江苏省东南中学2013届高三数学最后一卷试题苏教版.doc

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1、第二篇 那些年我们一起错过的题一填空题 【你能既快又准解好填空题吗？方法是否得当？选用公式是否正确？】 若集合，且，则实数的值为 。分析：千万不要把“”再看成“”了。答案：42若复数为纯虚数，则x= 分析：本是纯虚数，故 答案：1.3当A，B时，在构成的不同直线AxBy0中，任取一条，其倾斜角小于45的概率是 00005000040000300002000011000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入（元）分析：在数古典概型问题中基本事件（如：直线方程、对数的值）个数的时候，小心重复计数。答案：xBPyO4一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000

2、人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出 人. 分析：关键是计算公式，405函数(xR)的部分图象如图所示，设O为坐标原点， 是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则= 分析：，关键之一：B(2,0)而不是(1,0)；关键之二：计算的公式选取用二角和与差的正切公式，答案：86若ABC的周长等于20，面积是10，A60，则BC边的长是 分析：SbcsinA，得10bcsin60，得bc40，bc20a，关键是：答案： 7.7已知数列满足， ，记

3、数列的前项和的最大值为，则 . 分析：关键是，答案：8已知曲线，点A(0,-2)及点B(3,a)，从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是 分析：关键是用什么模型，设切点，则切线为，过点A(0,-2)，得切于点，切线为，切线与直线x=3的交点为(3,10)，故a10，答案：（,10）9若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：椭圆和椭圆一定没有公共点； ； ； .其中，所有正确结论的序号是分析：，从而成立，关键之一：，由上得，从而成立；不成立；关键之二：，从而成立；答案： （可令c=1的特值法）10.（1）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为

4、球的直径,且;则此棱锥的体积为_.（2）已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为 _ 分析：（1）作图，在图形中尽可能寻找我们熟悉的条件（线线垂直、 线面垂直、面面垂直等）或熟悉的图形（正四面体，正三棱柱等）。我们发现四面体，故，另我们发现（同地面等高）（2）读清题意“所有棱长都相等”可以知道三棱锥为正四面体，然后根据题意作图，可以得到棱长为，故使用正四面体的体积公式答案：（1）；（2）911（1）已知，且，则的值等于 .（2）若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 .分析：当题目中过多出现“和，差，积，

5、平方和”即“”这些形式的时候，就应该使用完全平方和基本不等式（等）相结合的办法进行处理解决。答案：（1）2；（2）；（3）若满足, 则的值为 _.（4）设数列满足，且对任意的，满足则_.分析：可以使用两边夹逼定理。（1）左边=，右边=，利用求导的办法可以求出右边，故左边=右边，所以左边=右边=1，当且仅当。（2）由得，所以，即；由得；所以可以得到即答案：（3）；（4）12.（1） 如图，两射线互相垂直，在射线 上取一点使的长为定值，在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，则的取值范围为_（2）如右侧下图, 在等腰中, 底边, 若, 则_.（3）已知为的外心

6、，若， 则等于 _- （4）已知向量，满足，则的最小值为 分析：向量问题一般可以采用两种方法处理，（1）（2）题图形比较特殊，故可以使用建系坐标法；（3）（4）题不能使用坐标法，故只能使用向量公式法。答案：（1）；（2）；（3）（4）.13.（1）定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是_（2）设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为_.（3）若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是_分析：这些问题实际要求考生对“”、“”、“”等这些形式要具备一定的敏感度，这些就是在线性规划问题中提及的斜率问题、距离问题等。答案：（1）；

7、（2）；（3）14.（1）若，且，则的最小值是 （2）已知中,，且，面积的最大值是_.（3）已知圆心角为的扇形的半径为1，为弧的中点，点分别在半径上.若，则的最大值是_.分析：一般这些题都偏后，做题时候，我们可以先试试能否交换下题目中的重要字母，如果交换后，发现题目没有改变的话，说明你交换的两个字母属地位等价，然后可以用特殊法操作。如：（1）“”与“”交换后，题目没有发生变化，故此题可以令来解得题目的最小值。答案：。（2）“”与“”交换后，题目没有发生本质变化，故此题说明点与点到原点的距离相等，故可以看做等腰三角形来解答。答案：。(3)“”与“”交换后，题目没有发生本质变化，故说明=，那么在这

8、个条件下，再来解题是不是简单许多.答案：二、解答题 【你能审出方法、步骤和注意点吗？能否做到会而不失分吗？】你能写好解题步骤吗？15在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜（1）求两数字之和为6的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由解：（1）设“两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为-1分（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个-4分 又甲、乙二人取出的数字共有5525（

9、个）等可能的结果， 所以 答：两数字之和为6的概率为 -7分 （2）这种游戏规则不公平 -9分设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， -10分则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）-12分所以甲胜的概率P（B），从而乙胜的概率P（C）1 由于P（B）P（C），所以这种游戏规则不公平-14分你能用好三角公式并简单讨论吗？16在中，、所对的边长分别是、.满足.（1）求的大小；（2）求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，. 在中，

10、即.-3分 又，. . - 7分（2）由（1），即.，-12分. 当时，取得最大值-14分你能用设而不求法和韦达定理计算吗？17在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.解：（1）由题意可得， -2分所以，即 -4分即，即动点的轨迹的方程为 -5分（2）设直线的方程为,，则.由消整理得， -6分则，即. -8分. -10分直线 -13分即所以，直线恒过定点. -14分你能挖掘“隐含条件”吗？18设数列的前n项积为，数列的前n项和为，若（1）证明数列成等差数列，并求数

11、列的通项公式；（2）若对N*恒成立，求实数k的取值范围 （1）证明：由，得且，得，又，-4分所以数列以2为首项1为公差的成等差数列；-5分 ， ，得， 因为也满足，所以数列的通项公式；-8分（2）解：由，得， ，得，所以，-10分 k，-12分令， （求的最大值），当n4时0，的最大值为-14分而，所以的最大值为，实数k的取值范围为k-16分你能看得懂 “不规则图形”并不跳步证明吗？19已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，ADBC， 且 BC2AB2AD2，侧面PAD为等边三角形，PBPC（）求证：PC平面PAB；（）求四棱锥PABCD的体积()证明：在等腰梯形中， 在中，在中， 又

12、，. ()解：过点作，垂足为.在中，则PABCD又，. 又在中， 20如上图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD BC,PD=1,PC=（）求证:PD面ABCD；（）设E是PD的中点 ，求证：PB平面ACE；（）求三棱锥BPAC的体积EPABCD（）证明:, 又, PD面ABCD （）证明：设AC的中点为O，连EO 因为OE为的中位线，所以,平面,平面,所以PB平面ACE （）解：ABCDMOPQF21. 如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正 北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶

13、点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)解：（1）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，. 所以，. （2）因为，则.所以当 ，即 时，S有最大值.故当时，矩形ABCD的面积S有最大值.你能做到运算不错、有意志做吗？22已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.解：（ 1）由题意可知，而，且.解得，

14、 所以，椭圆的方程为. （2）.设， 直线的方程为，令，则，即； 直线的方程为，令，则，即； 而，即，代入上式，所以为定值.你能有机利用平几知识来解题吗？23已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，（1）求、的值；（2）若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围解：依题意，：，不妨设设、（）-2分，由得，-3分，所以-5分，解得，-6分由消去得-7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或-9分，解得或-10分动圆与直线没有公共点当且仅当，即-12分解或-13分，得的取值范围为-14分你能正确使用切点与交点吗？24如图，在函数的图像上取4个点，过点 作切线（，如果，且围成的图形

15、是矩形记为M（1）证明四边形是平行四边形；（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求与的斜率，若没有，请证明A1A2A3A4xy0解：（1）设直线的斜率为（，由，得 -2分 由题意，又点不重合，故，从而，-5分因此，都关于原点对称，故四边形是平行四边形；-7分（2）有最大值； -9分设，即，且设与的距离为，与的距离为 （k1）-11分令（x1），当时为增函数，当时为减函数，故当，-14分 因为 ，因此矩形M的短边与长边的比有最大值，与的斜率分别为和，-16分理科加试内容25. 二阶矩阵和对应的变换对正方形区域的作用结果如图所示： （1）分别写出一个满足条件的矩阵和；(2)根据（1）的

16、计算结果，求 .解：（1），；（2）26如图，在极坐标中，（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与圆相交所得的弦长为，求圆的极坐标方程.解：方法一：（1）设直线的极坐标方程为：由题意知则即（2）由题意得到，故圆的半径设圆的极坐标方程为：由题意知则即方法二：先转化为直角坐标系下的问题解答，后化成极坐标方程.27在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为45解：因为侧面底面，平面平面，所以平面，所以，即三直线两两互相垂直。如图，以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，则平面的一个法向量为， 2分，所以，设平面的一个法向量为，由，得，所以 6分所以，即注意到，解得

17、10分28. 如图，在三棱柱中，且（1）求棱与BC所成的角的大小；（第22题）BACA1B1C1（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，故与棱BC所成的角是 4分BACA1B1C1zxyP（2）P为棱中点，设，则设平面的法向量为n1，则故n18分而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，解得，即P为棱中点，其坐标为10分29. 一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4

18、次所得分数的分布列和数学期望。 解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。， （2）的可能取值为，则；分布列为P-4-2024 30甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？设甲连续射击3次，用表示甲击中目标时射击的次数，求的数学期望.（结果可以用分数表示）解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次

19、，相当于3次独立重复试验，故P（A1）=1- P（）=1-=0123答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为；(2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，故P（A2）=+ =， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是（3）根据题意服从二项分布，（3）方法二： 31已知。（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。解：（1）=7或=14。当=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数=；T5的系数=当=14时展开式中二项式系数最大是

20、项是T8，T8的系数=。(2)由=79，可得=12，设顶的系数最大。，9.410.4 即=10，故展开式中系数最大的项为T11 。32已知，（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明解：（1）当时，所以；当时，所以；当时，所以（2）由（），猜想，下面用数学归纳法给出证明： 当时，不等式显然成立假设当时不等式成立，即， 那么，当时， ， 因为，所以由、可知，对一切，都有成立33试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有 an+cn2bn 分析： 本题中使用到结论 (akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+

21、1+ck+1akc+cka 证明(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明 当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立 由知，an+cn2bn对一切自然数n均成立。34在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，

22、bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：；(3)设点列Qn(，)，是否存在一个最小的正实数R，使得对任意nN*，点Qn(，)都在以R为半径的圆内(包括圆周上)？若存在，请求出R及该圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由条件得2bnanan1，abnbn1，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由已知可得结论成立假设当nk时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(

23、k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)n1时，.当n2时，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故()()，综上，原不等式成立(3)因，故Qn的坐标为(，)，点Qn无限接近原点，距离原点最远的是Q1(，)，易见点Qn均在直线yx上，故存在所求的圆，该圆是以Q1(，)，O(0,0)为直径端点的圆，易得半径R，此圆的方程为(x)2(y)2.35设f(x)是定义在R上的函数，g(x)Cf()x0(1x)nCf()x1(1x)n-1Cf()x2(1x)n-2Cf()xn(1x)0。（1）若f(x)1

24、，求g(x)；（2）若f(x)x，求g(x)。（3）若f(x)，求g(x)；解 (1)f(x)=1,所以，所以g(x)=1,又无意义，即g(x)=1,且x0,x1,xR.(2)因为f(x)=x,所以所以g(x) =,因为所以g(x)=0+=x(1-x+x)n-1=x.所以g(x)=x,且xR,x0,x1.36已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值解：（1）设，则切线的方程为，所以，所以，所以为等腰三角形 且为中点，所以，得，抛物线方程为 （2）设，则处的切线方程为由，同理，所以面积 设的方程为，则由，得代入得：，使面积最小，则得到 令，得，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，所以，即 。21