2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课_椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx

《2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课_椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课_椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第二章圆锥曲线与方程第二章圆锥曲线与方程习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升巩固提升基础巩固1.已知 F1,F2是椭圆?216?29=1 的两焦点,过点 F2的直线交椭圆于点 A,B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=()A.9B.10C.11D.12解析根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16,所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.答案 C2.直线 l:2x-y+2=0 过椭圆左焦点 F1和一个顶点 B,则该椭圆的离心率为()A.15B.55C.25D.2 55解析直

2、线 l:2x-y+2=0 中,令 x=0,得 y=2;令 y=0,得 x=-1,直线 l:2x-y+2=0 过椭圆左焦点 F1和一个顶点 B,椭圆左焦点 F1(-1,0),顶点 B(0,2),c=1,b=2,a=1?4?5,该椭圆的离心率为 e=?15?55.故选 B.答案 B3.已知椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的短轴长为 4,焦距为 2 2.过椭圆 C 的上顶点 B 作圆 x2+y2=2 的两条切线,与椭圆 C 分别交于另外两点 M,N,则BNM 的面积为()A.6B.14425C.125D.152解析因为椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的短轴长为 4,焦距为 2 2,所

3、以 b=2,c=2,a2=6,所以椭圆方程为?26?24=1.2如图所示,设直线 BN 的方程为 y=kx+2,则原点到直线 BN 的距离为 d=21?2,又因为直线 BN 与圆 x2+y2=2相切,所以21?2?2,解得 k=1,则直线 BN 的方程为 y=-x+2,由?-?2,?26?24?1,解得?125,?-25,即 N125,-25,同理求得 M-125,-25,所以BNM 的面积为 S=12MNBD=12?245 2+25=14425,故选 B.答案 B4.若点 O 和点 F 分别为椭圆?29?28=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则?的最小值为()A.214B.6C

4、.8D.12解析点 P 为椭圆?29?28=1 上的任意一点,设 P(x,y)(-3x3,-2 2y2 2),依题意得左焦点 F(-1,0),?=(x,y),?=(x+1,y),?=x(x+1)+y2=x2+x+72-8?29?19?922?234.-3x3,32x+92152,94?9222254,1419?92222536.619?922?23412,即 6?12.故选 B.答案 B5.已知椭圆的两个焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析因为|PQ|=|PF2|且|PF1

5、|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为 F1,P,Q 三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.故|F1Q|=2a,即 Q 在以 F1为圆心,以 2a 为半径的圆上.答案 A36.已知斜率为 2 的直线 l 被椭圆?23?22=1 截得的弦长为307,则直线 l 的方程为.解析设直线 l 的方程为 y=2x+m,与椭圆交于 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由?23?22?1,?2?,消去 y并整理得 14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以 x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-2).由弦长公式得|AB|=1?2(?1?2)

6、2-4?1?2=53649?2-67(?2-2)?307,解得 m=13,此时满足0,所以直线 l 的方程为 y=2x13.答案 y=2x137.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆?2?2?2?2=1(ab0)的左,右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,射线 AF2交椭圆于 B.若AF1B 的面积为 40 3,内角 A 为 60,则椭圆的焦距为.解析由题意可得AF1F2为等边三角形,即有2?2?3=2c,2c=a,b=?2-?2?3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,设直线 AB 的方程为 x=-33y+c,代入椭圆方程,可得 313y2+c2-2 33cy+4y2=12c2,化为

7、 5y2-2 3cy-9c2=0,解得 y=3c 或 y=-3 35c,即有AF1B 的面积为122c|yA-yB|=c8 35c=40 3,可得 c=5,即有椭圆的焦距为 10.答案 108.已知椭圆的焦点在 x 轴上,且焦距为 4,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若PF1F2的面积为 2 3,求点 P 的坐标.解(1)由题意知,2c=4,c=2,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即 2a=8,所以 a=4.所以 b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在 x轴上,所以椭圆的方程为?216?212=1.(2)设点

8、 P 的坐标为(x0,y0),4依题意知,12|F1F2|y0|=2 3,所以|y0|=3,y0=3,代入椭圆方程?0216?0212=1,得 x0=2 3,所以点 P 的坐标为(2 3,3)或(2 3,-3)或(-2 3,3)或(-2 3,-3).9.已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程.解设圆 P 的半径为 r,又圆 P 过点 B,所以|PB|=r.又因为圆 P与圆 A内切,圆 A 的半径为 10.所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以点 P 的轨迹是以

9、 A,B 为焦点的椭圆.所以 2a=10,2c=|AB|=6.所以 a=5,c=3.所以 b2=a2-c2=25-9=16.即点 P的轨迹方程为?225?216=1.10.已知椭圆 E 的方程为?2?2+y2=1,点 A 为长轴的右端点.B,C 为椭圆 E 上关于原点对称的两点.直线 AB与直线 AC 的斜率 kAB和 kAC满足:kABkAC=-12.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)若直线 l:y=kx+t与圆 x2+y2=23相切,且与椭圆 E 相交于 M,N 两点,求证:以线段 MN 为直径的圆恒过原点.解(1)设点 B的坐标为(x0,y0),则点 C 的坐标为(-x0,-y0),由

10、?02?2?02=1 得,?02=1-?02?2?2-?02?2.由 kABkAC=-12,即?0?0-?-?0-?0-?=-12得,?02?2-?022.所以?2-?02?2?2-?022,所以 a2=2.即椭圆 E 的标准方程为?22+y2=1.(2)设点 M 的坐标为(x1,y1),点 N 的坐标为(x2,y2),由?22?2?1,?得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.x1+x2=-4?1?2?2,x1x2=2?2-21?2?2,5y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=?2(2?2-2)1?2?2?-4?2?21?2?2+t2=?2-

11、2?21?2?2,又直线 l 与圆 C 相切,所以63?|?|1?2,即23?21?2.所以?=x1x2+y1y2=2?2-2?2-2?21?2?2=3?2-2(1?2)1?2?2?2(1?2)-2(1?2)1?2?2=0,所以?,即MON=90.所以,以线段 MN 为直径的圆经过原点.能力提升1.椭圆的离心率为22,F 为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与 F 关于直线 y=x+4 对称,则椭圆的方程为()A.?218?29=1B.?29?218=1C.?218?29=1 或?29?218=1D.?28?24=1 或?24?28=1解析由题意知?22,得 a2=2b2=2c2,不妨设椭圆的方

12、程为?2?2?2?2=1(ab0),椭圆上任取一点 P(x0,y0),取焦点 F(-c,0),则 PF 中点 M?0-?2,?02,根据条件可得?02?0-?2+4,kPF=?0?0?=-1,联立两式解得 x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得 a=3 2,b=3,由此可得椭圆的方程为?218?29=1 或?218?29=1,故选 C.答案 C2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知ABC 的顶点 A(0,-2)和 C(0,2),顶点 B 在椭圆?212?28=1 上,则sin?sin?sin?的值是()A.3B.2C.2 3D.4解析由椭圆定义得|BA|+|BC|=4 3,所以sin?si

13、n?sin?|?|?|?|?|?4 34?3.答案 A63.点 A 为椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的右顶点,点 P 为椭圆 C 上一点(不与 A 重合),若?=0(O 是坐标原点),则?(c 为半焦距)的取值范围是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上说法都不对解析设 P(x0,y0)(x0a),?=0(O 是坐标原点),则点 P 在以 OA 为直径的圆上,(?0-?2)2?02?24?2?02?2?02?2?2c2?02-a3x0+a2b2=0(c2x0-ab2)(x0-a)=0 x0=a,或 x0=?2?2,x0a,故 x0=?2?2,0?2?2a.b2c2,即 a2

14、-c2|AF|.所以动点 P的轨迹是以 A,F 为焦点的椭圆.因此 a=1,c=12,b2=34.故动点 P 的轨迹方程为 x2+?234=1.5.已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),点 C 1,32在椭圆 E 上.7(1)求椭圆 E 的方程;(2)若点 P 在椭圆 E 上,且 t=?1?2?,求实数 t 的取值范围.解(1)依题意,设椭圆 E 的方程为?2?2?2?2=1(ab0),由已知 c=1,所以 a2-b2=1.因为点 C 1,32在椭圆 E上,所以1?2?94?2=1.由得,a2=4,b2=3.故椭圆 E 的方程为?24?23=1.(2)设 P(x0,

15、y0),由?1?2?=t,得(-1-x0,-y0)(1-x0,-y0)=t,即?02?02=t+1.因为点 P 在椭圆 E上,所以?024?023=1.由得?02=t+1-?02,代入,并整理得?02=4(t-2).由知,0?024,结合,解得 2t3.故实数 t 的取值范围为2,3.6.(选做题)已知椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的离心率为12,短轴长为 2 3.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若椭圆 C 的左焦点为 F1,过点 F1的直线 l与椭圆 C 交于 D,E 两点,则在 x 轴上是否存在一个定点M 使得直线 MD,ME 的斜率互为相反数?若存在,求出定点 M 的坐标;

16、若不存在,请说明理由.解(1)据题意,得2?2 3,?12,?2?2-?2,解得 a2=4,b2=3,所以椭圆 C的标准方程为?24?23=1.(2)据题设知点 F1(-1,0),当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1).由?(?1),?24?23?1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设 E(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-8?24?2?3,x1x2=4?2-124?2?3.设 M(m,0),则直线 MD,ME 的斜率分别满足 kMD=?2?2-?,kME=?1?1-?.又因为直线 MD,ME 的斜率互为相反数,8所以 kME+kMD=

17、?1?1-?2?2-?2?1?1?2-?(?1?2)(?1-?)(?2-?)=0,所以 x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以 x2k(x1+1)+x1k(x2+1)-mk(x1+1)+k(x2+1)=0,所以 2kx1x2+k(x1+x2)-mk(x1+x2)+2k=0,所以 2k4?2-124?2?3+k-8?24?2?3-m k-8?24?2?3+2k=0,所以 k(m+4)=0.若 k(m+4)=0 对任意 kR 恒成立,则 m=-4,当直线 l 的斜率 k 不存在时,若 m=-4,则点 M(-4,0)满足直线 MD,ME 的斜率互为相反数.综上,在 x 轴上存在一个定点 M(-4,0),使得直线 MD,ME 的斜率互为相反数.