2016高考数学大一轮复习2.6对数与对数函数教师用书理苏教版.doc

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1、2.6对数与对数函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logaM.(2)对数的性质 N ；logaaN N (a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0(6)

2、在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.()(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)当x1时，logax0.()(5)当x1时，若logaxlogbx，则abc解析alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，显然abc.2函数f(x)lg(|x|1)

3、的大致图象是 答案解析由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为R.又当x1时，函数单调递增，所以只有选项正确3函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是 答案(，)解析函数f(x)的定义域为(，)，令t2x1(t0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间是(，)4已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式 0的解集为 答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由f0，得f0.0x2或0x，x(2，)

4、题型一对数式的运算例1(1)若xlog43，则(2x2x)2 .(2)已知函数f(x)则f(f(1)f(log3)的值是 答案(1)(2)5解析(1)由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)2()2.(2)因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为log30，所以1213.所以f(f(1)f(log3)235.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算已知函数f(x)则f(2log23)的值为 答案解析因为2log234，所以f(3log23).题型二对数

5、函数的图象和性质例2(1)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)， ，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是 (2)作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到思维点拨从基本函数ylog2x出发，到ylog2|x|，再到ylog2|x1|.(1)答案cba解析(1)log23log49，bf()f(log49)f(log49)，log472log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f()f(

6、log47)，即cb0且a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a ，b .答案(1)cba(2)22解析(1)b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cb0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得

7、函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质，(1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误已知函数f(x)(x22ax3)(1)若函数f(x)的定义域为(，1)(3，)，求实数a的值；(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(，1，求实数a的值；(3)若函数f(x)在(，1上为增函数，求实数a的取值范围解(1)由x22ax30的解集为(，1)(3，)，得2

8、a13，所以a2，即实数a的值为2.(2)因为函数f(x)的值域为(，1，则f(x)max1，所以yx22ax3的最小值为ymin2，由yx22ax3(xa)23a2，得3a22，所以a21，所以a1.(3)f(x)在(，1上为增函数，则yx22ax3在(，1上为减函数，且y0，所以即故1a2.所以实数a的取值范围是1,2)利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是 (2)已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是 (3)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是 思维点拨

9、(1)利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先利用对数式的运算性质比较a与b的大小关系，再利用中间值比较a，b，c的大小解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以balog3log43.6.方法二log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于y5x为

10、增函数，.即，故acb.(3)alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a1)为增函数，alog23log221，clog32c.答案(1)bacb(3)abc温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在

11、研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定失误与防范1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)

12、1(2014福建改编)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 答案解析由题意得ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.图中，y3x()x，显然图象错误；图中，yx3，由幂函数图象可知正确；图中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；图中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符2函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是 答案(3，)解析由于a0，且a1，故uax3为增函数，因为函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又yax3在1,3上恒为正，所以a30，即a3.3已

13、知xln ，ylog52，z，则x，y，z的大小关系为 答案yzln e，x1.ylog52log5，0y，z1.综上可得，yzx.4若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a.又loga(a21)loga2a0，所以0a1，a，综上，a(，1)5设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是 答案(1,0)(1，)解析f(a)f(a)或或a1或1a0.6计算(lg lg 25) .答案20解析(lg lg 25)(lg )10121020.7已知函数f(x)则使函数f(x)的图象位于直线y1上方的x的取值范围是 答案x|12解析当x0时，3x11x10，10时，log

14、2x1x2，x2.综上所述，x的取值范围为12.8若log2a1时，log2a0log2a1，0，1a21a，a2a0，0a1，a1.当02a1时，log2a1.1a0，1a21a，a2a0，a1，此时不合题意综上所述，a.9已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)要使函数f(x)有意义则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01，解得0x0的x的解集是x|0x110已知函数y(

15、x2axa)在区间(，)上是增函数，求a的取值范围解函数y(x2axa)是由函数yt和tx2axa复合而成因为函数yt在区间(0，)上单调递减，而函数tx2axa在区间(，)上单调递减，又因为函数y(x2axa)在区间(，)上是增函数，所以解得即2a2(1)B组专项能力提升(时间：20分钟)1设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是 答案(1,0)解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1)由f(x)0，可得01，1x0.2两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1(x)2log2(x1)，f2(x)log2(x2)，

16、f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，则是“同形”函数的是 答案f2(x)与f4(x)解析因为f4(x)log2(2x)1log2x，所以f2(x)log2(x2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到ylog2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)log2(2x)1log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数f3(x)log2x22log2|x|与f1(x)2log2(x1)不“同形”3函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1，则ba的最小值为 答案解析由题意可知求ba的最小值即求区间a，b的长度的最小值，当f(x)0时x1

17、，当f(x)1时x3或，所以区间a，b的最短长度为1，所以ba的最小值为.4函数f(n)logn1(n2)(nN*)，定义使f(1)f(2)f(3)f(k)为整数的数k(kN*)叫做企盼数，则在区间1,2 015内这样的企盼数共有 个答案9解析logn1(n2)，f(1)f(2)f(3)f(k)log2(k2)，1 024210，2 048211，且log242，使f(1)f(2)f(3)f(k)为整数的数有1019个5设f(x)|lg x|，a，b为实数，且0a1.(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)2f()所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.(1)解由f(x)1得，lg x1，所以x10或.(2)证明结合函数图象，由f(a)f(b)可判断a(0,1)，b(1，)，从而lg alg b，即ab1.又1(因b)故ab1，1.(3)证明由已知可得b()2，得4ba2b22ab，得b224b0，g(b)b224b，因为g(3)0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0(3,4)，使g(b0)0.13