2016高考数学大一轮复习3.2导数与函数的单调性极值最值教师用书理苏教版.doc

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1、3.2导数与函数的单调性、极值、最值1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，

2、f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f

3、(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点()1函数f(x)x22ln x的单调减区间是_答案(0,1)解析f(x)2x(x0)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2(2013浙江改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则下列命题正确的是_当k1时，f(x)在x1处取到极小值；当k1时，f(x)在x1处取到极大值；当k2时，f(x)在x1处取到极小值；当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案解析当k1时，f(x)exx1，f(1)

4、0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1附近的左边f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故只有正确3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_答案(1，)解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，)4设1x2，则，()2，的大小关系是_(用“”连接)答案()2解析令f(x)xln x(1x0，函数yf(x)(1xf(1)10，xln x001，()20，()20，令exa0

5、，则exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe31，则f(x)的单调减区间为_(2)若f(x)x2bln(x2)在1，)上是减函数，则b的取值范围是_答案(1)(2,2a)(2)(，1解析(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2x2a时，f(x)2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(

6、2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)转化为f(x)x0在1，)上恒成立，即bx(x2)在1，)上恒成立，令g(x)x(x2)(x1)21，所以g(x)min1，则b的取值范围是(，1题型二利用导数求函数的极值例2 (2014福建)已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex.(1)解由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f

7、(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0.故g(x)在R上单调递增，又g(0)10，因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x20，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|0a1题型三利用导数求函数的最值例3 (2014四川改编)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x

8、)在区间0,1上的最小值解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是

9、g(0)1b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在(a，b)内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)e

10、k1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，2分当a0时，f(

11、x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)4分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.6分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.8分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.10分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数12分又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.14分综上可知，当0a0x22x303x1，故函数y(3

12、x2)ex的单调递增区间是(3,1)2若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为_答案解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，故不正确；从适合f(x)0的点可以排除，图符合条件，f(x)的图象可能为.3若函数f(x)在x1处取得极值，则a_.答案3解析因为f(x)，因为函数f(x)在x1处取得极大值，所以f(1)0，所以a3.4设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是_答案10)，当x0时，有00且a13，解得10)令y0，得00，当x(1，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符

13、合题意；若1a0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意，所以a(1,0)9已知函数f(x)ln x，求函数f(x)的极值和单调区间解因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1，无极大值f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)10设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若x2,2时，不等式f(x)m恒成立，

14、求实数m的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)若x0，f(x)0，则1ex0，f(x)0；若x0，则f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)2e2.当mm恒成立即实数m的取值范围为(，2e2)B组专项能力提升(时间：30分钟)1函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集是_答案x|x0解析构造函数g(x)exf(x)ex1，求导得到g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1

15、由已知f(x)f(x)1，可得到g(x)0，所以g(x)为R上的增函数；又g(0)e0f(0)e010，所以exf(x)ex1，即g(x)0的解集为x|x02已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则下列不等式成立的是_f(1)e2 016f(0)f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0)f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0)f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0)答案解析令g(x)，则g(x)()0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2 016)g(0)，即，故f(1)ef(0)，f(2 016)e2

16、016f(0)3已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_答案解析f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0，0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0，f(0)f(1)0，正确结论的序号是.4(2013福建)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数

17、f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值5(2014山东)设函数f(x)

18、k(ln x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围解(1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)k().由k0可得exkx0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，)所以g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek.综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，)15