【高考数学专题】高考数学一轮复习函数的单调性与最值复习学案.docx

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1、函数的单调性与最值（复习学案）课程标准：1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义。2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）。掌握求函数单调区间的方法（重点）。3.理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义（难点），会借助单调性求最值（重点）。4.掌握求二次函数在闭区间上的最值（重点）。一、增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有_都有_结论那么就说函数f(x)在区间D上是_函数那么就说函数f(x)在区间D上是_函数图示注意：（1）函数f(x)在区间D上是增函数，x1

2、，x2D且x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)00.（2）函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2D且x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)00.二、函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的_.三、基本初等函数的单调区间函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数(ykx，k0)与一次函数(ykxb，k0)k0R无k0无R反比例函数(y，k0)k0无(，0)和(0，)k0(，0)和(0，)无二次函数(yax2bxc，a0)a0，)(，a0(，)指数函数y=ax（a0且a1）a1R无a1无R对数函数

3、y=logax（a0，且a1）a1（0，+）无0a1无（0，+）幂函数y=x=1R无=2（0，+）（-，0=3R无=0，+）无=-1无（-，0）和（0，+）续表三角函数y=sinx y=cosx y=tanx在定义域上增无4、 函数的最大值与最小值定义前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件（1）对于任意xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M（1）对于任意xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值几何意义一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个。五、重要结论1.复合函数的单调性：函

4、数yf(u)，u(x)，在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)，u(x)的单调性相同，则yf(x)单调递增；如果yf(u)，u(x)的单调性相反，则yf(x)单调递减.2.函数单调性的常用结论（1）若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数.（2）若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反.（4）函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同.考点一：函数的单调性【题型1：函数单调性的判断与证明】例题1：(多选题)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论中不正确的是()A.y|f

5、(x)|在R上为增函数 B.y2f(x)在R上为减函数C.yf(x)3在R上为增函数 D.yf(x)在R上为减函数【解析】：A错，比如f(x)x在R上为增函数，但y|f(x)|x|在(0，)上为增函数，在1(，0)上为减函数；1C错，比如f(x)x在R上为增函数，但yf(x)3x3在R上为减函数；1D错，比如f(x)x在R上为增函数，但x在(0，)上为减函数，而在(，01上没意义.故选A、C、D.例题2：已知a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数.【解析】：设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2a)

6、.1当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2).1所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，1所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在，)上是增函数.【题型2：求函数的单调区间】例题：求单调区间.（1）f(x)x22|x|3；（2）f(x) (x24x5)；（3）f(x)xln x.【解析】：（1）解法一：(图象法)f(x)其图象如图所示，所以函数yf(x)的单调递增区间为(，1和0,1；单调递减区间为1,0和1，).解法二：(化为分段函数求解)f(x)y(x1)24(x0)图象开口向下，对称轴为x1，增区间为(0,1)，

7、减区间为(1，)；y(x1)24(x0得1x0.y1.x(0,1)1(1，)y0y极小值由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1).注意：（1）求函数单调区间，定义域优先.（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接。变式训练：1.f(x)在()A.(，1)(1，)上是增函数 B.(，1)(1，)上是减函数C.(，1)和(1，)上是增函数 D.(，1)和(1，)上是减函数2.下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()A.f(x)2x B.f(x

8、)|x1| C.f(x)x D.f(x)ln(x1)3.函数f(x)(a1)x2在R上单调递增，则函数g(x)a|x2|的单调递减区间是 .4.函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac【解析】：由已知得f(x)在(1，)上单调递减，又f()f()，e2，f(e)f()f(2)，即cab.故选D.变式：，(其中e为自然常数)的大小关系是( )A. B.C. D.0，二次函数ux22ax1a在(，1上单调递减，故只需当x1时，x22ax1a0，代入x1解得a2，所以a的取值范围是1,

9、2).故选A.变式1：如果函数g(x)在R上单调递减，那么实数m的取值范围为 .变式2：已知函数f(x)对x1，x2R，且x1x2，满足，并且f(x)的图象经过A(3,7)，B(1,1)两点，则不等式|f(x)4|0时，f(x)x2，则x1x20，于是f(x1x2)0，从而f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0，y0都有f()f(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)1，解不等式f(x5)f()2.考点三：函数的最值【题型1：函数最值定义的考察】例题：函数f(x)

10、()xlog2(x2)在区间1,1上有最大值为 .【解析】：y()x和ylog2(x2)都是1,1上的减函数，y()xlog2(x2)是在区间1,1上的减函数，最大值为f(1)3.变式：已知函数f(x)loga(x2x1)在区间1,2上的最大值比最小值大2，则a的值为()A.2 B. C. D.或【题型2：求二次函数的最值】求二次函数在闭区间m，n上的最值：确定二次函数的对称轴xa；根据am，ma，aa恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决.任意xD，f(x)a恒成立一般可转化为f(x)max0对任意x恒成立，求实数a的取值范围.变式：已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a

11、的取值范围.练 习 题1.函数yf(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且x1x2，则有 ()A.f(x1)f(x2) B.f(x1)f(x2) C.f(x1)f(x2) D.以上都有可能2.下列命题正确的是 ()A.定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B.定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C.若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1I2

12、上也一定为减函数D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1f(5x6)，求实数x的取值范围为_17.函数f(x)的最大值为_18.函数f(x)在1，b(b1)上的最小值是，则b_.19.画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间20.求证：函数f(x)在区间(0，)上是减函数，在区间(，0)上是增函数.21. 已知函数y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域22.求函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值23.已知函数f(x)，x3,5（1）判断函数在区间3,5上的单调性，并给出证明；（2）求该函数的最大值和最

13、小值答案：1、 f(x1)f(x2)；增；f(x1)f(x2)；减2、增函数或减函数；单调区间变式训练：1.f(x)11，f(x)在(，1)和(1，)上都为增函数，故选C2.由已知得f(x)在(0，)上为减函数的是f(x)x，故选C3.由已知得a10，a1，g(x)a|x2|减区间为g|x2|减区间，(，2，故填(，24.设g(x)f(t)，tlogax(0a0，得x2，即函数f(x)在(2，)内单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.变式1：若g(x)为减函数，必有解得0m，即m的取值范围为(0，变式2：对x1，x2R，且x1x2，函数f(x)满足，f(x)在R上为增函数由|f(x)4

14、|3得3f(x)43，1f(x)7.又f(x)的图象经过A(3,7)，B(1,1)两点，f(1)f(x)f(3)，1x3，故不等式的解集为(1,3)变式：画出函数f(x)的图象如图，由函数f(x)的图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，解得a1或a4，即a的取值范围为(，14，)故选D变式：(1)f(1)f()f(x)f(x)0.(2)f(x)在(0，)上是增函数证明：设0x11，所以f()0.所以f(x2)f(x1)0，即f(x)在(0，)上是增函数(3)因为f(6)f()f(36)f(6)，又f(6)1，所以f(36)2，原不等式化为：f(x25x)f(36)，又因

15、为f(x)在(0，)上是增函数，所以解得0x4.不等式的解集为x|0x4例题1：函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.例题2：对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)m

16、inf(t)t22t3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)例题3：解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min例题：解f(x)x2x在上为减函数，f(x)的值域为，要使ax2x对任意x恒成立，只需a，a的取值范围是变式：x0，ax2x1可化为a.要使a对任意x(0,1恒成立，只需amin. 设t，x(0,1，t1.t2t2.当t1时，(t2t)min0，即当x1时，min0，a0.实数a的取值范围是(，0.练习题：1.B【解析】因为函数yf(x)在(a，

17、b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B.2.D【解析】A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y在(，1)和(1，)上分别递减，但不能说y在(，1)(1，)上递减；D正确，符合单调性定义3.C【解析】结合图象分析可知，函数图象在区间3,1是上升的，故其增区间是3,14.B【解析】f(x)(3a1)xb为增函数，应满足3a10，即a，故选B.5.B【解析】由二次函数f(x)82xx2(x1)29的图象知B对，故选B.6.A【解析】函数f(x)是反比例函数，当x(0，)时，函数图象下降，所以在1，)上f(x)为减函数，f(1)

18、为f(x)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值故选A.7.B【解析】因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最小值为3.当x2时，函数的最大值为5.8.A【解析】B，C在1,4上均为增函数，A，D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值.9.A【解析】当1x1时，6x78，当1x2时，82x610.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.10.C【解析】函数的对称轴为x3，所以当x3时，函数取得最小值为16，当x2时，函数取得最大值为9，故选C.11.A【解析】f(x)2，它在8，4)上单调递减，因此有最大值f(8)，无最小值12.C【解析

19、】f(x)(x24x4)a4(x2)24a，函数f(x)图象的对称轴为x2.f(x)在0,1上单调递增又f(x)min2，f(0)2，即a2.f(x)maxf(1)1421.13.(，1)【解析】因为f(x)x22x3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x1，所以函数f(x)的单调减区间是(，1)14.(，0)【解析】易知函数f(x)ax2是一次函数，又因为它是减函数，所以af(5x6)，2x35x6，即x3.17.2【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.综上，g(t)23.(1)函数f(x)在3,5上是增加的，证明：设任意x1，x2，满足3x1x25.因为f(x1)f(x2)，因为3x10，x210，x1x20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在3,5上是单调递增的(2)f(x)minf(3)，f(x)maxf(5).11