2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十八抛物线理北师大版.doc

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1、核心素养测评五十八 抛物线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020汉中模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为()A.y2=4x B.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y【解析】选D.因为动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y.2.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为()A.B.C.1D.【解

2、析】选D.抛物线的焦点为F,0,准线方程为x=-.因为点M到焦点F的距离等于2p,所以点M到准线x=-的距离等于2p,xM=p,代入抛物线方程解得yM=p,所以kMF=.3.(2020聊城模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|=()A.B.C.D.【解析】选C.由抛物线方程y2=4x,知焦点F(1,0),准线l:x=-1,如图,设l与x轴交点为K,过B作BMl,交l于M,则易知BMKF,所以ABMAFK,设|BF|=m,由=3,可知|AB|=2m,所以|KF|=|AF|=m,又由方程知|KF|=2,所以m=2,即m=,

3、所以|AB|=2m=.4.(2020上饶模拟)已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为()A.3B.2C.4D.2【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).5.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()A.x2=y B.x2=6y C.x2=-3y

4、 D.x2=3y【解析】选D.设点M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y得x2-2ax+2a=0,所以=3,即a=3,所以所求的抛物线方程是x2=3y.6.已知点M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.F,0,那么M4-,4在抛物线上,即16=2p4-,即p2-8p+16=0,解得p=4.7.在直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若NFR=60,则|NR|=()A.2B.C.2D.3

5、【解析】选A.根据题意,如图所示:连接MF,QF,抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),准线为x=-1,则|FH|=2,由抛物线定义可得|PF|=|PQ|,由PQl,得:PQFR,所以QPF=NFR,又NFR=60,所以QPF=60,所以PQF为等边三角形,由M,N分别为PQ,PF的中点,得|MN|=|QF|,MNQF,且MFPQ,又QHPQ,QMHF,故四边形HFMQ为矩形,故|QM|=|HF|=2,又在RtQMF中,|QF|=4,故|MN|=|QF|=2,又PQRF,|PN|=|NF|,所以|NR|=|MN|=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知点P(-3,3),过点M

6、(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=_.【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=+=+=+=+=-1.答案:-19.已知抛物线x2=4y焦点为F,经过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,以下四个结论:x1x2=-4,|AB|=y1+y2+1,A1FB1=,AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是_.【解析】抛物线x2=4y焦点为F(0,1

7、),易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,正确;|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1 =y1+y2+2,不正确;=(x1,-2),=(x2,-2), 所以=x1x2+4=0,所以 ,A1FB1=,正确;AB的中点到抛物线的准线的距离d=(|AA1|+|BB1|)=(y1+y2+2) =(kx1+1+kx2+1+2) =(4k2+4)2 .当k=0时取得最小值2,正确.答案:10.(2020保定模拟)已知抛物线y2=2px(p0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若MAB的内切圆圆心为

8、(1,t),则直线l的斜率为_.【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由MAB的内切圆圆心为(1,t),可得kMA+kMB=+=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.答案:-1(15分钟35分)1.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点

9、,若=4,则|QF|等于()A.B.3C.D.2【解析】选B.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=4,所以|PQ|=3d,不妨设直线PF的斜率为-=-2,因为F(2,0),所以直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立得x=1,所以|QF|=d=1+2=3.2.(5分)抛物线y=x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.B.C.3D.2【解析】选D.因为点M到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的焦点的距离|MF|,则d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线-=1的距离.由题意知F(0,1),所以(d1+d2

10、)min=-1=2.【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|=()A.8B.4C.6D.3【解析】选D.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=2,所以|PQ|=3d,所以直线PF的斜率为2,因为F(1,0),所以直线PF的方程为y=2(x-1),与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),所以|QF|=d=1+2=3.3.(5分)(2019葫芦岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-

11、1,则|AB|+|MN|的最小值为()A.14B.16C.18D.20【解析】选B.可得F(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=+2=4+,因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-,同理可得|MN|=x3+x4+p=+2=4+4k2,所以|AB|+|MN|=4+4+4k2=8+4k28+2=16.当且仅当k=1时取等号.4.(10分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+

12、(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标.(2)求PAB的面积.【解析】 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).由题意知圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设PAB的面积为S(t)

13、,则S(t)=|AP|d=.5.(10分)(2019保定模拟)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.(2)设Q(4,0),k0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且ACQC,求x2的取值范围.【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直线l与抛物线E相切,则k0且=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,所以,所求的直线方程为y=-x-4.(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为k0,所以=64(k+1)2-64k20,则有x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,因为四边形OACB为平行四边形,则=+=(x1+x2,y1+y2)=,即C,因为ACQC,则kACkQC=-1.又kQC=,又kAC=kOB=k-,所以=-1,所以=k+2,又由k0,则=k+22+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,此时0x24(-1).故x2的取值范围为(0,4(-1).- 10 -