2016高考数学大一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性教师用书理苏教版.doc
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1、2.3函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数yf(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(xT)f(x),那么就称函数yf(x)为周期函数,称T为这个函数的周期(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做函数f(x)的最小正周期【思考辨析】判断下面结论是否正确(
2、请在括号中打“”或“”)(1)函数f(x)0,x(0,)既是奇函数又是偶函数()(2)若函数yf(xa)是偶函数,则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数,则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)若函数f(x)为奇函数,则a2.()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)(a0),则f(x)是周期为2a的周期函数()(6)函数f(x)为R上的奇函数,且f(x2)f(x),则f(2 016)0.()1(2013山东改编)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)x2,则f(1)_.答案2解析f(1)f(1)(11)2.2已知f(x)ax2bx是
3、定义在a1,2a上的偶函数,那么ab的值是_答案解析依题意b0,且2a(a1),a,则ab.3(2014四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x1,1)时,f(x)则f()_.答案1解析函数的周期是2,所以f()f(2)f(),根据题意得f()4()221.4设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x(0,)时,f(x)lg x,则满足f(x)0的x的取值范围是_答案(1,0)(1,)解析画草图如图所示,由f(x)为奇函数知:f(x)0的x的取值范围为(1,0)(1,).题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)x3x;(2)f(x)(x1) ;(3)f(x)解(
4、1)定义域为R,关于原点对称,又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x),所以函数为奇函数(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数(3)当x0时,x0,f(x)x2x,f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x);当x0,f(x)x2x,f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)所以对于x(,0)(0,),均有f(x)f(x)函数为奇函数思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:(2)在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立(1)若函数f(x)3x3x与g(x)3
5、x3x的定义域均为R,则下列命题正确的是_f(x)与g(x)均为偶函数;f(x)为偶函数,g(x)为奇函数;f(x)与g(x)均为奇函数;f(x)为奇函数,g(x)为偶函数(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)2x3,则f(2)_.答案(1)(2)1解析(1)由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数,由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数(2)f(2)2231.又f(x)为奇函数,f(2)f(2)1.题型二函数周期性的应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x),当3x1时,f(x)(x2)2;当1x3时,f(x)x.则f(1)f
6、(2)f(3)f(2 015)_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x2),当2x3时,f(x)x,则f(105.5)_.答案(1)336(2)2.5解析(1)利用函数的周期性求解f(x6)f(x),T6.当3x1时,f(x)(x2)2,当1x3时,f(x)x,f(1)1,f(2)2,f(3)f(3)1,f(4)f(2)0,f(5)f(1)1,f(6)f(0)0,f(1)f(2)f(6)1,f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1336.又f(2 016)f(0)0.f(1)f(2)f(3)f(2 015)336.(2)由已知,可得f(x4)f(x2)2f(x)
7、故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53,由题意,得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思维升华(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值(2)求函数周期的方法(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)1,f(2)2,则f(3)f(4)_.(2)设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)2x(1x),则f_.答案(1)1(2)解析(1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2,f(4)f(1)f(1)1,f(3)f(4)1.(2)f
8、(x)是周期为2的奇函数,ffff2.题型三函数性质的综合应用例3(1)已知偶函数f(x)在区间0,)上单调递增,则满足f(2x1)f的x的取值范围是_(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数若af(25),bf(11),cf(80)则a、b、c的大小关系为_答案(1)(2)acb解析(1)偶函数满足f(x)f(|x|),根据这个结论,有f(2x1)ff(|2x1|)f,进而转化为不等式|2x1|,解这个不等式即得x的取值范围是.(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知,f(x)在2,2上递增,又f(x4)f(x)f(x8)f
9、(x4)f(x),故函数f(x)以8为周期,f(25)f(1),f(11)f(3)f(34)f(1),f(80)f(0),故f(25)f(80)f(11),即ac0,又alog2a1log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)f(log2a)f(a)f(log2a)f(a)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1)又因f(x)在0,)上递增|log2a|1,1log2a1,a.忽视定义域致误典例:(1)若函数f(x)在定义域上为奇函数,则实数k_.(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定
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