57(1)证明：连接1BC交1BC于点E，连接DE，在三棱柱111ABCABC中，四边形11BBCC为

11、平行四边形，因为11BCBCE，则E为1BC的中点，又因为D为AC的中点，则1/ABDE，1AB 平面1BC D，DE 平面1BC D，因此，1/AB平面1BC D.(2)解：因为ABC为等边三角形，D为AC的中点，则BDAC，又因为1AA 平面ABC，以点D为坐标原点，DB、DC、1AA的方向分别为x、y、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,1,0A、3,0,0B、0,1,0C、10,1,2A、13,0,2B、10,1,2C，设平面11ABC的法向量为111,mx y z，10,2,2AC ，113,1,0C B ，则111111122030m ACyzm C Bxy，取11x，

12、可得1,3,3m，设平面1ABC的法向量为222,nx y z，3,1,0AB ，10,2,2AC ，则2212230220n ABxyn ACyz ，取21x，可得1,3,3n，5cos,7m nm nmn .因为，平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值为57.20(1)分布列见解析，23()6E X(2)35p(1)由题可知，X的可能取值为 2，3，4，5.因为23p，所以111(2)326P X，111(3)326P X，211(4)323P X，211(5)323P X.故X的分布列为X2345P16161313111123()234566336E X .(2)设一天得分不低于 4

13、分为事件A，则()22ppP Ap，则332325()C(1)10(1),01f pppppp，则2232()30(1)20(1)10(1)(35)fpppppppp.当305p时，()0fp；当315p时，()0fp所以()f p在30,5上单调递增，在3,15上单调递减，故当35p 时，()f p取得最大值.21(1)221243xyx(2)证明见解析(1)因为P为ABC的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为 6，所以2643PBPCBC,故由椭圆的定义可知P的轨迹T是以1,0,1,0BC为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且2,1ac，所以3b，所以P的轨迹T的方程为221243x

14、yx；(2)设直线PQ的方程为：3xmy，1122,P x yQ xy，联立方程223143xmyxy得：223418150mymy，则1212221815,3434myyy ymm，所以1212523my yyy，又直线PE的方程为：11112221yyyxxxmy，又直线QF的方程为：22222225yyyxxxmy，联立方程11222125yyxmyyyxmy得：1221212 255my yyyxyy，把1212523my yyy代入上式得：212121212104254333553yyyyxyyyy，所以当点P运动时，点M恒在定直线43x 上22(1)ea(2)证明见解析(1)解：因

15、为 exfxax定义域为R，所以 exfxa，当0a 时()0fx恒成立，此时 fx在定义域上单调递增，函数无最小值，不符合题意；当0a 时，令()0fx，解得lnxa，当lnxa时()0fx，所以 fx在,lna上单调递减，在ln,a 上单调递增，所以 lnminlnelnln1 ln0af xfaaaaaaaa，解得ea；(2)证明：由（1）可知，当ea 时 minln1 ln0f xfaaa，又 010f，1e0fa，所以 fx在()0,1和ln,a 上各有一个零点，即 fx有两个不同的零点1x，2x，不妨设1201xx，即110exax，220exax，即11exax，22exax，两边取对数可得11lnlnxax，22lnlnxax，所以 2121lnlnlnlnxxaxax，即2121lnln0 xxxx，-9-要证12112xx，即证212121122 lnlnxxxxxxxx，即证2121212lnxxxxxx，令21xtx，1t，即证12lnttt，令 12lnh tttt，1,t，所以 222221122110ttth ttttt，所以 h t在1,上单调递增，又 10h，所以 0h t，即12lnttt，所以12112xx，得证.