2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六直接证明与间接证明数学归纳法理北师大版.doc

《2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六直接证明与间接证明数学归纳法理北师大版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六直接证明与间接证明数学归纳法理北师大版.doc（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、核心素养测评三十六 直接证明与间接证明、数学归纳法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019太原模拟)下列说法不正确的是()A.综合法是由因导果顺推证法B.分析法是执果索因逆推证法C.综合法和分析法都是直接证法D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.2.(2020长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,bR),则a,b全为0”,其反设正确的是()A.a,b全为0

2、B.a,b中只有一个为0C.a,b至少有一个为0D.a,b至少有一个不为0【解析】选D.“a,b全为0(a,bR)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.3.(2019三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(nN*)时,初始值n应等于()A.1B.4C.5D.6【解析】选D.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,所以初始值n应等于6.4.设nN,则-与-的大小关系是()A.-B.-C.-=-D.不能确定【解析】选B.由题意知,(-

3、)-(-)=(+)-(+),因为(+)2-(+)2=2-=2(-)0,所以-0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c_”.答案:都不大于18.(2019绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-+-+-=+(nN*)”,第一步应验证的等式是_,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是_.【解析】用数学归纳法证明“1-+-+-=+(nN*)”,第一步应验证的等式为:1-=;从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:-=-.答案:1-=-三、解答题(每小题10分,共20分)9.在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*,0).(1)求a2,a3

4、,a4.(2)猜想an的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2+2+2(2-)=2+22,a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23,a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明:当n=1,2,3,4时,等式显然成立,假设当n=k(k4,kN*)时等式成立,即ak=(k-1)k+2k,那么当n=k+1时,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k-1)k+1+k+1+2k+1=(k+1)-1k+1+2k+1,所以当n=k+1时,ak+1=(k+1)-

5、1k+1+2k+1,猜想成立,由知数列的通项公式为an=(n-1)n+2n(nN*,0).10.设f(n)=1+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立?并证明你的结论.【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)f(2)-1,得g(2)=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1,得g(3)=3,猜想g(n)=n(n2).下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立.当n=2时,由上面计算知,等式成立.假设n=k(k2)时,f(1)+f(2)+f(k-

6、1)=kf(k)-1成立,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-1,所以当n=k+1时,等式也成立.由知,对一切n2的正整数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.(15分钟30分)1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x0,用分析法证明2B.x24C.x20D.x21【解析】选C.因为x0,所以要证1+,只需证()2,即证00,因为x0,所以x20成立,故原不等式成立.2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20

7、;ab与a(n2)的过程中,设f(k)=+,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为()A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)+-D.f(k)+-【解析】选C.当n=k时,左端=+,那么当n=k+1时,左端=+,故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)+-.【变式备选】已知nN*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+(3n-2)=时.假设当n=k(kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是()A.f(k+1)=f(k)+3k-5 B.f(k+1)=f(k)+3k-2C.f(k+1)=f(k)+3k+1 D.f(k+1)=f(k)+3

8、k+4【解析】选C.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+(3n-2)=时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+(3k-2)=,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.4.(5分)(2019太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设_.【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x-1且x1”.答案:x-1且x15.(10分)已知数列an满足:a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*. (1)求证:数列为等差数列,并求出数列an的通项公式.(2)记bn=(nN*),用数学归纳法证明:b1+b2+bn1-,nN*.【证明】(1)a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),可得=+1,则数列为首项为2,公差为1的等差数列,则=2+n-1=n+1,即an=n(n+1).(2)bn=,当n=1时,b1=,1-=,即;假设n=k时,不等式b1+b2+bk1-成立,kN*.当n=k+1时,b1+b2+bk+bk+11-+,要证1-+1-,即证-,即证2(k+1)2k+3,显然成立,即n=k+1时,不等式成立.则证得b1+b2+bn1-,nN*.- 8 -