【高考数学专题】平面解析几何之阿氏圆讲义- 高三数学一轮专题复习.docx

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1、专题 阿氏圆一、知识点梳理定义：平面上给定两点,设点在同一平面上满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆。(时，点的轨迹是线段的中垂线)定理：为两已知点，分别为线段的定比的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为。半径是：（）二、例题讲解例1：如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于（在的上方），且。（1）圆的标准方程为 ；（2）过任做一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：；。其中正确结论的序号是 （写出正确结论的序号）解析：（1）易知半径，所以圆的方程为；（2）方法一：因为圆心，所以，又因为，且为的中点，所以，因为在圆上，可设，因此，；所以，同理，所以，正确；,正确; ,正确；

2、故正确.例2：若，则的最大值为 方法一：利用余弦定理与函数的最值问题进行求解（解法略）方法二：建立平面直角坐标系处理最值问题（解法略）方法三： 利用阿氏圆：显然这是一阿氏圆，建立如图的直角坐标系，则,因为，得的轨迹是一个阿氏圆，计算得方程，设圆心为，显然当轴时，的面积最大，此时，所以注意：由于存在，说明其轨迹不包括与轴的两个交点，由于,所以为的一条内角平分线，同理为的一条外角平分线，因此分别时线段的内分点和外分点，因此是阿氏圆的直径，因此方法三的简洁解法为：因为动点到定点的距离之比为，所以动点的轨迹为阿氏圆，且半径为，即为三角形高的最大值，所以.因此在后续解题过程遇到选填题可以直接采用解法三的

3、简洁做法即可，如果为解答题则按照解法三完成即可.例3：在平面直角坐标系中，设点，若存在点，使得，则实数的取值范围是 解析：设，则，即，故动点在以为圆心，为半径的圆上运动；由于，故动点在线段的垂直平分线上运动，因此问题转化为直线与圆有交点，所以，即，因此实数的取值范围是.例4：已知圆和点。（1）过点向圆引切线，求直线的方程；（2）求以点为圆心，且被直线截的弦长为4的圆的方程；（3）设为（2）中圆上的任一点，过点向圆引切线，设切点为。试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由。解析：（1）设切线的方程为，易得，解得，所以切线的方程为；（2）

4、圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则，所以圆的方程为；（3）假设存在这样的点，点，相应的定值为，根据题意可得，则，即，又点在圆，即，代入式得：，若系数对应相等，则等式恒成立，所以，解得或，所以可以找到这样得定点，使得为定值，如点时，比值为；点时，比值为.注意：在解答题中，利用阿氏圆主要便于分析，提供解题思路.三、课后练习1、在等腰中，已知边的中点为，点的轨迹所包围的图形的面积等于 2、如图，已知平面平面，是平面与平面的交线上的两个定点，且，在平面上有一个动点，使得，求的面积的最大值。3、圆与圆的半径都是1，过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程。4

5、、已知定点，点是圆上任意一点，请问是否存在不同于的定点使得为常数？若存在，试求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。5、在中，边的中点为，若，则的面积的最大值是 6、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。7、已知两定点，如果动点满足条件，则点的轨迹所包围的图形面积等于 8、在等腰中，为的中点，,则面积的最大值为 9、在中，恰好当时面积最大， 10、已知圆，点，在直线上存在定点（不同于点），满足对于圆上任意一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标，并求。11、已知圆，点，若定点和常数满足，对于圆上任意一点，都有，则 ； 。12、已知圆，定点，其中为圆上的动点，则的最小值为 13、已知函数，若集合，则实数的取值范围为 14、设点是所在平面内动点，满足，若，则的面积的最大值是 15、在中，恒成立，求的最大值。16、已知向量满足，若恒成立，则实数的取值范围为 17、在中，分别为中线，若，则的取值范围。18、在等腰梯形中，分别为底边的中点，把四边形沿直线折起后所在平面记为，,设与所成的角分别为（均不为0），则点的轨迹为 19、在四面体中，已知，且，则的最大值为