2021年2021年5函数函数的奇偶性与周期性练习题答案.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -函数函数的奇偶性与周期性一.函数的奇偶性学问点归纳1 函数的奇偶性的定义：假如对于函数f(x)定义域内的任意一个x、都有 f(-x)=f(x)、那么函数f(x) 就叫偶函数 .假如对于函数f(x) 定义域内的任意一个x、 都有 f(-x)=-f(x)、那么函数f(x) 就叫奇函数 .2 奇偶函数的性质：（ 1）定义域关于原点对称；（ 2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3 f (x) 为偶函数f (x)f (| x |) ；如奇函数f ( x)的定义域包含0 ，就f (0)0“ f(x) 为奇函数

2、”为f(0)=0 的非充分非必要条件；4 判定函数的奇偶性的方法：( 1) 定义法： 如函数的定义域不为关于原点的对称区间，就立刻判定该函数既不为奇函数也不为偶函数；如函数的定义域为关于原点的对称区间，再判定f(-x)= -f(x ) 或 f(-x)=f(x) 为否成立判定函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x)f (x)0 ，f (x)1f (x)( 2) 图像法： 奇（偶）函数的充要条件为它的图像关于原点（或y 轴）对称 .5 设 f(x) ，g (x) 的定义域分别为D1、 D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇应用举例1.常见函数

3、的奇偶性：奇函数：yax （ a 为常数），ysin x，ytan x ， yk (k x为常数）偶函数：ya （ a 为常数）， a0 时既为奇函数又为偶函数yax2 （ a0) ， yax 2c （ a0) ， yax （ a 为常数），ycosx非奇非偶函数：ykxb(b0) ， yax 2bxc(b0) ， yaxc (c0) ， yk(c0) ，xcya x ( a0、a1) ， ylog ax(a0、 a1)既奇又偶函数：y02.对奇偶性定义的懂得例 1 下面四个结论：偶函数的图象肯定与y 轴相交； 奇函数的图象肯定通过原点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既为奇函数又为偶函数的函数

4、肯定为f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数为()A 1B 2C 3D 4分析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不肯定相交，因此正确，错误; 奇函数的图象关于原点对称， 但不肯定经过原点，因此不正确; 如 y=f(x)既为奇函数，又为偶函数，由定义可得f(x)=0 ，但不肯定xR，故错误，选A1第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -练习： 1.（ 2007 全国）f ( x)，为定义在R 上的函数，就“f ( x)，均为偶函数”为“h( x)为偶函数”的BA. 充要条件 B. 充分而不必要的条

5、件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件2第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解析 : f (x).g(x)均为偶函数 、 f( x)=f( x)、g( x)=g(x). h( x)=f( x)+g( x)=f(x)+g(x)=h(x). h(x)为偶函数 .但如 h( x)=h(x)、即 f( x)+g( x)= f(x)+g(x)、 不肯定 f( x)= f(x)、g( x)=g(x)、例 f(x)=x2+x 、g( x)= x.2.（ 2007 江苏）设f（x）=l g（）为

6、奇函数，就使f（ x）0 的 x 的取值范畴为AA. （ -1， 0） B. （0， 1） C.（ -， 0）D.（ -， 0）（ 1， +） 解析 : f (x)为奇函数 、 f(0)=0. 解之 、得 a= 1.f (x)=lg.令f(x)0、就03第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1、 x ( 1、0).3.已知函数解析式，判定或证明函数的奇偶性例 2 判定以下函数的奇偶性(1) f(x)=x 3+x(2) f(x)=3x 4+6x 2 +a(3) f(x)=3x+1(4) f(x)

7、=x 2， x - 4 、 4) ，（ 5） ysin x1例 3 判定以下各函数的奇偶性：（ 1）f ( x)(x1)11x ；（ 2）xf (x)lg(12| xx2 )；2 |2解：（ 1）由 1x1x0 ，得定义域为1、1)，关于原点不对称，f ( x) 为非奇非偶函数（ 2）由1 x2| x202 |20得定义域为(1、0) U (0、1) ， f (x)lg(1 ( x2x2 )2)2lg(1x2x2 )，lg1(x)2 lg(1x2 ) f (x)(x)2x21x 2f ( x) f ( x)为偶函数练习： 1.判定函数f ( x ) =的奇偶性解：由题| x2 |21x 20(

8、 x1)( x1)01x1| x2 |20x22x0且x4函数的定义域为 1 、 0 ) ( 0 、 1 此时f ( x ) =1x 2( x2)21x 2x又f (x)1(x) 2x1x 2x= f ( x )故 f ( x )为奇函数4.抽象函数奇偶性的判定与证明4第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 4 （2007 北京西城）已知函数f ( x)对一切x、 yR ，都有f ( xy)f ( x)f ( y) ，（ 1）求证：f ( x)为奇函数；（2）如f (3)a ，用 a 表示f

9、 (12)解：（ 1）明显f (x) 的定义域为R ，它关于原点对称在f ( xy)f (x)f ( y) 中，令 yx ，得f (0)f (x)f (x) ，令 xy0 ，得f (0)f (0)f (0) ，f (0)0 ， f (x)f (x)0 ，即 f (x)f ( x) ， f (x) 为奇函数（ 2）由f (3)a ， f ( xy)f ( x)f ( y) 及f ( x)为奇函数，得 f (12)2 f(6)4 f (3)4 f(3)4a 例5(2006年辽宁)设为上的任意函数，以下表达正确选项（C）5第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word

10、可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -为奇函数为奇函数为偶函6第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -数为偶函数解：据奇偶函数性质：易判定f（x）f （-x ）为偶函数， f （x） -f（-x ）为奇函数 f（x）|f （-x）| 的奇偶取决于f （ x ）的性质，只有f（x）+f （ -x）为偶函数正确； 5.利用函数奇偶性求函数解析式或求值例 6.已知 f(x) 为奇函数，且当x0 时， f(x)=x|x-2| ，求 x0 时， f(x)=x|x-2| ，当 x0

11、时， f(x) - f(-x) - (- x)|(-x)-2|=x|x+2|.练习： 已知f (x) 为 R 上的奇函数，且当x(0、) 时，f ( x)x(13 x ) ，就 f (x)的解析式为f (x)x(1x(13 x)、 x03 x )、 x0例 7（ 2007 黄冈中学月考）已知函数f ( x)1xlog 21x ，求xf (1) + f ( 20051) +2004f (1) +2004f (12005) 的值1x解：由0 得函数的定义域为(1、1)1又 f (x)xf ( x)1xlog 21x1xlog 21xlog 2 10f (x)f ( x) 成立，函数为奇函数f (1

12、) +2005f (12005) =0f (1) +2004f (1) =02004 f (1) + f (20051) +2004f (1) +2004f (1)=020057第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例8 （ 2007海 南 . 宁 夏 ） 设 函 数为 奇 函 数 ， 就1解析:f( x)=、f(x)=8第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -又 f( x)为奇函数 、 f (

13、x)= f ( x).=. x 2( a1) xax2(a1) xa a= 1.练习： 已知f (x)ax2bx3ab 为偶函数，定义域为a1、2a，就 a1 ， b=03解： a12aa1， b036.偶函数性质f ( x)f ( x ) 的应用偶函数图象关于y 轴对称，运用f (x)f ( x ) 可将偶函数问题转化至0、的范畴解决；例 9.设定义在 -2、2 上的偶函数f (x) 在区间 0、2上单调递减，如f (1m)f (m) ，求实数 m 的取值范围；解：f( x)为偶函数，f (x)f ( x)f ( x )f (1m)f (m)f ( 1m )f ( m )9第 9 页，共 1

14、6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -又当 x0、2 时，f ( x) 为减函数1mm21m21m121m的取值范畴为1、22m2练习：已知（B）f (x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f (x)为增函数，如x10、 x20 ，且| x1 | | x2 | ，就Af (x1)f (x2 ) Bf (x1 )f (x2 )Cf ( x1 )f (x2 )Df ( x1 )f (x2 )二.函数的周期性学问点归纳定义：如T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使f ( xT )f (x) 恒成立就 f(x) 叫做周

15、期函数，T叫做这个函数的一个周期一般所说的周期为指函数的最小正周期周期函数的定义域肯定为无限集常见函数周期: y=sinx ，最小正周期T2； y=cosx，最小正周期T 2； y=tanx ，最小正周期T ； y=cotx ，最小正周期T .周期函数变换后的周期周期函数f(x)最小正周期为T、 就 y=Af( x+)+k的最小正周期为T/| | .例 10已知函数f(x)对任意实数x、 都 有 f(x m) f(x)、求证 : 2m为 f(x)的一个周期 .证明：由于f(x m) f(x)所以， f(x 2m)f(xm) m f(x m) f(x)所以 f(x) 为以 2m为周期的周期函数.

16、练习： 1 .已知函数f(x)对任意实数x、 都有 f(x m)f(x-m)、求证 : 2m为 f(x)的一个周期证明：由于f(x m)f(x-m)所以， f(x 2m)f(x m)mf(xm)-mf(x)所以 f(x) 为以 2m为周期的周期函数.以上两题可作为结论记，留意f(x m)f(x-m)与 f(m x) f(m-x) 的区分，f(mx) f(m-x)xm为 f(x)图像的对称轴2.已知函数f(x)对任意实数x、 都有证明：由已知f ( xm)1 111f ( x)，求证f ( x)f (x): 2m为 f(x) 的一个周期 .f(x 2m)f(xm)m1f ( xm)1f (x)f

17、 ( x)1f ( xm)11f (x)所以 f(x) 为以 2m为周期的周期函数.1f (x)3.设偶函数f ( x)对任意 xR ，都有f (x3)1f ( x)，且当 x3、2时， f( x)2 x 、 就f (113.5)的值为 (D)2A.B.72C.1D.175511解：f ( x3)f ( x)f (x6)f ( x3)3f ( x3)f ( x)10第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -f (x)为以T6为周期的周期函数f（113.5）1f（1865.5）11f (5.5)f

18、 (60.5)f (0.5)f (30.5)f (2.5)5三.函数奇偶性.单调性.周期性综合运用例11 已知f ( x )为偶函数，而且在( 、 0 )上为增函数，问f ( x )在 ( 0， + )上为增函数仍为减函数？解：设0 x 1 x 2 + 就 x 2 x 1 0f ( x )在 (、 0 ) 上为增函数f ( x 2 ) f ( x 1 )f ( x ) 为偶函数f ( x 2 ) f ( x 1 )故 f ( x ) 在( 0 ， + ) 上为减函数学问点：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上对称性相同例 12函 数 yf ( x)( x0) 为 奇 函 数 ， 且

19、 当 x0、时 为 增 函 数 ， 如f (1)0 ， 求 不 等 式f x(x1 )20 的解集解： f(1)0f x( x1)2f (1)0x( x1 )121 x1217117或x044又函数 yf ( x)( x0) 为奇函数，它在对称区间上的单调性相同且f (1)f (1)0f x( x1 )2f (1)x(x1 )12原不等式的解集为 x / 12x117 或11744x0例13.已知f (x) 为周期为 4的偶函数，当x2、3 时，f ( x)x ，求f (6.5)、 f (1.5) ，f (5.5)解： f (x)f (x) ，f (x4)f (x)f (6.5)f (42.5

20、)f (2.5)2.5f (1.5)f (1.54)f (2.5)2.5f (5.5)f (5.54f (1.5)f (1.5)f (1.54)f (2.5)2.511第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 14.（ 2005 福建）为定义在R 上的以 3 为周期的奇函数，且、就方程 f(x)=0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值为DA 2B 3C 4D 5解析：依题可知f（ x） =f（ x+3） .f （2） =f（ 5） =0.又 f（ x）为定义在R 上的奇函数， f（ x）

21、= f（ x） . f（ 2） = f（2） =0. f（ 2） =f（ 1） =f（ 4）=0.又奇函数有f（ 0） =0， f（ 3） =f（ 6） =0.在（ 0， b）内 f（ x） =0 解的个数最小值为5.练习： 1.（ 2007 重庆） 已知定义域为R 的函数 f(x) 在(8、+ ) 上为减函数 、且函数 y=f(x+8) 为偶函数 、就 D A.f(6) f(7)B.f(6) f(9)C.f(7) f(9)D.f(7) f(10)解析： y=f(x+8)为偶函数，y=f(x)图象关于x=8 对称 .又 y=f( x)在(8，+ )上为减函数，y=f(x)在(， 8)上为增函数

22、 .f(7)= f(9) ，f(9) f(10). f(7) f(10).2.(2006 山东 ) 已知定义在R 上的奇函数f(x)满意 f(x+2) -f(x) ，就 f (6)的值为 B (A)-1(B)0(C)1(D)2解析： f（x+2 ）=-f （x）.f （6） =f （4+2 ）=-f （ 4）=f （2）=-f （2） .又-f （x）为 R 上的奇函数，f（2）=0f（ 6）=0.12第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3 .（ 2005 重庆）如函数为定义在R上的偶函数

23、，在上为减函数，且，就使得的x 的取值范畴为（ D ）13第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -ABC D（ 2， 2）解析： f（ 2）=0 且 f（ x）为偶函数，f（ 2） =0.又 f（ x）在（，0递减， f（ x）在（ 2， 0递减 .对于 x（ 2， 0）必有 f（ x） 0.由对称性得对于x 0， 2）必有 f（ x） 0.使得 f（ x） 0 的范畴为（2， 2）.14第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - -

24、 - - - - - - - - -4.（ 2005 全国） 设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（1）=、 f（ x+2） =f（ x） +f（ 2） 、就 f （5）等于（C）A.0B.1C.D.5解：（fx+2 ）=（fx）+（f2）且 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1）=f (1)f (12)f (1)f (2)f (1)f ( 2)15第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -f (2)12 f (1)2125f (5)f (32)f (3)f (2)f (12)f (2)2 f (2)f (1)216第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -