导学案----空间角和距离及折叠问题公开课.docx

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1、导学案.空间角和距离及折叠问题例1.(2021新高考/)如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,AB=AD,0为BD的中点.证明：O4_LCQ假设0C。是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上且二面角E-BC-D的大小为45。,求三棱锥A-BCD的体积.例 2.(2020 浙江)如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 ACT。，平面 ABC,ACBACD5 ,DC=2BC(1)证明:(2)求直线。尸与平面O5C所成角的正弦值.R5.B当平面ABC与平面ACD垂直时，三棱锥的高最大，由于底面积Smcd为定值，所以此时三棱锥的体积最大.取AC的中点区连接BE,DE,如图,易知OE_LAC,所以

2、由面面垂直的性质定理可得平面ABC, 所以NOBE即为直线BD和平面ABC所成的角, 因为BE=DE,所以NDBE=45。.应选B.6.D 如图，连接3/交AE于点O,取。歹的中点G,连接OGAG,那么OGII5。且0G=/。所以NAOG（或 其补角）为异面直线8。与AE所成的角,易得。尸=砌=1闫石=时=，。7=2,所以40=/=1.因为平面平面 A3 石尸，平面 CDFEDffi ABEF=EFfDF EFzZ)FcCObE,所以J_ 平面 A8EQ又 平面 ABEF,所以_LBF,DF_LE4,所以BDZdF? +=圾所以 ogD =噂 乙乙图 2j又 GF =DF =、所以 AG=aM

3、- 2 + fg2 = 1.在 AOG 中,sin/AOG =八？ ： ? 二竺222V55R7.B 9：ABCD,NAR4（或其补角）为异面直线CO与A5所成的角火假设四边形ABCD是正方形,平面平面ABCD,连接AC/AAC设AC与8D交于点O,连接40,那么40_1_平面A5C。且 AO=A0=30=C0=Q0=，C =与 乙乙A4=AC=A5=M,AfBAAfCD是等边三角形,必。是等腰直角三角形, N4c4=45。/ACQ=ZA fBA=60。,B|J oNAC4m=nACO.应选B.8.B 如图，作 AEBDtCFBDf由 AB=1,BC3,得 AE=CF聋,BE=EF=FD聋.

4、oo假设存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，连接CE,VBZ）AzAAAC=A，8D_L 平面 AEC,LBDLEC,与BD_LC/矛盾，故A错误.假设存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，9：CDBClBCrAB=Bl平面 ABC,又CZ)u平面BCD,平面ABC,平面BCD.取BC的中点M连接M笈那么MEBDtNAM就是二面角A-BD-C的平面角，此角显然存在，即当A在底面BCD上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确,D错误.假设存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，：BCLCD,CDCAD=D,：.BC-LACD,又3Cu平面BCD,平面ACZ)_L平面

5、BCD,即A在底面BCD上的射影应位于直线CD上,这是不可能的，故C错误.9.答案于解析 依题意可知,该几何体为正四面体，过点A作A。，底面BCD,垂足为。，那么0为WD的中心, 连接03,过P作PH工0B,交0B于“，连接如图.易知NPEH即为直线EP与平面BCD所成的角0,设正四面体的棱长为4a,PB=x(0Wx44a),由CE = 3EB, BE-a.在三角形PBE中/尸踮吗由余弦定理得PE=yjx2 + a2-ax,易得。3二| x 2V3a =殍0AO=J(4a)2-aj =当 a,PH PB X 4日V6由而二而=通得尸RV6 sin柒管=守=亘一，PE & + -2皿巴工、2 3

6、Jyx2J +4当广2,即点尸在AB中点时,sin e取得最大值,最大值为当.10 .答案 解析如下图:易知 tanZDPE= = DEPDIDEBD,PDCBD=D,PBD,易知。石118。,8。_1_平I X-ZO面 PBD, ：. BC PB, SPzPBC=90 ZV PBPD+DB=12,.tanZBPC= =白 |,不可能成立； r D FD 3? DEIIBC, ：. PE与BC所成角即为NPED,易知NPEZK9。, /.不可能成立；当PDBD时，可得PQ_L平面DBCE,PQ_LEC即可能成立；平面POE和平面PBC交于点、尸,设两个平面的交线为/,由线面平行的性质定理可知I

7、WBCWDE,/_LP3,/_LPD,NBPZ)就是两个平面所成二面角的平面角，又 PD=BD, ：. NBPD为锐角,，不可能成立.综上所述，不可能成立的是.11.解析 证明:连接0c因为AB=ADt0为BD的中点，所以A0_L3D 同理可得C0_L3D在必。中，由可得4。=1。=遍.又 AC=2,所以 4。2+。2二人,所以NAOU90。,即 A0_L0C因为所以 A0_L平面 BCD.11连接AEQE设点E到平面ACD的距离为,因为Ve/cfVace,所以，S L ACD = AOS.cde.在ACZ)中,C4=CQ=2,AQ地，所以59乏x V2 x 卜一仔=今又 A0=1,Sacde

8、=； X f X 22 = 所以篇。：，=苧=浮.2 42S力 CD挈 7所以点E到平面ACD的距离为手.12.解析 证明: NACD= 135 -45。=90。, ：.CDAC如图，过点B作30L4G垂足为。./ BA&D是直二面角,且平面BACn平面ACD=ACIBOAC,30_L平面ACDTCDu平面 ACD. ：.B0CD,9：B0CAC=0r CZ5_L 平面 ACB.又COu平面BCD,，平面ABC_L平面BCD.(2)由(1)可得 CD CB, ：. BD5a.易知 AD=B.又 AB=at ：. ABD=9Q .作 BEA-ADM BE空a.-z连接0由(1)知BO_L平面AC

9、D,，BOA.AD,又 30n3E=5,AD_L 平面 BOE, ：. OEAD.那么N8E。就是二面角B-AD-C的平面角.AB=BC=alABC=90l：.BO*a, 乙 ,Dire BO V2a 3 V3 .smBEO=- = = -N8EO=60。,即二面角B-AD-C的大小为60.JT例3.如图1,在四边形ABCD中,ADIIBCD与BC=3,AD=DOL把ACD沿着AC翻折至ACDi的位置，构成三棱锥Di-ABC(如图2).当BDi=2企时,证明:CDJAB；当三棱锥DrABC的体积最大叱求点B到平面ACD1的距离.课堂作业:1 .如图,a_LB，anp=LAa,BB，A,B到1的

10、距离分别是a和b,AB与a*所成的角分别是0和9AB在a，B内的射影长分别是m和n,假设abU ()A.0(pzmn B.0(p,mn C.9v(p,mn ).0n2,在三棱锥P-ABC中,PB=PC=AB=AC=BC=4,PA=2g,那么异面直线PC与AB所成角的余弦值是()1111吃 C-4D-33.如下图,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,NACB=90。,且PA二PB=AB=&,PC=V5,那么点C到平面PAB的距离等于 ()R4 .（多项选择）如图,正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,那么以下四个命题中正确的选项是（）5 .（多项选择）如图,正方体ABCD-AiB

11、iCiDi的棱长为1,那么以下四个命题中正确的选项是（）4直线BC与平面ABCD所成的角等于尚B点C到平面ABCiDi的距离为孚C异面直线D1C和BC1所成的角为尚D二面角C-BG-D的平面角的余弦值为-苧6 .把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）430。B.45。C.60.907 .如图，在矩形ABCD中,AB=V5,BC=2,点E,F分别为BQAD的中点，将四边形CDFE沿EF折起，使得平面CDFE_L平面ABEF,那么异面直线BD与AE所成角的正弦值为（）.如图泗边形ABCD是矩形，沿直线BD将MBD翻

12、折成小记口异面直线CD与AB所成的角为a, 那么（）A.aZACAC.an平面3CD=BQA0u平面ABD, .AO_L平面BCD,又 COu平面 BCD, ：.AOCD.在AB。中，过E作ENWAO交BD于N,那么由AO_L平面BCD得ENJ_平面BCD,:.EN1BC,; OB=OD=OC= 1, A ABCD=90 3P DC BC.在SCO中，过N作NMW CD交BC于M那么NMBC连接 EM,；BC工EN,BC 1NM,ENCNM=N.：.BC1平面 EMN,又 EMu平面 EMN,：EMLBC,；NEMN为二面角E-BC-D的平面角，又二面角E-BC-D的大小为45,NEMN=45

13、 , ：. &EMN为等腰直角三角形，由 DE=2EA 得 DN=2NO,：.MN=CD = EN=ND, AO=L VA-BCD=is BCD -AO=：x?xlx 遮 xl= 3326故三棱锥43co的体积为噌 o例2.解析 证明:如图，过点D作Z)O_LAC,交直线AC于点0,连接0B.由NACQ=45o,OO_LAC 得 CDmCO,由平面ACFQJL平面ABC得OOJ_平面ABC,所以DOBC.由NAC3=45o,8C=；C。=*0 得 BOLBC,又 30口。=。,所以 BCL平面 BDO, 乙乙故 BCDB.由三棱台ABC-DEF得BC11EF,所以EFDB.过点0作0”_L3。

14、,交直线BD于点H,连接CH.由三棱台ABC-QE尸得OFIIC。,所以直线。尸与平面QBC所成角等于直线。与平面QBC所成角.由 8CJL 平面 BDO 得 OHLBC,又 BDCIBC=B，所以 OH_L 平面 BCD,所以NOCH为直线CO与平面DBC所成角.设 CD=2VX那么 D0=0C=2,B0=BC地,所以30二否。二W， .z所以sin/OCH=界=噌 C/ C/O因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为例3.解析 证明:依题意得/AOC=90。，所以 AA_LC7)i,因为。13=2鱼,。=。=1 乃03,所以 BGDC+DB,故N8OiC=90。,即 CDJBDi,因为所

15、以平面48A.又 A3u平面 ABD 以 CD _LA8易得ABC的面积为冬 乙设Q到平面A8c的距离为九1 Q那么，D4BC = o X 5、九故要使/ABC取到最大值，只需h取到最大值.取AC的中点M连接 AM因为AQi=QC=1,nAQiC=90。，所以 DM_LAC,rw4且 h b.l.D由题意口J得n,0(p.2 .A 分别取布、PB、BC的中点、F、G,连接EG、FG、GA. PG,如图:E,由 PB=PC=AB=AC=BC=4 可得 PG=AG=2V5,所以 EGPAt在中，由PG=AG=期=28,可得EG=3.由中位线的性质可得 EVI I且 EF=AB=2fFGPC R F

16、G=：PC=2,所以NGFE（或其补角）即为异面直线PC与AB所成的角,在八二1717 ill Z/z7Z7 GF2+EF2-GE2 4+4-91任GFE 中,cos/GbE=一 = = 一力 2GFEF 2x2x28所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为 O应选A.3 .C取A3的中点G连接PG、CG,作CHJ_PG垂足为，如下图,pa=pb=ab5,：.PAB为等边三角形.G为AB的中点, PGJ_A5, ABC为等腰直角三角形,NAC5=90o,CG_LA。又 PGCICG=G,A3_L平面PCG,又 O/u平面 PCG, ：.ABCH.又 CH PGIPG(AB=GI ：. CH PA

17、B,即CH的长就是点C到平面PAB的距离.在等边三角形PAB中,PG=4 x V2乙乙在RtMBC中,CG二号 在aPCG中，由余弦定理的推论可得cosNPGC二PG2+CG2-PC2 2PGCG sinZPGC=Vl-cos 2PGC在 RECHG 中,CH=CGsin（兀-/PGC）萼 x f=今,点C到平面以8的距离为圣 应选C.4.AB如图，取BCi的中点耳连接CH,易证CH_L平面ABCiDf所以NG3C是直线3C与平面ABG9所成的角,为今故A正确.点C到平面ABCxDy的距离即为CH的长度，为圣故B正确.易证BCx II ADi,所以异面直线DiC和BCi所成的角为NADC（或其补角），连接AC,易知AC。为等边 三角形，所以所以异面直线OC和BG所成的角为共故C错误.连接OH,易知瓦DG,所以DHBClf 又 CHJ_8G,C”nQH二“，平面 seen平面 BC1D=BC,所以NCO为二面角CBG-D的平面角，易求得DH空，又CD=1,CH*, 乙乙222所以由余弦定理的推论可得cosNCHD里需寻=噂故D错误.Lun Lnd应选AB.