浙江专用2016高考数学二轮复习专题5.3圆锥曲线的热点问题精练理.doc

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1、第3讲圆锥曲线的热点问题(建议用时：70分钟)一、选择题1(2015丽水调研)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B2直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4解析直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)

2、，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.答案C3(2015四川卷)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2 C6 D4解析焦点F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，|AB|2(2)4.选D.答案D4(2015新课标全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y0r2,2

3、r2r1，2c10，c51.答案B6(2015重庆卷)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，)(，)解析由题意A(a,0)，B，C，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x,0)，由BDAC得1，解得cx，所以cxaac，所以c2a2b2101，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)，选A.答案A7(2014湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是

4、它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C3 D2解析设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，max，即的最大值为.答案A二、填空题8抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析由题意知B，代入方程1得p6.答案69(2015杭州调研)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一

5、动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y24x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x1，则由抛物线的定义可得d1d2|PA|AB|d2|PF|1d2，|PF|d2大于或等于焦点F到直线l的距离，即|PF|d2的最小值为，所以d1d2的最小值为1.答案110(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线x

6、y10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.答案11(2015金华模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_解析由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e2.答案(1,2)12设F1是椭圆y21的左焦点，O为坐标原点，点P在

7、椭圆上，则的最大值为_解析设P(x0，y0)，依题意可得F1(，0)，则Pxyx0x1x0x012.又2x02，所以当x02时，P取得最大值42.答案42三、解答题13(2015北京卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解(1)由题意得解得a22，故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0)因为m0，所以1n1.直线PA的方程

8、为y1x.所以xM，即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n)设N(xN,0)，则xN.“存在点Q(0，yQ)使得OQMONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得”，即yQ满足y|xM|xN|.因为xM，xN，n21.所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，)14(2015山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的

9、直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值解(1)由题意知2a4，则a2，又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(

10、14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22，故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所在ABQ面积的最大值为6.15(2015天津卷)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为

11、yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.9