【优化探究】2013届高三数学二轮复习 专题演练 矩阵选讲.doc

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1、1矩阵选讲矩阵选讲(习题课习题课)解答题(本大题共 10 小题，每小题 10 分，共 100 分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)1(2012 年高考江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A114341212，求矩阵A的特征值解析：因为A1AE，所以A(A1)1.因为A114341212，所以A(A1)12321，于是矩阵A的特征多项式为f()|2321|234.令f()0，解得A的特征值11，24.2设数列an、bn满足an12an3bnbn12bn，且满足an4bn4Manbn，求二阶矩阵M.解析：依题设有an1bn12302anbn，令A2302，则MA4，A22302230241204.MA

2、4(A2)241204412041696016.3(2012 年福州质检)已知矩阵Tacb0，O是坐标原点，点A(1，0)在矩阵T的变换下得到点P.设b0，当POA的面积为 3，POA3时，求a，b的值解析：acb010ab，p(a，b)，又b0，POA3，2SAOP121a2b2sin3 3，又SOPA121b 3，a2，b2 3.4已知矩阵M0110，N0110.在平面直角坐标系中，设直线 2xy10 在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程解析：由题设得MN011001101001，设(x，y)是直线 2xy10 上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x，y

3、)，则有1001xyxy，即xyxy，所以xx，yy.因为点(x，y)在直线 2xy10 上，从而 2x(y)10，即 2xy10，所以曲线F的方程为 2xy10.5已知二阶矩阵A有特征值13 及其对应的一个特征向量111，特征值21及其对应的一个特征向量211，求矩阵A的逆矩阵A1.解析：设二阶矩阵Aabcd，则有abcd11311，且abcd1111，即ab3，ab1，且cd3，cd1.解得a1，b2，c2，d1.A1221，从而A113232313.6 已知二阶矩阵Aabcd，矩阵A属于特征值11 的一个特征向量为111，属于特征值24 的一个特征向量为232.求矩阵A.解析：由特征值、

4、特征向量定义可知，A111，3即abcd11111，得ab1，cd1.同理可得3a2b12，3c2d18，解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A2321.7已知二阶矩阵M有特征值3 及对应的一个特征向量e11，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(9，15)求矩阵M.解析：设Mabcd，则abcd1131133，故ab3cd3.abcd12915，故a2b9c2d15.联立以上两方程组解得a1，b4，c3，d6，故M1436.8已知矩阵A1214，向量74.(1)求A的特征值1，2和特征向量1，2；(2)计算A5的值解析：(1)矩阵A的特征多项式为f()|1214|256，由f()0 解得

5、12，23.当12 时，解得121，当23 时，解得211.(2)由m 1n 2得2mn7mn4，解得m3，n1.则A5A5(312)3(A51)A523(51)522325213511435339.9(2012 年高考福建卷)设曲线 2x22xyy21 在矩阵Aa0b1(a0)对应的变换作4用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解析：(1)设曲线 2x22xyy21 上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由xya0b1xyaxbxy，得xax，ybxy.又点P(x，y)在x2y21 上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得

6、(a2b2)x22bxyy21.依题意得a2b22，2b2，解得a1，b1，或a1，b1.因为a0，所以a1，b1.(2)由(1)知，A1011，A2101110111021.所以|A2|1，(A2)11021.10已知矩阵M2a2b的两个特征值分别为11 和24.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x2y30 的矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程解析：(1)矩阵M2a2b的特征多项式为f()|2a2b|，f()(2)(b)2a2(b2)2b2a，由已知11，24 为f()0 的两根，14b2，142b2a，解得a3，b1.(2)由(1)知M2321.设直线x2y30 上任意一点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是(x，y)，由xy2321xy2x3y2xy，得2x3yx，2xyy，5解得xx3y4，yxy2，代入x2y30 得x3y42xy230，即 5x7y120，于是点(x，y)必在直线 5x7y120 上由(x，y)的任意性可知，直线x2y30 在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为 5x7y120.