辽宁省实验中学分校2015_2016学年高二数学上学期期中试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设命题p：xR，x2+10，则p为( )Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10DxR，x2+102椭圆2x2+3y2=6的焦距是( )A2B2（）C2D2（+）3在等比数列an中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为( )A2B3C4D94设F1和F2为双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )AB2CD35在正项等

2、比数列an中成等差数列，则等于( )A3或1B9或1C1D96已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则=( )A12B2C0D47下列命题错误的个数( )“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题是真命题；命题p：x2或y3，命题q：x+y5，则p是q的必要不充分条件；命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b20，则a，b都不是0”A0B1C2D38设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A3

3、x4y=0B3x5y=0C4x3y=0D5x4y=09在数列an中，a1=3，an+1=an+ln（1+），则an=( )A3+lnnB3+（n1）lnnC3+nlnnD1+n+lnn10已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S170，S180，则中最大的项为( )ABCD11已知f（n）=，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a2014的值为( )A0B2014C2014D2014201512椭圆+=1（ab0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点椭圆的离心率e满足e，则椭圆长轴的取值范围是( )A，1B，2C，D，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共

4、20分）13已知命题p：x0，3，ax2+2x，命题q：xR，x2+4x+a=0，若命题“pq”是真命题，则实数a的范围为_14等差数列an， bn的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=_15将数列an按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列若a1=1，a3=4，a5=3，则d=_；第n行的和Tn=_16设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字

5、说明，解题过程和演算步骤）17设命题p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0；命题q：实数x满足x25x+60，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（1）求与双曲线=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程（2）已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y26x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程19定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为（1）求an的通项公式（2）设Cn=，求数列cn的前n项和Sn20已知椭圆的离心率，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程

6、；（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由21已知数列an满足a1=，=0，nN*（1）求证：数列是等差数列；（2）设bn=1，数列bn的前n项之和为Sn，求证：Sn22在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于（）求动点P的轨迹方程；（）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）一、

7、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设命题p：xR，x2+10，则p为( )Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10DxR，x2+10【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解命题p：xR，x2+10，是一个特称命题p：x0R，x02+10故选B【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键2椭圆2x2+3y2=6的焦距是( )A2B2（）C2D2（+）【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、

8、性质与方程【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，c=1，椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题3在等比数列an中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为( )A2B3C4D9【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】设公比为q，可得=9，=27，两式相除可得答案【解答】解：设等比数列an的公比为q，由题意可得a3a6=9，a2a4a5=27，可得a2=3故选B【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题4设F1和F2

9、为双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )AB2CD3【考点】双曲线的简单性质 【分析】=tan60=4b2=3c24（c2a2）=3c2c2=4a2=4e=2【解答】解：如图，=tan60，=，4b2=3c2，4（c2a2）=3c2，c2=4a2，=4，e=2故选B【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用5在正项等比数列an中成等差数列，则等于( )A3或1B9或1C1D9【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】通过设数列an的公比为q（q0），利用a3=3a1+2a2

10、计算可知q=3，通过=计算即得结论【解答】解：设数列an的公比为q（q0），依题意，a3=3a1+2a2，a1q2=3a1+2a1q，整理得：q22q3=0，解得：q=3或q=1（舍），=q2=9，故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题6已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则=( )A12B2C0D4【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解

11、【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，=故选C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算7下列命题错误的个数( )“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题是真命题；命题p：x2或y3，命题q：x+y5，则p是q的必要不充分条件；命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b20，则a，

12、b都不是0”A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用 【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据大角对大边，正弦定理可得结论；根据原命题和逆否命题为等价命题，可相互转化；在否定中，且的否定应为或【解答】解：“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题是在三角形ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB，故逆命题为真命题；命题p：x2或y3，命题q：x+y5，则非p：x=2且y=3，非q：x+y=5，显然非p非q，qp，则p是q的必要不充分条件，故正确；命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b20，则a=或b0”故错误故选B【点评】考查了命题

13、的等价关系和或命题的否定，正弦定理的应用属于基础题型，应熟练掌握8设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A3x4y=0B3x5y=0C4x3y=0D5x4y=0【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双

14、曲定义可知4b2c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整理得3b24ab=0，求得=双曲线渐近线方程为y=x，即4x3y=0故选C【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题9在数列an中，a1=3，an+1=an+ln（1+），则an=( )A3+lnnB3+（n1）lnnC3+nlnnD1+n+lnn【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项【解答】解：a1=3，an+1=an+ln（1+）=an+ln，a2=a1+ln2，a3=a2+l

15、n，a4=a3+ln，an=an1+ln，累加可得：an=3+ln2+ln+ln+ln=3+lnn，故选：A【点评】数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n1等，这种办法通常称迭代或递推了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项10已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S170，S180，则中最大的项为( )ABCD【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得a90，a100，由此可知0，0，0，0，0，即可得出答案【解答】解：等差数列an中，S170，且S180即S17=17a9

16、0，S18=9（a10+a9）0 a10+a90，a90，a100，等差数列an为递减数列，故可知a1，a2，a9为正，a10，a11为负；S1，S2，S17为正，S18，S19，为负，0，0，0，0，0，又S1S2S9，a1a2a9，中最大的项为故选D【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题11已知f（n）=，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a2014的值为( )A0B2014C2014D20142015【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知条件推出n为奇数时，an+an+1=2，即a1+a2=2，a3+a

17、4=2，a2013+a2014=2，由此能求出a1+a2+a2014【解答】解：f（n）=，且an=f（n）+f（n+1），n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2（n+1）2=2n1，an+1=f（n+1）+f（n+2）=（n+1）2+（n+2）2=2n+3，an+an+1=2，a1+a2=2，a3+a4=2，a2013+a2014=2，a1+a2+a2014=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2013+a2014）=10072=2014故选：B【点评】本题考查数列中前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n的奇偶性的合理运用12椭圆+=1（ab0）与直线x+y=1交

18、于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点椭圆的离心率e满足e，则椭圆长轴的取值范围是( )A，1B，2C，D，【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x22a2x+a2a2b2=0，0由OPOQ，可得=0，把根与系数的关系可得：a2+b2=2a2b2由椭圆的离心率e满足e，化为，即可得出【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（a2+b2）x22a2x+a2a2b2=0，=4a44（a2+b2）（a2a2b2）0，化为：a2+b21x1+x2=，

19、x1x2=OPOQ，=x1x2+y1y2=x1x2+（x11）（x21）=2x1x2（x1+x2）+1=0，2+1=0化为a2+b2=2a2b2b2=椭圆的离心率e满足e，1，化为54a26解得：2a满足0椭圆长轴的取值范围是，故选：D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知命题p：x0，3，ax2+2x，命题q：xR，x2+4x+a=0，若命题“pq”是真命题，则实数a的范围为，4【考点】复合命题的真假 【专题】函数思想；综合法；简

20、易逻辑【分析】结合二次函数的性质分别求出关于命题p，q的a的范围，从而求出a的范围【解答】解：设f（x）=x2+2x，（0x3），则f（x）=（x1）2+，又0x3，当x=1时，f（x）max=f（1）=，由已知得：命题P：a，由命题q：=164a0，即a4，又命题“pq”是真命题，a且a4成立，即a4，故答案为：，4【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题14等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由题意和等差数列前n项和的特点，设出两数列的前n项和分别为Sn=k

21、n（3n1），Tn=kn（2n+3）（k0），由关系式：n2时，an=SnSn1求出它们的通项公式，再求出的值即可【解答】解：an，bn为等差数列，且其前n项和满足=，设Sn=kn（3n1），Tn=kn（2n+3）（k0），则当n2时，an=SnSn1=6kn4k，当n=1时也满足，则an=6kn4k；当n2时，bn=TnTn1=4kn+k，当n=1时也满足，则bn=4kn+k，=故答案为：【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，求出等差数列an，bn的通项是解题的关键，是中档题15将数列an按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：各行的第一个数a1，a2，a

22、5构成公差为d的等差数列；从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列若a1=1，a3=4，a5=3，则d=1；第n行的和Tn=n22n1n【考点】归纳推理 【专题】综合题；推理和证明【分析】依题意，可求得d=1，又a3=a2q=（a1+d）q，可求得q=2；记第n行第1个数为A，易求A=n；据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，而第n行共有（2n1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，于是可求得第n行各数的和Tn【解答】解：依题意得a5=a1+2d，3=1+2d，d=1又a3=a2q=（a1+d）q，q=2，d，q的值分别

23、为1，2；记第n行第1个数为A，则A=a1+（n1）d=n，又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，第n行共有（2n1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，因此其总数的和Tn=n22n1n故答案为：1，n22n1n；【点评】本题考查数列的求和，突出考查归纳推理，考查方程思想与运算推理能力，判断出每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列是关键16设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是，1）【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【

24、分析】设准线与x轴的交点为Q，连结PF2，根据平面几何的知识可得|PF2|=|F1F2|=2c且|PF2|QF2|，由此建立关于a、c的不等关系，化简整理得到关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得到椭圆离心率e的取值范围【解答】解：设准线与x轴的交点为Q，连结PF2，PF1的中垂线过点F2，|F1F2|=|PF2|，可得|PF2|=2c，|QF2|=c，且|PF2|QF2|，2cc，两边都除以a得2，即2ee，整理得3e21，解得e，结合椭圆的离心率e（0，1），得e1故答案为：，1）【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆离心率的范围着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、线段的垂直平分线性

25、质和不等式的解法等知识，属于中档题三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17设命题p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0；命题q：实数x满足x25x+60，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】分别解出关于p，q的x的范围，根据p是q的必要不充分条件，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：命题P：A=（a，3a），命题q：B=2，3，p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件，a3或0a【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题18

26、（1）求与双曲线=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程（2）已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y26x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设所求双曲线方程为：=1，（416），利用待定系数法能求出双曲线方程（2）双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线方程为，圆心C（3，0），半径r=2，由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程【解答】解：（1）双曲线与双曲线=1有相同焦点，设所求双曲线方程为：=1，（416），双曲线过点

27、（，2），+=1，=4或=14（舍）所求双曲线方程为（2）双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线方程为，即一条渐近线方程为bxay=0，圆C：x2+y26x+5=0可转化为（x3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径r=2，c2=9，=2，解得a2=5，b2=4，双曲线方程为【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法和点到直线距离公式的合理运用19定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为（1）求an的通项公式（2）设Cn=，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；

28、等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）数列an的前项和为Sn=n（n+2），由此能求出an的通项公式（2）由Cn=，利用错位相减法能求出数列cn的前n项和Sn【解答】解：（1）数列an的前n项的“均倒数”为，根据题意得数列an的前项和为：Sn=n（n+2），当n2时，an=SnSn1=n（n+2）（n1）（n2）=2n+1，n=1时，a1=S1=3适合上式，an=2n+1（2）由（1）得Cn=，3Sn=，得：2Sn=3+=3+=，Sn=2【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用20已知椭圆的离心率，过点A（0，b

29、）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程 【专题】综合题【分析】（1）直线AB方程为bxayab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程（2）假设存在这样的值，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解【解答】解：（1）直线AB方程为bxayab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，椭圆的方程为（2）假设存在这样的值，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，=（12

30、k）236（1+3k2）0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（1，0），当且仅当CEDE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0将代入整理得k=，经验证k=使得成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21已知数列an满足a1=，=0，nN*（1）求证：数列是等差数列；（2）设bn=1，数列bn的前n项之和为Sn，求证：

31、Sn【考点】数列与不等式的综合 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后代入即可得到答案；（2）由（1）中的等差数列求出数列an的通项公式，代入bn=1并整理，然后利用裂项相消法求数列bn的前n项和后得答案【解答】证明：（1）由=0，得=，即，则=数列是以1为公差的等差数列；（2）由数列是以1为公差的等差数列，且，则bn=1=Sn=b1+b2+bn=【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题22在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于（）求动点P的轨迹方

32、程；（）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得【解答】解：（）因为点B与A（1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，1）设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x1）故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x1）（）解：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则因为sinAPB=sinMPN，所以所以=即（3x0）2=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题- 19 -