全国通用2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题13立体几何中的向量方法理含解析.doc

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1、【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题13 立体几何中的向量方法 理一、选择题1(2014北京理，7)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D解析DABC在xOy平面上的投影为ABC，故S1ABBC2，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则DABC在yOz和zOx平面上的投影分别为OCD2和OAD3，D2

2、(0,1，)，D3(1,0，)故S22，S32，综上，选项D正确2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C. D.答案B解析以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，AA12AB，E(0,0,1)，(1,0,1)，(1,0,2)，cos，故选B.3(2015浙江理，8)如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADBBADBCACB

3、DACB答案B解析AC和BC都不与CD垂直，ACB，故C，D错误当CACB时，容易证明ADB.不妨取一个特殊的三角形，如RtABC，令斜边AB4，AC2，BC2，如图所示，则CDADBD2，BDH120，设沿直线CD将ACD折成ACD，使平面ACD平面BCD，则90.取CD中点H，连接AH，BH，则AHCD，AH平面BCD，且AH，DH1.在BDH中，由余弦定理可得BH.在RtAHB中，由勾股定理可得AB.在ADB中，AD2BD2AB220，可知cosADB0)，所以AB.()假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等设G(0，m,0)(其中0m4t)，则(1,3tm

4、,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|得12(3tm)2(4tm)2，即t3m；由|得(4tm)2m2t2.由、消去t，化简得m23m40.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等方法点拨1.用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的法向量n；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求点到平面的距离d.2点面距、线面距、异面直线间的距离的求法共同点是：设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求

5、距离的两几何图形上各取一点A、B，则距离d.13(2015湖南理，19)如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积分析考查空间向量的运用，线面垂直的性质与空间几何体体积计算考查转化思想、方程思想、运算求解能力和空间想像能力(1)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标将问题转化为证明AB1PQ0；(2)利用向量几何求解：将PQ平面ABB1A1转化为与平面ABB1A1的法向量垂直，

6、结合平面的法向量与二面角的关系确定点P，最后利用体积公式计算体积或用综合几何方法求解解析解法一由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0，6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P(0，3)，(6，m，3)，(3,0,6)，于是18180，所以，即AB1PQ；(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，

7、则 ，即取y6，得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，而二面角PQDA的余弦值为，因此，解得m4，或者m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设 (01)，而(0，3,6)，由此得点P(0,63，6)，(6,32，6)因为PQ平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3(0,1,0)，所以n30，即320，亦即，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥PADQ，而其高h4，故四面体ADPQ的体积VSADQh66424.解法二(1)如图c，取A1A的中点R，连接PR，BR，因为A1A，D1D是梯形A1AD1D的

8、两腰，P是D1D的中点，所以PRAD，于是由ADBC知，PRBC，所以P，R，B，C四点共面由题设知，BCAB，BCA1A，所以BC平面ABB1A1，因此BCAB1，因为tanABR tanA1AB1，所以tanABRtanA1AB1，因此ABRBAB1A1AB1BAB190，于是AB1BR，再由即知平面AB1平面PRBC，又PQ平面PRBC，故AB1PQ.图c图d(2)如图d，过点P作PM/A1A交AD于点M，则PM/平面ABB1A1.因为A1A平面ABCD，所以PM平面ABCD，过点M作MNQD于点N，连接PN，则PNQD，PNM为二面角PQDA的平面角，所以cosPNM，即，从而.连接MQ，由PQ/平面ABB1A1，所以MQ/AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQAB6.设MDt，则MN 过点D1作D1EA1A交AD于点E，则AA1D1E为矩形，所以D1EA1A6，AEA1D13，因此EDADAE3，于是2，所以PM2MD2t，再由得，解得t2，因此PM4.故四面体ADPQ的体积VSADQh66424.15