江苏省灌云县第一中学2016届高三数学第二次学情检测试题.doc

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1、灌云县第一中学2016届高三第二次学情检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1设集合，集合，若，则.2某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取名学生3已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 4根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为 . 5现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 6在中，若，则的值是

2、 7若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为 8已知，则的值为 9. 已知等比数列的前项和为，若，则的值是 . 10已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则离心率 11一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍 （第13题）12已知函数，则不等式的解集为 13已知函数的图像经过点，如右图所示，则的最小值为14已知直线与圆相交于两点，若，则圆的半径 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（本小题满分14分）设函数（1）求的单调增区间；（2）若，求的值域16（本小题满分14分）如图，在多

3、面体中，四边形是菱形，相交于点，平面平面，点为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面17（本小题满分14分） 如图，已知椭圆，离心率为过原点的直线与椭圆交于， 两点（，不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值18（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块，其中，单位：百米已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点 M的直路（宽度不计），交线段于点，交线段于点现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数 的图象若点到轴距离记为（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当为何

4、值时，地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.20（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。灌云县第一中学2016届高三第二次学情检测附加题1已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量2已知圆的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

5、的极坐标方程为，求直线被圆截得的弦长3在棱长为4的正方体中，点在棱上，且（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值4已知为正整数，从数列中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数 （1）求；（2）推断数列的通项公式，并给出证明参考答案一、 填空题1.1 2.60 3. 4. 55 5. 6. -5 7. 1 8. 9. -2 10. 11. 12. （-2，1） 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（本小题满分14分）设函数（1）求的单调增区间；（2）若

6、，求的值域解：（1）4分 ，的单调增区间为： 7分（2） 的值域为： 14分16（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，平面平面，点为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面解：方法1，为的中点平面.3分7分（1）证明：四边形是菱形又 点为的中点又 平面平面（2）证明：10分9分.且.分别为的中点且11分又 且 四边形是平行四边形平面.又 四边形是菱形，即又 14分方法,2，证明：（1）四边形是菱形，点是的中点，点为的中点 ， 3分又平面，平面，直线平面7分（2） ，点为的中点，.平面平面，平面平面，平面， 平面， 9分平面，四边形为平行四边形, ， 11分， 四

7、边形是菱形， ，在平面内，平面 14分17（本小题满分14分） 如图，已知椭圆，离心率为过原点的直线与椭圆交于， 两点（，不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值解：（1） ，解得：椭圆方程为：6分（2）法（一） 设，则，在椭圆上 11分 14分法（二） 设，则则，下同法（一）18（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米已知 O EF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N现以点 O为坐标原点，以

8、线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=x2+2（）的图象若点 M到y轴距离记为t（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【解答】解：（1）把代入函数y=x2+2，得M（，），y=2x，k=，直线方程为y=x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=2tx+t2+2， 令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，（t+）2，t2+23，2t1，sOND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），g（t）=，当t=时，g（t）=0，当t（2，）时，g（t）0，当

9、t（，1）时，g（t）0，g（t）g（）=，所以所求面积的最大值为619（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx1的定义域为（0，+），f（x）=3lnx+3=3（lnx+1），故f（x）=3xlnx1在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数；故f（x）在x=时取得极小值f（）=31；4分（2）函数f（x）=ax3+3xlnx1的定义域为（0，+），f（x）=3（ax2+lnx+1），令g（x）=ax2+lnx+1，则g（x）=2ax

10、+=，当a0时，g（x）0在（0，+）恒成立，故=3（ax2+lnx+1）在（0，+）上是增函数，而=3a（）2+ln+1=3a（）20， 6分故当x（，e）时，0恒成立，故在区间（，e）上单调递增，故在区间（，e）上没有极值点； 10分当a=0时，由（1）知，在区间（，e）上没有极值点；当a0时，令=0解得，x=；故=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数，12分当g（e）g（）0，即a0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，令g（）=0得=0，不可能； 14分令g（e）=0得a=，所以（，e），而g（）=g（）=+ln0，又g（）0，所以g（x

11、）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a的取值范围是，0）16分20（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）证明：（） （）由得（），（）. 4分（2）解：方法1，（）（）， ，得（） 6分从而 数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.在中令得 ，又，在中令得 ， 7分当（）时，； 8分当（）时，；9分综上所述，（）. 10分方法2，由式知，（）

12、， 7分记（），则（），在中令得 ，又，从而，（） 即（）. 10分（3）解：令（），则且12分（或 12分），单调递减，. 13分不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即14分，即，解之得 综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是16分附加题1已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量2已知圆的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线被圆截得的弦长3在棱长为4的正方体中，点在棱上，且（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值4. 已知为正整数，从数列中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数 （1）求；（2）推断数列的通项公式，并给出证明略13