高等数学基本公式、概念和方法.doc

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1、高等数学基本公式、概念和方法一函数 1函数定义域由以下几点确定（）（）（其中n为正整数）（）。（）（）函数代数和的定义域，取其定义域的交集（）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定2判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的（） 若是偶函数，若是奇函数（） 若的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数如等。若的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数如 将函数分解成几个简单函数的合成由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系函数与常数的四则运算，不必另设一层关系二极限与连续1主要概念和计算方法：（）（必考）（）若（极限过程不限），则当时为无穷小量。（必考）（3

2、）若，则函数在处是连续的。（必考）即（）函数值存在、（）极限存在、（）极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足，则是函数的间段点。（4）间断点的分类：设是函数的间断点若左、右极限均存在，则称为第一类间断点。（要知道分类）若左、右极限至少有一个是无穷大，则称为第二类间断点。（了解即可）（5）重要公式：条件（极限过程不限）（必考）结论；*常用等价无穷小公式：(当x0时：)（必考）1、 xsinxsin-1xtanxtan-1xex-1ln(1+x) 2、 x2+xx 3、 1-cosx12x2 4、 (1+x)-1x 5、 ax-1xlna 6、 loga(1+x)1lnax 7、 (1+x)

3、mn-1mnx 8、 (1+x)-(1-x)x*重要极限：limx1+1xx=e limx0(1+x)1x=e limx1-1xx=1e limx0(1-x)1x=1e limnnn=1*公式：cos-cos=-2sin+2sin-2 (sin（x)n=nsin(x+n2) (1ax+b)n=(-1)nn!an(ax+b)-(n+1)2求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（） 定式：直接得结论（即常数、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。（） 不定式：（）型：消去零因子或用公式。（）型：约去因子，使之变成定式。（）型：用公式。（）型：取简单的翻到分母上，转化成或

4、。（）型：通分或有理化，使之转化成其它类型。注：和型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。三导数（必考）（一）基本概念1导数值：，也可以记作。2导数的几何意义：就是曲线在点处切线的斜率k，其切线的方程是：，法线方程：。 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。（二）导数基本公式：（必考）1 2。 3。 4。 5。6 7。 8。 9。10 11。 12。13（三）微分法（设u和v 都是x的函数）1用定义求导数或导函数。23；45设复合函数，则6设由隐函数确定，则，也可以直接对方程求导数。7对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。8设参数方程，

5、则9微分：10反函数的导数：附：函数在一点处几个概念之间的关系图可导（可微）连续（极限值等于函数值）有极限有定义（函数值存在）四中值定理与导数应用1拉格朗日中值定理： 条件：函数在a,b上连续，在（a,b）内可导 结论：至少存在一点。罗比达法则limab=limab (a、b是a、b的导数)（必考！）无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用罗比达法则未定型式的变换：（变成00或者的形式） 0=010=00 -=10-10=0-000 1=eln1=e0 00=e0ln0=e0 0=e0ln=e0通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则3单调

6、性：若在（a,b）内在（a,b）内单调递增。若在（a,b）内在（a,b）内单调递减。a) 极值存在的必要条件：若（为驻点）b) 极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。c) 判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内0，则曲线在（a,b）内上凹。如等。若在(a,b)内a，则在区间（，b）上类似定义。 7几个结论 设是偶函数： 设是奇函数：。 求定积分的方法（1） 利用几何意义（画出对应的图形）。（2） 直接用牛顿-莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。（3） 先求对应的不定积分，在用牛顿-莱布尼兹公式

7、（注意函数的连续性）。（4） 用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。不定积分表（基本积分）9 定积分应用（1）求平面图形的面积先画出这块面积，用阴影表示出。用定积分表示面积，再求出其值。（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积绕x轴：v=。 绕y轴：v=七微分方程。1 可分离变量：2 一阶线性的：附录1：等价写法几种等价写法附录2：公式一、乘法与因式分解公式1.1 1.2 1.4 二、三角不等式2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 三、一元二次方程 的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：四、某些数列的前n项和 4.2 4.3 4.7 五、二项式展开公式六、三角函数公式1 两角和公式6.1 6.2 2 倍角公式6.5 6.6 3 半角公式 4 和差化积5 万能公式1: 2:对数：七、导数与微分1 求导与微分法则 2 导数及微分公式