2015_2016学年高中数学本册综合能力测试新人教A版必修4.doc

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1、本册综合能力测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2015泰安期末)tan的值为()ABCD答案D解析tantan(2)tan.2(高考辽宁理)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A(，)B(，)C(，)D(，)答案A解析本题考查平面向量的坐标运算，单位向量的求法因为(3，4)，|5，所以与向量同向的单位向量为(，)，选A3若sin，则tan2的值为()ABCD答案B解析sin，cos.ta

2、n.tan2.4(2015成都一诊)若sin2，sin()，且，则的值是()ABC或D或答案A解析因为，故2，2，又sin2，故2，a，cos2，故，于是cos()，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()()，且，2，故.5已知a(1，1)，b(x1，x)，且a与b的夹角为45，则x的值为()A0B1C0或1D1或1答案C解析由夹角公式：cos45，即x2x0，解得x0或x1.6设asin17cos45cos17sin45，b2cos2131，c，则有()AcabBbcaCabcDbaaC7(2015广东实验中学质检)在ABC中，已知向量与满足()0且，则ABC为()A三边

3、均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形答案D解析设BAC的角平分线为AD，则.由已知得ADBC，ABC为等腰三角形又cosA，A60，ABC为等边三角形，故选D8(2015东北四市模拟)将函数ysinx的图象经过下列哪种变换可以得到函数ycos2x的图象()A先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)B先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)C先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)D先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)答案A解析ycos2xsin(2x)，将ysinx

4、的图象先向左平移个单位得到ysin(x)的图象，再沿x轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)得到ysin(2x)的图象，故选A9.函数ytan(x)的部分图象如右图，则()()A6B4C4D6答案A解析点B的纵坐标为1，tan(x)1，x，x3，即B(3,1)令tan(x)0，则x0，解得x2，A(2,0)，(5,1)，(1,1)()6.10函数y的图象如下图，则()Ak，Bk，Ck，2，Dk2，答案B解析直线过点(2,0)，2k10，k.T，T，y2sin(x)过点(，2)，22sin()，.11(2015杭州模拟)如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值是()A8B1C1D8答案D解析

5、取BC的中点D，连接AD、OD，则有ODBC，()，()()()(22)(5232)8，选D12(2015广东深圳调研)关于x的方程x2xcosAcosBcos20有一个根为1，则在ABC中一定有()AABBACCBCDAB答案A解析1是方程的根，1cosAcosBcos20，cosAcosBsin2，2cosAcosB1cosC，2cosAcosB1cos(AB)，把cos(AB)展开，cos(AB)1，AB故选A第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13若tan3，则sincos的值等于_答案解析sincos.14已知：|a|

6、2，|b|，a与b的夹角为，要ba与a垂直，则为_答案2解析由题意a(ba)0，即ab|a|20，240，即2.15已知13sin5cos9,13cos5sin15，那么sin()的值为_答案解析将两等式的两边分别平方再相加得169130sin()25306，所以sin().16在ABC中，BAC120，ABAC2.D、E是BC边上的点，且0，2，则_.答案1解析0，.又ABAC，点D为BC的中点，()，()()(2232)(8322cos1204)1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知函数f(x)2sin(x)cosx.

7、(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值解析(1)f(x)2sin(x)cosx2sinxcosxsin2x函数f(x)的最小正周期T.(2)由x，知2xsin2x1f(x)在区间，上的最大值为1，最小值为.18(本题满分12分)已知向量a3e12e2，b4e1e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)，求：(1)ab；|ab|；(2)a与b的夹角的余弦值解析(1)a3(1,0)2(0,1)(3，2)，b4(1,0)(0,1)(4,1)，ab34(2)110.|ab|2(ab)2a22abb2|a|220|b|213201750，|ab|5.(2)cos.19(本

8、题满分12分)(2015济宁模拟)已知向量a(cos，sin)，0，向量b(，1)(1)若ab，求的值；(2)若|2ab|m恒成立，求实数m的取值范围解析(1)ab，cossin0，得tan，又0，.(2)2ab(2cos，2sin1)，|2ab|2(2cos)2(2sin1)288(sincos)88sin()，又0，sin()，1，|2ab|2的最大值为16.|2ab|的最大值为4.又|2ab|4.20(本题满分12分)(2015山东潍坊高一期末)已知函数f(x)Asin(x)(0,0)的部分图象如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短

9、为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；(3)当x，时，求函数yf(x)f(x)的最值解析(1)由图得：T，T2，1.又f()0，得：Asin()0，2k，2k，0，当k1时，.又由f(0)2，得：Asin2，A4，f(x)4sin(x)(2)将f(x)4sin(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到y4sin(2x)，再将图象向右平移个单位得到g(x)4sin2(x)4sin(2x)，由2k2x2k(kZ)得：kxk(kZ)，g(x)的单调增区间为k，k(kZ)(3)yf(x)f(x)4sin(x)4sin(x)4si

10、n(x)4sin(x)4(sinxcoscosxsin)4cosx2sinx2cosx4cosx2sinx2cosx4sin(x)x，x，sin(x)1，函数的最小值为4，最大值为2.21(本题满分12分)(2015厦门模拟)已知向量a(cos，sin)，b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan2的值解析b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，.f(x)bccosxsinx2cosxsinsinxcosx2sinxcos2sinxcosx

11、(sinxcosx)令tsinxcosx(x)，则t(1，)，且2sinxcosxt21.yt2t1(t)2，t(1，)当t时，ymin，此时sinxcosx.即sin(x)，sin(x)，x，x.x，即x.所以函数f(x)的最小值为，相应的x的值为.(2)a与b的夹角为，coscoscosxsinsinxcos(x)，0x，0x0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式；证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0.解析(1)因为f(x)10sincos10cos25sinx5cosx510sin(x)5.所以函数f(x)的最小正周

12、期T2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y10sinx5的图象，再向下平移a(a0)个单位长度后得到g(x)10sinx5a的图象已知函数g(x)的最大值为2，所以105a2，解得a13.所以g(x)10sinx8.要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx080，即sinx0.由知，存在00.因为ysinx的最小正周期为2，所以当x(2k0,2k0)(kZ)时，均有sinx.因为对任意的整数k，(2k0)(2k0)201，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk(2k0,2k0)，使得sinxk.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0.11