二次型及其标准形讲稿.ppt

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1、二次型及其标准形二次型及其标准形第一页，讲稿共五十三页哦 学习要点学习要点：1.了解向量的内积、长度及正交等知识了解向量的内积、长度及正交等知识.2.掌握实对称矩阵的对角化方法掌握实对称矩阵的对角化方法.3.重点掌握实二次型的标准化方法，主要重点掌握实二次型的标准化方法，主要 有正交变换和配方法两种常用方法：有正交变换和配方法两种常用方法：4.了解正定二次型的性质、判定和应用了解正定二次型的性质、判定和应用.第二页，讲稿共五十三页哦6.1 6.1 欧氏空间欧氏空间 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广，维向量空间是三维向量空间的直接推广，但是只定义了但是只定义了线性运算，线性运算，而三维空间

2、中有向量夹角和长度的概念，它们构成而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们构成了三维空间丰富的内容了三维空间丰富的内容.我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中.在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积数量积)建立标准的直角坐标系后建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积设设则则第三页，讲稿共五十三页哦称称x,y为向量为向量x与与y的的内积内积.令令定义定义定义定义6.1 6.1(内积的定义内积的定义)设有设有n维向量维向量定义了内积的实向量空间称为定义了内积的实向量空间称为Eucl

3、id空间空间.第四页，讲稿共五十三页哦性质性质性质性质6.1 6.1 (内积的性质内积的性质)定义定义定义定义6.26.2（向量的长度）（向量的长度）长度长度（或范数）（或范数）.称称 为为n维向量维向量x的的第五页，讲稿共五十三页哦定理定理定理定理6.1 6.1 (Cauchy-Schwarz不等式不等式)即即这由这由的判别式的判别式 易知易知.(三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证不等式易证)性质性质性质性质6.26.2（向量长度的性质）（向量长度的性质）(1)非负性非负性 当当 时，时，；当；当 时，时，(2)齐次性齐次性(3)三角不等式三角不等式第六页，讲稿共

4、五十三页哦定义定义定义定义6.36.3（单位向量）（单位向量）当当 时，称时，称 x 为为 n 维单位向量维单位向量.定义定义定义定义6.46.4（向量的夹角）（向量的夹角）在欧氏空间在欧氏空间V中，中，所确定所确定.任意两个非零向量的夹角由任意两个非零向量的夹角由 定义定义定义定义6.56.5（向量的正交）（向量的正交）在欧氏空间在欧氏空间V中，若中，若 ，称向量称向量x和和y正交正交.向量向量 是与是与 同方向长度是同方向长度是1的向量，称为对的向量，称为对 单位化单位化.若若x=0，则显然，则显然x与任何向量都正交与任何向量都正交.第七页，讲稿共五十三页哦 若一个不含零向量的向量组若一个

5、不含零向量的向量组 中的向量两两正中的向量两两正交交:，则称该向量组为正交向量组，则称该向量组为正交向量组.又如果又如果这些向量都是单位向量这些向量都是单位向量:，则称该向量组为规范正交，则称该向量组为规范正交向量组向量组.若该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基，又分别称为向量空的基，又分别称为向量空间间 V 的正交基和规范正交基的正交基和规范正交基.定义定义定义定义6.66.6（规范正交基规范正交基）第八页，讲稿共五十三页哦例如例如:是向量空间是向量空间R3的一个规范正交基的一个规范正交基(通常称为自然基通常称为自然基).再如再如:是下面向量空间是下面向量空间V的一个规范

6、正交基的一个规范正交基.第九页，讲稿共五十三页哦证明证明设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.定理定理定理定理6.26.2第十页，讲稿共五十三页哦 设设 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基(坐标系坐标系),如何在向量空间如何在向量空间V中建立中建立(规范规范)正交基正交基(坐标系坐标系)?这个问题就是这个问题就是找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组问题问题第十一页，讲稿共五十三页哦设设 线性无关线性无关令令则则 两两正交两两正交,且与且与 等价等价.是与是与等价的规范正交组等价的规范正交组定义定义定义定义6.76.7（施密特正交化过程施密特正交化过程

7、）第十二页，讲稿共五十三页哦求求 的一个规范正交基的一个规范正交基,并求向量并求向量解解 易知易知 线性无关线性无关,由施密特正交化过程由施密特正交化过程在该规范正交基下的坐标在该规范正交基下的坐标.例例6.3第十三页，讲稿共五十三页哦再单位化再单位化 当建立规范正交基当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系相当于标准直角坐标系)后后,求一个向量的坐标求一个向量的坐标就特别方便就特别方便两边分别与两边分别与 内积内积第十四页，讲稿共五十三页哦A 是正交矩阵是正交矩阵定义定义定义定义6.86.8（正交矩阵正交矩阵）若若n阶方阵阶方阵A满足满足ATA=E，则称则称A为为正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩

8、阵.等价定义等价定义等价定义等价定义A 的列组是规范正交组的列组是规范正交组A 的行组是规范正交组的行组是规范正交组AAT=EA-1=AT第十五页，讲稿共五十三页哦证证 (只证第一条只证第一条)第十六页，讲稿共五十三页哦(1)A是正交矩阵，则是正交矩阵，则A-1和和A*都是正交矩阵；都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ；(4)P是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ，即正交变换保持向量的长度不变。即正交变换保持向量的长度不变。性质性质性质性质6.46.4第十七页，讲稿共五十三页哦对称矩阵不同特征值对应的特征向量

9、必正交对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.实实对称矩阵的特征值必为实数对称矩阵的特征值必为实数.(证明自学证明自学)从而特征向量可取到实的从而特征向量可取到实的.证明证明6.2 6.2 实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化定理定理定理定理6.36.3定理定理定理定理6.46.4第十八页，讲稿共五十三页哦定理定理定理定理6.56.5是是A的特征值。的特征值。设设A是一个是一个n阶实对称矩阵，则必存在一个阶实对称矩阵，则必存在一个n 阶阶正交矩阵正交矩阵Q，使得，使得 ，其中，其中对称矩阵必可正交对角化。对称矩阵必可正交对角化。即即对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数对称矩阵特征值的重数必等于其几

10、何重数.即等于其对应的最大无关特征向量的个数即等于其对应的最大无关特征向量的个数.即即推论推论推论推论6.66.6第十九页，讲稿共五十三页哦把对称矩阵把对称矩阵 正交对角化。正交对角化。第第第第1 1步步步步:求特征值。求特征值。(特征值必都是实数特征值必都是实数)例例6.7第二十页，讲稿共五十三页哦第第第第2 2步步步步:求线性无关的特征向量求线性无关的特征向量.对对 ，解方程组，解方程组求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量)第二十一页，讲稿共五十三页哦对对 ，解方程组，解方程组求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量)前面的前面的第二十二页，

11、讲稿共五十三页哦第第第第3 3步步步步:检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交,用施密特过程正交化，用施密特过程正交化，再把正交的特征向量单位化。再把正交的特征向量单位化。第二十三页，讲稿共五十三页哦第第第第4 4步步步步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵.单位化：单位化：则则令令第二十四页，讲稿共五十三页哦在平面解析几何中，我们知道标准方程在平面解析几何中，我们知道标准方程中中的图形为的图形为圆圆。的图形为的图形为椭圆椭圆。的图形为的图形为双曲线双曲线。对于一般二次曲线对于一般二次曲线的图形是什么？

12、的图形是什么？6.3 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示第二十五页，讲稿共五十三页哦引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：见图所示见图所示.第二十六页，讲稿共五十三页哦称为称为二次型。二次型。（1）含有含有n个变量个变量 的二次齐次多项式的二次齐次多项式定义定义1：第二十七页，讲稿共五十三页哦例如：例如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。第二十八页，讲稿共五十三页哦取取则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为二次型用和号表示二次型用和号表示第二十九页，讲稿共五十三页哦第三十页，讲稿共五十三

13、页哦令令则则其中其中A为对称为对称矩阵。矩阵。二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注1、对称矩阵、对称矩阵A的写法：的写法：A一定是一定是方阵方阵。2、其对角线上的元素、其对角线上的元素恰好是恰好是的系数。的系数。3、的系数的一半分给的系数的一半分给可保证可保证第三十一页，讲稿共五十三页哦例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵；的矩阵；也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩。的秩。二次型二次型定义定义2：第三十二页，讲稿共五十三页

14、哦例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解问问：在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称,A唯一吗唯一吗?第三十三页，讲稿共五十三页哦定义定义只含平方项的二次型只含平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形 (注注注注：这里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。的项。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。第三十四页，讲稿共五十三页哦简记简记设设若若一、一、非退化线性变换（可逆

15、线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）为为可逆线性变换。可逆线性变换。当当C 是可逆矩阵时是可逆矩阵时,称称6.4 化化二次型为标准型二次型为标准型当当C是正交矩阵时，称是正交矩阵时，称为为正交变换正交变换。第三十五页，讲稿共五十三页哦矩阵的合同：矩阵的合同：证明证明定理定理 设设A为对称矩阵，且为对称矩阵，且A与与B合同，则合同，则注：合同仍然是一种等价关系注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1)反身性反身性(2)对称性对称性(3)传递性传递性第三十七页，讲稿共五十三页哦二二.化二次型为标准形化二次型为标准形1.正交变换法正交变换法（重点）（重点）2.配方法配方法目

16、标：目标：问题转化为：问题转化为：第三十八页，讲稿共五十三页哦回忆：回忆：所以，对于任意实对称矩阵所以，对于任意实对称矩阵A,总存在总存在正交矩阵正交矩阵C对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵A,总存在总存在正交矩阵正交矩阵C第三十九页，讲稿共五十三页哦主轴定理主轴定理(P191 定理定理6.2.1)1.正交变换法正交变换法(重点重点)第四十页，讲稿共五十三页哦定理定理定理定理 二次型必可化为规范形。二次型必可化为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为经正交变换化为:再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换则则 f 化为化为6.5 正定正定二次型与

17、正定矩阵二次型与正定矩阵第四十四页，讲稿共五十三页哦定理定理(惯性定理惯性定理)任何实二次型总可以经过一个适当任何实二次型总可以经过一个适当的可逆的可逆线性变换化成规范形线性变换化成规范形,规范形是唯一的。规范形是唯一的。其中其中r 为为f 的秩，的秩，p为为正惯性指数正惯性指数，rp为为负惯性指数负惯性指数。第四十五页，讲稿共五十三页哦都有都有 正定二次型正定二次型定义定义 设设为实二次型为实二次型(A为实对称为实对称矩阵矩阵),),如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量称称 f 为为正定正定(半正定半正定)二次型二次型,称正定称正定(半正定半正定)二次型二次型 f 的矩阵的矩阵A为为正定

18、正定(半正定半正定)矩阵矩阵。二次型的对称矩阵二次型的对称矩阵A是正定是正定（半正定）矩阵。（半正定）矩阵。（半正定）矩阵。（半正定）矩阵。二次型二次型正定（半正定）正定（半正定）正定（半正定）正定（半正定）第四十六页，讲稿共五十三页哦例例1 1 判别下列二次型的正定性判别下列二次型的正定性故半正定故半正定.1.1.2.2.解解 1.任任代入都有代入都有2.2.不定不定.第四十七页，讲稿共五十三页哦定理定理2 2 实二次型实二次型正定正定标准形中标准形中n个系数全为正个系数全为正.实对称矩阵实对称矩阵A正定正定存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得，使得推论推论A的的 n 个特征值全为正个特征值全为

19、正.第四十九页，讲稿共五十三页哦证明证明为实对称阵为实对称阵,则存在正交矩阵则存在正交矩阵使使必要性必要性:第五十页，讲稿共五十三页哦则则 为可逆矩阵为可逆矩阵,令令由于由于 可逆可逆,且且充分性充分性:任意任意则则从而从而第五十一页，讲稿共五十三页哦各阶顺序主子式全大于各阶顺序主子式全大于0,0,即即定理定理3正定正定奇数阶顺序主子式为负奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子偶数阶顺序主子负定负定式为正式为正,即即第五十二页，讲稿共五十三页哦判别二次型判别二次型的正定性的正定性.例例4解解二次型的矩阵二次型的矩阵它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别或者，判别 为正定为正定.第五十三页，讲稿共五十三页哦